Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Оператор Гамильтона получается из (45,1) заменой классических моментов соответствующими операторами 1ы Еч, Е!. Эти операторы должны совпадать с рассмотренными в предыдущем параграфе операторами Еы 1.„, Ет, характеризующими поворот системы $т1~ относительно хуе. Таким образом, вычисление энергии вращающегося твердого тела сводится к определению собственных значений оператора Н = 2 (аЕВ + ЬЕЧ + сЕс), (45,2) -! -1 -1 где а=11, Ь=1„и с=1С, а операторы Е1, Е ЕС удовлетворяют перестановочным соотношениям (Ее, Еч) = — 1йЕс, (45,3) Твердое тело с тремя одинаковыми моментами инерции а=Ь= =с=!11 называют шаровым волчком. В этом случае оператор Гамильтона (45,2) имеет простой вид г! Н=— 21 (45,3а) Следовательно, собственные функции оператора энергии совпа- дают с собственными функциями оператора квадрата момента ЕВ, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе.
Соб- ственные значения оператора Гамильтона равны Е!= 2,, !=О, 1, ЬТ1(1 + !) (45,4) Каждому собственному значению (45,4) соответствует (21 + 1)а собственных функций 1й) =ф„'а(а))у) =)/ '!в+„,' 0~А(а))у), (45,5) где Ь, Л1=О, Н- —,1аЕ +(с — а) Я. (45,6) Твердое тело с одной осью симметрии более чем второго по'- рядка имеет два одинаковых момента инерции. Такое тело на- зывают симметричным волчком, Пусть, например, а=Ь час, тогда (45,2) можно переписать в виде е 4п врхшвниа тва дого твпх. лсиммвтричныя волчок вот шие полному моменту с квантовым числом 1„можно искать в виде линейной комбинации функций (45,5) фг=Хае! Ю. (46,1) Подставляя это выражение в уравнение Шредингера (Н вЂ” Е)фг=О с оператором (45,2), получим систему 21+1 уравнений Х (<1ц Н цй') — Еб .) и = О.
(46,2) Условие разрешимости этой системы сводится к уравнению 21+1-й степени относительно Е, Корни полученного уравнения и определяют уровни энергии асимметричного волчка, соответствующегц моменту 1'. Используя значения матричных элементов (44,36) — (44,38), легко вычислить матричные элементы оператора (45,2), полученные с помощью волновых функций (45,5) ((Ц Н Цл) = 4 ((а+ Ь) (1(!+ 1) — лв)+2сйе), (46,3) (1й+ 2~ Н ~1й) =(1/г)Н ~1й+ 2) = й' = (а — В) — )Г(1 — Й) (1 — й — 1) Ц+ й + 1) (! + й + 2) .
(46,4) Из (46,4) следует, что матричные элементы оператора Н связывают только состояния со значениями й, отличающимися на 2. Поэтому линейная комбинация (46,1) распадается на Таблица 9 две независимые части: од- Хнрвнтеры непрнвеннмын на содержит только функ- пренстввленна группы Эг ции ~1й) с четными значениями А, другая — только с нечетными значениями й. Дальнейшее упрощение вычислений возможно при учете свойств симметрии системы.
При этом, кроме упрощения решения, мы получим возможность класси-. фикации вращательных состояний по неприводимым представлениям соответствующей группы симметрии 8 19).. Оператор Гамильтона (45,2) и перестановочные соотношения (45,3) остаются инвариантными при преобразованиях группы симметрии Вп которая содержит (табл. 9), кроме тождественного элемента, три операции поворотов на и вокруг трех декартовых осей координат.' При каждом таком повороте меняют знак два из трех операторов Ем ьр, Ер 208 движение чхстицы В пОле центРАльных сил 1гл. Т1 Матричные элементы оператора (45,2),.образованные с помощью функций, относящихся к разным неприводимым представлениям группы Вм равны нулю.
Поэтому система уравнений типа (46,2) распадается на систему независимых уравнений, относящихся в отдельности к каждому из неприводимых представлений группы Вэ При преобразованиях, соответствующих элементам симметрии группы Рм обобщенные сферические функции В А и, следовательно, функции (45,5) преобразуются следующим образом: САР А(ару) — В А(ару+а) =( — 1) В~А (а()у). (46,5) Далее, с~В~~А(аиду) =( — !)! А Р~~,, А (а()у). (46,6) Последнее выражение может быть получено, если -вспомнить определение функции (43,12) и соотношение (43,15).
Действительно, С"„В!А(ару)=В!А(а, р+а, — у)=е' Хд1А (())4А(н)е 'т'= = ( — 1)~ " Р~„. А (а, 5, у). Таким же образом получим СЕВ~~А (ару) = В~~А ( — а, р + а, у) = ( — 1)~ В~В, А (а(!у). (46,7) Учитывая свойства преобразования (46,5) — (46,7), можно построить из функций (45,8) — (45,10) такие линейные комбинации. которые будут преобразовываться по неприводимым представлениям группы симметрии Р,. Простейший случай соответствует ! = 1. В этом случае сами функции (45,8) — (45,10) преобразуются по неприводимым представлениям группы Вх р, (1) =! ВО) — представление Вн фз (1) ==(!! 1)+11 — 1)) — представление Вм 1 !' 2 фз (!) == (! 11) — 11 — !)) — представление Вз. 1 )2 Поскольку все три функции принадлежат различным представлениям группы, вращательная энергия трех возможных состояний со спином ! (мы здесь отвлекаемся от вырождения по квантовому числу гл) определяется средними значениями Н.
Используя значения матричных элементов (46,3) и (46,4), имеем Е, (!) = (10 ! Н ! 10)) = — (а + 5), Вт (1) = (11 ! Н ! 11) + (111 Н ! 1 !) 2 (а + с) й' Вз(1)=(11! Н!10 (11!Н!1 1)= 2 ( +с)' ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. АСИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК 2ОВ уровень энергии Е1(1) соответствует неприводимому представлению Вь симметрия которого по отношению к осям $, т! одинакова, поэтому энергия выражается формулой, симметричной относительно моментов инеРЦии 11 и 1ч. Со значением момента ! = 2 имеется пять стационарных состояний, их волновые функции могут быть записаны следующим образом: ф, (2) ==([22) — [2 — 2)) 1 т' 2 — представление Вн фз (2) = = (! 21) — ! 2 — !)) 1 2 у— представление Вм Ь (2) = — И 2() +! 2 — 1)) — представление В„ фса(2) =! 20) д1+ — (! 22) + [2 — 2)) дт — представление А г' 2 уравнение второй степени для определения уровней энергии — й (а — Ь) Уз 2 — ла(а+ Ь) — ' Š— й (а — Ь) )'з 2 (46,9) Р— (а+ Ь+ 4с) — Е 2 (46,8) где д1 и пт — коэффициенты, которые будут определены ниже.
Каждому из неприводимых представлений Вь Вз, .В, соответ- ствует только одна функция, поэтому энергия этих состояний вычисляется непосредственно, если использовать матричные эле- менты (46,3) и (46,4): 'Ь' Е, (2) = (22 ! Н ! 22) = — (а+ Ь+ 4с) — представление В,, 2 Ь' Ез (2) = — (а + с + 4Ь) 2 — представление Вм Р Е, (2) = — (с + Ь + 4а) — представление Вм Неприводимому представлению А соответствуют две функции (46,8), Отличающиеся значениями коэффициентов д1 и дв Под- ставляя функцию'фьз из (46,8) в уравнение Шредингера, полу- чим систему двух уравнений для определения этих коэффициен- тов [(20! Н !20) — Е! д, + $/2 (20[ Н [22) де = О, )/2 (20[Н [22) д1 + [(22[Н [22) †. Е! уз=О.
Используя значения матричнП1х элементов из (46,3) и (46,4), из условия разрешимости полученной системы уравнений находим 2!О дВижение чАстицы В пОле центРАльных сил [гл. ът Решая уравнение (46,9), находим Еье(2)=йз((а+Ь+с) +. ~l(а+Ь+с)~ — 3(аЬ+ас+Ьс). (46,!О) Из семи состояний, соответствующих 1= 3, только одно состояние относится к неприводимому представлению А. Его функция имеет вид 1р, (3) = — (! 32) — ) 3 — 2)) $' 2 н энергия Е, (3) =2йз(а+ Ь+с). (46,11) Интересно отметить, что энергия этого состояния равна сумме энергий двух состояний с моментом 1'= 2, относящихся также к неприводимому представлению А, т.
е. Е (3)=Е (2)+Е (2) Каждому из трех других неприводимых представлений (Вн Вм В,) соответствуют две функции состояний с моментом 1'=3. Энергии этих состояний можно найти при решении уравнений 2-й степени. ГЛАВА ЧП ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ й 47. Теория возмущений в стационарных состояниях с дискретным спектром Точное решение уравнения Шредингера, определяющего энергию стационарных состояний систем;возможно только для некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих идеализированным системам (см. гл. (Ч и Ч1).
При исследовании реальных атомных и ядерных систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных значений и собственных функций операторов Гамильтона. В последнее время вследствие появления электронных вычислительных машин большое значение приобретают численные методы решения задач квантовой механики. Такие методы излагаются в специальных руководствах. В этой книге мы рассмотрим только аналитические методы приближенного отыскания собственных значений и собственных функций реальных систем, не очень сильно отличающихся от идеализированных систем, допускающих точное решение.
В этом случае приближенные методы решения могут быть сведены к вычислению поправок к точному решению. Общий метод вычисления таких поправок носит название теории возмущений. В этом параграфа мы рассмотрим теорию возмущений для стационарных задач с дискретным спектром энергии. Предположим, что оператор Гамильтона квантовой системы можно разбить на два слагаемых Н=Н,+Р, (47,!) из которых одно — Нв — представляет гамильтониан идеализированной задачи, допускающей точное решение, а р — некоторая малая 'добавка, которую принято называть оператором возмущения. Оператором возмущения может быть часть оператора Гамильтона, которая не учитывалась в идеализированной задаче, или потенциальная энергия внешнего воздействия (поля).
'Задачей теории возмущений является отыскание формул,'определяющих энергию и волновые функции стационарных состояний через известные значения энергий Е„' и волновых функций ~р„«иевозмущенной» системы, описываемой гамильтонианом Нм ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ (гл. щ( 212 Предположим теперь, что в невозмущенной задаче отсутствует вырождение, т. е. о Ня„=Е„(р„. (47,2) Пусть далее (Š— Е )а =Л~ч.", 1У" „а„, (47,6) где йГ = ((р )%7((ри) — матричные элементы оператора возмущения (у'. Для определения поправок к энергии и волновой функции стационарного состояния с квантовым числом 1 положим Е Е( + ЛЕ(( ~ + Л Е)в + а = б + Лап( + Лза(в + ... Подставляя эти ряды в (47,6), находим систему уравнений (Е(' — Е' + ЛЕР+ Л'Е~(~+ ° ° .Иб (+ Ли ~+ ° .1= =Л ~ч"„Ю „~б,„+ Ла(о+ ...].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
