Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Полагая и =1 и приравнивая члены, стоящие у одинаковых степеней Л, получаем совокупность уравнений Е)в=(ун, Е( +Е( а( — — 2.','(У(„а„, гл (в (() (з (47,7) Если и чь 1, то таким же образом находим ,)и (в+( о Ео) р> ~ч~~)(г щ (47,8) У' =Л(Р, (47,3) где Л вЂ” малый безразмерный параметр. Тогда задача отыскания собственных функций и собственных значений оператора (47,1) сводится к решению уравнения (Не+ МР) ф= Еф (47,4) Перейдем от координатного представления к энергетическому, выбрав в качестве базисной системы систему собственных функций (р„оператора невозмущенной задачи.
Тогда ф=Ха ф (47,5) и и уравнение (47,4) сводится к бесконечной системе алгебраических уравнений О Н> СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ й>3 Из (47„7) следует, что в первом приближении энергия системы выражается формулой Е =Е;+ М",в =Ео>+ Л(РН =Е', + Уи. (47,8) Таким образом, поправка к энергии в первом приближении равна среднему аначению оператора возмущения У в состоянии, соответствующем волновой функции ф> нулевого приближения. Используя первое уравнение (47,8), (47,3) и (47,5), находим волновую функцию состояния 1 в первом приближении ф>= >Р>+Ли) >Р> + ~ о о»>Р.
»> ты 1 > ~~~ > Е> — Еи Величина Ла>»> определяется из условия нормировки функции. Функции >р> нормированы, поэтому из условия нормировки с точностью до Лз следует уравнение а)в + ам>' = О. Следовательно, а>>» чисто мнимое и так как волновые функции определяются с точностью до фазового множителя, то можно положить а>и =О.
Итак, в первом приближении функция определяйтся равенством Ео — Е (47,10) ~,,> > т Подставляя далее значение а>» из первого уравнения (47,8) во второе уравнение (47,7), находим поправку к энергии во втором приближении ""= Х,~~'" "„'. Таким образом, энергия во втором приближении выражается формулой Е>=Е>+Уп+ ~~~~ >" о . (47,11) ~>> Ел Р.,Ь> Из (47,11) следует, что поправка второго порядка к уровню энергии основного состояния (т.. е.
когда Е> < Е„) всегда отрио цательна. При практическом применении метода возмущений обычно используют первое приближение для волновых функций и второе приближение для энергий. Однако в некоторых случаях приходится пользоваться и более высокими порядками приближений. твогия Возмицвнии [Гл. ЧГ! 214 Указанный выше метод теории возмущений оправдывается только в том случае, если ряд последовательных приближений сходится.
Необходимым условием этого является малость каждой последующей поправки по сравнению с предыдущей. Таким образом, условие применимости теории возмущений можно записать в виде )Н ~=~У )<<~Е1е — Е~~~ для любого тФЕ (47,12) Следовательно, условие применимости метода теории возмущений сводится к требованию, чтобы недиагональные матричные элементы оператора возмущения г' были малыми по сравнению с абсолютной величиной разности соответствующих значений невозмущенных энергий. Для иллюстрации использования метода возмущений вычислим в первом приближении изменение энергии электрона в кулоновском поле †Хет при увеличении заряда ядра на единицу (р — распад ядра). В этом случае оператор возмущения е4Н 1 У= — — = — —— г Р р' (47;13) где р — расстояние, измеряемое в атомных единицах. Согласно (47,9), изменение энергии в состоянии (п1) а первом приближении равно среднему значению (47,13) в состоянии п(, т.
е. ЬЕ = — — «(п(~ — ~п1). Среднее значение оператора 1/р, согласно (38,17в), равно Дпз, таким образом, е'яе ЬЕ= — — „ Рл' ' Это значение можно сравнить с точным значением, если мы учтем, что энергия электрона в кулоновском поле определяется формулой (38,15), тогда имеем ф 48. Условия применимости теории возмущений Как было показано в 3 47, метод теории возмущений состоит в разбиении оператора Гамильтона физической системы на две части — одна из которых (Нз) соответствует упрощенной (не- возмущенной) системе, а вторая рассматривается как возмущение. Если во второй части выделить малый числовой множитель А, то метод теории возмущений позволяет получить решение в виде ряда по степеням А. Если этот ряд сходится, го задача может быть решена с любой желаемой точностью. До- $ ея УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ ВОЗМУГПЕНИИ 2(о казательство сходимости ряда теории возмущений для большинства задач, имеющих практический интерес, очень сложно.
В некоторых случаях первые приближения теории возмущений дают хорошие результаты и тогда, когда ряд теории возмущений расходится. В $47 было показано, что необходимым условием применимости метода теории возмущений к расчету состояния с квантовым числом 1 является выполнение неравенства (47,12), т. е. разность между данным уровнем и всеми остальными уровнями энергии невозмущениой задачи должна быть велика по сравнению с изменением энергии, вызванным возмущением. В связи с этим уровень 1 не может быть вырожденным, так как в противном случае разность энергии невозмущенной задачи равнялась бы нулю. Однако справедливость формул (47,10) и (47,11) не нарушится, если будет вырожденной часть из состояний и, имеющих энергии Ез, удовлетворяющие неравенству (47,!2).
Зги формулы могут быть распространены и на случай, когда часть состояний и будет относиться к непрерывному спектру, в последнем случае надо для этих состояний суммы (47,10) и (47,11) заменить интегралами. Теория возмущений, строго говоря, применима лишь в том случае, когда при уменьшении параметра Х до нуля как собственные функции, так и собственные значения оператора Н непрерывным образом переходят в собственные функции и собственные значения оператора Нз. В некоторых случаях это условие ие соблюдается — возмущение может изменить характер самого решения, превратив задачу с дискретным спектром в задачу с непрерывным спектром.
Рассмотрим, например, оператор Гамильтона с потенциальной энергией (7 (х) = — )ггвзхз+ ).хз. ( 2 (48,1) При Х = 0 оператор Гамильтона совпадает с оператором гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергий Е„= йго(а+ '(з).
При малых значениях ). всегда выполняется условие *) Х ( (и ( хз ( п) ) «( Ем — Ев ( = йгв ( и — и (. (и+ 1)хз(я) ( — ) (йч+3) )'и+1. 2)гм е) Вычисление' матричных влементов (яг(хз(п) легко выполнить и пред- Г й ставлении чисел заполнения. Например, полагая к 1уг — (а+а") и ис- У 2мм пользуя правила действия операторов а и а на функции )я), получим теОРия Возму[цапни [Гл, чп Однако при всяком значении ХФ О оператор Гамильтона с потенциальной энергией (48,1) имеет непрерывные собственные значения энергии, так как при больших отрицательных значениях х потенциальная энергия становится меньше полной энергии частицы.
Вэтом случае волновые функции и уровни энергии, полученные на основе метода возмущений, описывают нестациоиарные состояния. Частица может пройти через потенциальный барьер в сторону отрицательных х и удалиться в бесконечность. Однако при малых значениях Х вероятность такого процесса будет ничтожно мала, поэтому найденные методом теории возмущений решения будут практически совпадать со стационарными состояниями.
Состояния такого типа называют квазистационарныл[и состояниял[и, В заключение этого параграфа выведем еще одно выражение для определения энергии во втором порядке возмущения. Пусть Н = Но + У и Но[р„ = Е„[р„. Тогда уравнение Шредингера (Н вЂ” Е)ф = О подстановкой Ч'= Х ао'Ро о сводится к бесконечной системе однородных алгебраических уравнений ~(Н„„— Еб ) а„=О, (48,2) где если тчьн. Условие разрешимости системы уравнений (48,3) приводит к уравнению бесконечного порядка ~!̈́— ЕЬ 1!=О, (48,4) корни которого определяют точные собственные значения оператора Н. Предположим, что мы интересуемся изменением уровня Ео[ под влиянием возмущения У. Если для любого твом 1 выполняется неравенство 1 Н[ 1~ [Ео[ — Е то, пренебрегая в детерминанте (48,4) всеми недиагональными матричными элементами Н[, получим, в согласии с (47,9), энергию в первом приближении о Е = Ни —— Е[ +.
У[[. Чтобы получить энергию во втором приближении, пренебрежем в (48,4) всеми недиагональными элементами, не лежащими в д 421 твоеня возмтщанни пеи наличии двтх влизких гговнеи х~т первой строчке и в первом столбце детерминанта (48,4). Тогда получим детерминант Нп — Е Ндд Н, Н,— Е Нз~ О Н12 Нм 0 0 Н вЂ” Е О =0 Умножая вторую строчку на " и вычитая из первой, находим новый детерминант, у которого первый элемент первой строчки будет равен Нп — Š— — —, ~ и„!' Н,~ — и ' а на месте Нгд будет стоять нуль. Умножая затем третью строч- ку нового детерминанта на ННН(Н22 — Е) ' и вычитая из первой, мы уничтожим Н,Н и изменим первый элемент этой строчки.
Про должая этот процесс, можно получить с »» ̈́— Н вЂ” ~ Н ' ~»)~Н вЂ” 24~Н вЂ” Нд... О. 444») Н» 2 Если уровень Е~~ не вырожден, то при энергии, близкой к этому уровню, в (48,5) может равняться нулю только первая скобка. Таким образом, получаем Х и — е (48,6) Это уравнение содержит неизвестное значение Е и в правой части. Его решение можно получить методом последовательных приближений.
В качестве первого приближения в правой части (48,6) можно положить Е = Нп = а+ 1'и. Учитывая далее (48,3), находим ' + и + ~ ~ и + 1, (Нд + ~, ) ( ) 9 49. Теория возмущений прн наличии двух близких уровней Из формул (47,10) и (47,11) следует, что если среди собственных значений Нд есть одно или несколько с энергией, близкой к Еы то поправки к волновым функциям и энергии уровня 1 будут велики (малые знаменатели), и пользоваться этими теОРия ВОзмущений 1ГЛ. О!1 (49,1) Подставляя это значение ф в уравнение (Н вЂ” Е)2)=О, Н=Н + 1!, получим систему двух уравнений (Нц — Е) а + НРВЬ = О. Н„а+ (Н вЂ” Е) Ь= О, где матричные элементы Н!2 совпадают с (48,3).
Из условия разрешимости системы уравнений (49,2) находим два значения энергии: ! ! Еь 2= Е (Нц+ Н22) ~ ~ (Нц — Н22) + 4~ Нго(2 где знак плюс относится к уровню Еь а знак минус к уровню Е2. Если выполняется условие применимости обычной теории возмущений, т. е. если ) Нц Н22! "1 Н!2!ю (49,4) то из (49,3) следуют значения энергии ~2+ ~ 22 (Е! + ~ ц) совпадающие с энергией, определяемой обычной теорией возмущений во втором порядке (см. (48,7)). Если выполняется нера- венство (49,3) 1 Нц — Нм!~~ Нм!, то из (49,3) следует иц+ и„( (И! ! И22) *1!" !! 81Н;.1 ) (49!4а) формулами нельзя. Если, однако, число близких собственных значений Но около уровня 1 невелико, то можно так изменить метод вычислений, чтобы и в этом случае исключить появление больших поправок. Покажем это на примере двух близких уровней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
