Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При г- ОО функция должна стремиться к нулю, поэтому пробную функцию можно написать в виде 1гл. У11 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ При вычислении первого интеграла в (51,14) имеем Ю О о 1- '-" =-~"( -) е-""Чае аггог(г= — ) ( —.е аг) гог/г= — (4р) РГд 1о ,) 1дг о1 Второй интеграл в (61,14) легко вычисляется: ( е-®ггпу.=(2р) '. о Подставляя эти значения в (61,14), получаем /(р) = — — етр. ггр2 2а Из условия минимума Х((1) определяем вариационный параметр 11о = 1/а,,где а = 8'/(рео) — атомнаи единица длины. Подставляя значение ()о в (51,15) и (51,13), находим энергию и волновую функцию основного состояния атома аг 1 Г г1 Еы /(йо)= — —, ф„= ехр( — — ).
2а )г аао аг фо, В(1+у — )е (61,16) Из УсловиЯ ОРтогональности ( ф,фы 1$ () нахоДим о 1 — у= — (1+ а). 3 Подставляя это значение в (51,16), определяем из условия нор» мировки Во= За~ аа'11 — а+ ао) ' Теперь можно вычислить интеграл .~ 'гг ')гг» ~ 2 + 8 2 г — +1 1' Из условия минимума /(а) следует ао = 1/2. Подставляя это значение в (51,17) и (51,16), находим г в' у г г1 Ем = — —, ф,=(8наз) в(1 — — )е аа ' 2а Вычислим энергию первого возбужденного состояния 2а. Пробную функцию выбираем в виде функции, зависящей от двух параметров: а и у, А М! метод кАнонических пРеОБРАВОВАнии 227 ~,'Г Кроме рассмотренного выше прямого вариационного метода, при котором пробная функция выбирается в виде функции, зависящей от некоторого числа параметров, нахождение минимума интеграла (51,18) при условии ~ФФЙ =1 (51,18а) может быть сведено к задаче подбора самого вида волновой функции.
[Покажем, что в этом случае вариационный метод эк(вивалентен решению уравнения Шредингера. Пусть 8Ф есть вариация функции Ф. Тогда уыовир минимума интегпада (51,18) сводится к равенству ~ бФ'НФ %+ ~ Ф Н бф (1 =О. Используя эрмиговость оператора Н, последнее. равенство мож.
но преобразовать к виду ~ бфН"Ф а+ ~ бф'НФД,=О. Уравнение (51,19) должно выполняться при всех вариациях ЬФ' и ЬФ, удовлетворяющих условию ~бФФ'(~+~бфф а=о. (51,20) вытекающему из (51,18а). Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, можно запйстть ура внеййя" (81,19)- н-(ОТ2О) -.в-виде- одного-.ра-' венства )' бф(Н вЂ” Е) Ф'Н$+ ~ бФ'(Н вЂ” Е) Ф дв О (51,21) и считать вариации 8Ф' и 6Ф независимыми. Равенство (51,2!) выполняется при произвольных независимых вариациях 8Ф и 8Ф* при условии, когда Ф и Ф' удовлетворяют уравнениям Шредингера (Н вЂ” Е) Ф=О, (Н' — Е)Ф'=О.
9 52. Метод канонических преобразований Среди приближенных методов вычисления собственных значений операторов в последнее время привлекает все большее внимание метод канонических преобразований, с помощью которого оператор или его главная часть преобразуется к диагональному виду. ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕНИЙ ~гл. Уп Пусть, например, требуется определить собственные значения оператора РЦ, ~З), являющегося функцией оператора коор. динагы 4 и импульса Д, удовлетворяющих перестановочному со- отношению (52,1) С помощью унитарной матрицы 5 заменим операторы ~) и 1~ но- выми операторами 6=8 45 и Р=Я~ФЯ, Я~=Я ~, (52,2) (НР(К 6Ипг) =Р„б„, (52,8) тогда Р будут собственными значениями оператора Р. Можно показать, что любые сгепени 2) и 1~ преобразуются по тому же закону (52,2). Например, 62=52455245 — 52425 и т д Следовательно, если Р разлагается в ряд по степеням 4 и 1), то Р(О, Р) = Я Р(4.
Р) Я. В связи с этим система уравнений (52,3) преобразуется к виду (и! Я Р (Р, 4) 5! п2) = Р б Х(п!Р(Р. ЮП0(ИБ!п2>=(п18!пг>Р . или Метод канонических преобразований особенно удобно применять при нахождении собственных значений гамильтонианов, записанных в представлении чисел заполнения, т, е. выражен. ных через операторы рождения и уничтожении частиц в некоторых одночастичных состояниях. Полная (частичная) диагонализация гамильтониана путем канонического преобразования к новым операторам рождения и уничтожения прииодит к новым одночастичным (квазиодночастичным) независимым (почти независимым) состояниям. Ниже мы рассмотрим три примера точной диагонализации гамильтонианов.
удовлетворяющими тем же перестаиовочным соотношениям (52,1). Вид матрицы 5 надо выбрать так, чтобы оператор Р(Р, 4) принял диагональный вид. В матричной форме записи это условие сводится к системе уравнений метод каноничвскнх пгвовглзоваинн (52,4) Хи„ангар=б р, дайан„а=б,;„ а а проведем каноническое преобразование В = ~~.",и„А„ а (52,6) (62,7) к новым операторам, удовлетворяющим перестановочным со- отношениям [Аа, Аа) =буи» (Аа, Аа) О.. Потребуем, чтобы в результате преобразования (52,7) гамильтониан (52,4) имел диагональный вид относительно новых операторов. Следовательно, должно выполняться равенство Н = ~~.", Е,ри, иарАаА,„= Х Е„АадАа. а,р,яа а Тогда операторы Аа и А„будут соответствовать новым, уже не взаимодействующим возбуждениям. Равенство (52,8) выполняется, если ~ Ь,ри*,„и„р — Еабаа.
а,р С помощью (52,6) можно преобразовать эту систему уравнений к виду Х (Еар Еабар) иар = О. (52,9) р Из условия нетривиальной разрешимости сисгемы уравнений (52,9) находим уравнение йЕ р Ебарй О 1. Диагонализация эрмнтового гамильгониана Н = Х ЕааВаВа+,'Е ЕарВаВр» а=! ачар г.ар = г-ра.
Индексы а, () нумеруют одночастичные состояния и пробегают значения 1, 2, ..., Лl, операторы В„удовлетворяют перестановочяым соотношениям [Ва, Вр1 бар, гВа, Врг О. (52,5) Первая сумма в (52,4) характеризует систему У типов элементарных возбуждений с энергиями Е .
Оператор ВаВа определяет число таких возбуждений. Вторая сумма в (52,4) учитывает взаимодействия между возбуждениями. С помощью матрицы и„„, удовлетворяющей условиям уни- тарности теОРия Возмущении [гл. уп ( соз <р — з!и ~р1 !~ з!п ~р сезар/ Значения Е„ и параметра ~р тогда определяются при решении системы уравнений (Е и — Е) соз ~р — Л м з(п у = О, Ем шп ф+ ٠— Е) сов ф =О. Следовательно, Еь з — [ьп + Е,р ~ $~(Еи — Ьм)з+ 4!Ем г). Каждому значению Е„соответствует у„, определяемое равен- ством !.и — ЕР !й~р,— м П.
Диагонализация гамнльтониана вида Н = аА"А + рВ~В+ у[А В + АВ[, (52,10) в котором операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям [А, А1 [В, В~1=1. [А~, В[ [А, В)=0. (52,11) Операторы 'Ат н В» рождают соответственно возбуждения с энергиями а и р, а операторы А и В уничтожают эти возбуждения. Последнее слагаемое в (52,!0) характеризует взаимодействие между возбуждениями типа а и р. Проведем каноническое преобразование к операторам рождения рт и уничтожения !ч (! = 1, 2) новых невзаимодействующих возбуждений с помощью соотношений р~=АЕЬ~р+В ЕЬ<р, Из=А зй~р+Всй~р (52,12) и эрмитово сопряженных к ним.
Преобразование (52,11) является унитарным при любом значении щ поэтому новые операторы удовлетворяют перестановочиым соотношениям [РР РД= ба., [! г 1,,[=О. (52,13) определяющее спектр энергий Е» новых иевзаимодействующих возбуждений. Для каждого уровня Е„из (52,9) тогда получим значения и„з. В частном случае, когда в (52,4) входят только два типа операторов (а, О = 1, 2), унитарную матрицу преобразования удобно выбрать в виде метод кАИОнических пРЙОБРАВОВАнии зй! (52,17) Значение (р в (52,12) определим из условия, чтобы оператор (52,10) после преобразования принял вид 2 Н= Ео+ Х Е((5(т(5(, (-) Используя (52,13) и (52,!4), находим ((5(, Н) =Е((5), ,(52,16) С другой стороны, этот же коммутатор можно вычислить под- становкой значений (52,10) при учете перестановочиых соотно.
шений (52,11), тогда (!2(, Н) = А (а дЬ (р — у з)( (р) + В (у СЬ'(р — (3 з)( (р). (52,16) Если подставить в (52,15) значение (52 из (52,12) и сравнить результат с (52,16), то получим систему уравнений (Е( — а) с)( (р + у з Ь (р = О, у с)( р — (Е, + (1) з)((р = О. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение Е = — (( — О 1.~(~~' — 41 ). ' (52,18) В (52,18) знак перед корнем выбран так, чтобы при у-90 энер- гия Е( — а.
Далее, из (52,7) находим (89 = 4 ((54- ) — )((Е+52 — 444( Р (52,19) ет Проведя аналогичное вычисление коммутатора ((Еь НЬ получим систему уравнений (ЕЕ+ а)з)(2Р Ус)((у=0 Уз)((Р+ (Е2 6)с)((Р=О, из которой следует Š— (ф — ) + )4( Ф 52 — 424)). (И,21) Для вычисления энергии Ео вакуумного состояния системы (т.
е. состояния без новых элементарных возбуждений), надо подста- вить в (52,Ц) значения (52,!2) и результат приравнять (62,10); тогда получим Е, = — (Е, -1- Е ) 9' 9 > 5 ( Е 52 — 4422 '. (ИЕ1) В частном случае прн а=й имеем а — Е) Е) ЕЕ Ра' — у' 1) = —, у з(за, .
В( — и02и,' ( ' ) Π— 422 ( — (, Е !2 у2 ° теОРия возмушении 1гл. ти 232 П[. Каноническое преобразование Боголюбова — Тябликова *). Пусгь гамильтоннан представляет общую квадратичную форму операторов рождения Ва и уничгожения В„возбуждений Ф типов: Н = )» ЕааВаВа + 2 )~~~ [МааВаВа + МааВаВа[» (52,23) а,а а,а где Еаа=Е~„Ма=Маа, и, [)=1,2... Ф. Операторы В„удовлетворяют перестановочным соотношениям [Ва» Ва[ =баб» [Ва, .Ва) =О. (52,24) Проведем каноническое преобразование Ан =,'Е(иааВа — онаВа)» 1» = 1, 2, °, »»»»», (52,25) а от операторов В„к новым операторам А„, относительно которых оператор (52,23) имеет вид Н=Ео+ ХЕнАйА„. (52,26) [А», А~«~=5„„, [Ат, А )=О. (52,27) Этн соотношения выполняются, если элементы матрицы преобразования (52,25) удовлетворяют условиям унитарности ,с~~ ~(паап«а — онаота) = бнт, ~'.~ (паап«а — онаита) = О.
(52,28) С помощью (52,28) легко найти преобразование, обратное к (52,25): Ва = ~(пааАа + онаАн). (52,29) С помощью (52,26) и (52,27) получаем [А Н[=ЕнАа (52,30) С другой стороны, подставив в левую часть (52,30) значения (52,23) и (52,25), имеем [Ан; Н1= лй [Ва [Прае ба+ онаМаа[+ Ва[онаЕаа + нт»аМаа1[. «) Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой статистике, Киев, 1919, $11; С. В. Тя бликов, Методы квантовой теории магнетизме, «Науки», 1965, $13. Новые операторы должны удовлетворять перестановочным со- отношениям метод кАнОнических пРеОБРАЭОВАний $5я Если сравнить это выражение с (52,30) прн учете (52,25), го по- лучим систему уравнений, определяющих при условиях (52,28) элементы матриц преобразованнн и н и н энергии Е„новых эле- ментарных возбуждений Х(Еабаа — Е,а) иаа,'У', ОРБМВа, а а а~' (Еаб.а+ Еаа) ОРВ = ~ "РВМБ' в в (52,3 1) Рассмотренный ранее гамильтониан (52,4) является частным случаем (52,23) при М„а О.
В этом случае нз (52,31) следует о„в — — О, Следовательно, Еа = О и элементы матрицы преобразования определяются системой уравнений Х (Еабаа Ева) пав а Наконец, подставив (52,29) в (52,23) н сравнив с (52,26), найдем энергию вакуумного состояния новых невзанмодействующих элементарных возбуждений Ео = Х Еаоааоаа (52,32) а,а ГЛАВА УП! ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ й 53. Элементарные частицы в квантовой Механике В настоящее время известно сравнительно большое число частиц: электроны, протоны, нейтроны, Р-мезоны, ц-мезоны, К-мезоны и др., которые называются «элементарными частицами», так как на современном этапе-наших знаний нельзя говорить о «структуре» этих частиц.
Такие частицы характеризуются определенными значениями массы покоя и могут быть либо нейтральными, либо электрически заряженными (положительно и отрицательно). Абсолютная величина электрического заряда всех устойчивых заряженных частиц одинакова. Кроме электрического заряда элементарные частицы характеризуются и другими «зарядами». Так, легкие частицы нейтрино, электроны и Р-мезоны (мюоны) имеют лептонный заряд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
