Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Введем далее четыре матрицы Ои'О''О-(''ТВ( «) В общем случае, если частица имеет, кроме трех степеней свободы, связанных с пространственными перемещениями, дополнительные степени своболы, соответству1ощие дискретным переменным, волновая функция может быть прелставлеиа в виде адиостолбцовой матрицы с несколькими компонентами. В случае бесспиновой частицы дополнительная степень свободы связана с зарядовой переменной. для заряженных частиц эта переменная принимает два значения' и функция имеет две компоненты. В $61 мы познакомимся с частицами, у которых дополнительные степени свободы связаны ие только с заряловой переменной, но и с переменной, характеризую.
щей две возможные проекции спина частицы, Такие частицы описываются функциями с четырьмя компонентами. КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТВОРИЯ <гл. юп удовлетворяющие соотношениям т2=7 т т = — тт =1т й ~ йй юй йР где индексы й, 1, и пробегают значения 1, 2, 3 в циклическом порядке. Теперь систему уравнений- (55,9) можно записать в виде одного уравнения в гамнльтоновой форме (зй д Нт~ Чг 0 (55 12) которое мы будем называть уравнением Клейна — Гордона нли кратко — уравнением К вЂ” Г. Оператор Гамильтона уравнения (55,12) имеет вид Н! (тз+ зтз) ВМ + Мс тз.
(55,13) д Действуя на (55,!2) оператором йй — + Н! и учитывая равенство дг Н! = с р + М с, получаем уравнение второго порядка 2 2 2 2 4 д йз + с2р2 ! М2с41 Чг 0 дзз из которого следует, что каждая компонента функции (55,10) удовлетворяет уравнению (54,5). Подставляя (55,8) в (54,16) и учитывая (55,10), (55,1!), находим выражение для плотности электрического заряда Р=е0р ф — хх)=сЧгйтзЧ", (55,14) где Чйй = (~р ° "А) — функция, эрмитово сопряженная к функции (55,10).
Таким же образом выражение (54,15) для плотности тока можно преобразовать к виду у 2Мх (1 тз(тз+ 1тз) т 1 М" ) тз(тз+ 122) Ч). (55,15) Как уже отмечалось выше, из уравнения непрерывности (54,7) следует сохранение с течением времени интеграла ) Рс!Т=е ! йг' тзЧ242т, если интегрирование производится по всем значениям переменных функций Ч". При свободном движении одной частицы эта величина может быть нормирована либо к + е, либо к — с в зависимости от знака заряда частицы.
Таким образом, условие нормировки функции сводится к равенству 1 Ч" Л ! = 1 (Ч'Р— Х*Х)1 = — 1. (55,16) Е Он СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 245 (55,17) р„„-1, Ъ„,(-(, ) ( — ).;1, со< > (2М ) (2 ) (55,21) Таким образом, в нерелятивистском приближении для положитЕльных заРЯдовых состоЯний Щ~+> >) Хо<У>, а дла отРицательных состояний <ро<-> « Хо<-> Рассмотрим теперь свободное в объеме У' движение частицы со спинам О.
Полагая Ч"='у' А(~о)ехр~ — ~(рл — Вг)~ и подставляя в (55,12), получаем систему уравнений ( — >не) Ро= —, (Ро+ Хо) (В + Ме-"1 Хо — — — — М (<Ро+ Хо)- ~ Эта система имеет отличные от нуля решения при е= ~ Ер, где Ер — — с)/р~+ ЛРС~. В случае, когда а = Е>и функция Ч"<+> имеет компоненты Ер+ Мсо Мсо — Ер <Ро<+>= —, Хо<+>=, ° (55»18) 2)' М«РЕр 2 ~ГМсоЕр при этом нормировка функции соответствует равенству «>о <+>«>о <+> — Хо <+>Хо <+> = 1 (55,19) Таким образом, решения, соответствующие В = Е„„определяют движение частицы в положительном «зарядовом состоянниь. Такие решения будем называть положительными решениями.
Положительные решения соответствуют положительной нормировке в (55,!6). Если а = — Ер, то функция Ч"< > имеет компоненты Мсо — Ер Мсо+ Ер 2Р'МсРЕ ' Х" ' 2~мссЕ ' (65 20) При этом <ро< ><ро< > — Хр< >Хо< > — — — 1, и состояние соответствует движению частиц отрицательного заряда. Такие решения будем кратко называть отри<<Отельными решениями.
Они соответствуют отрицательной нормировке в (55,16). В нерелятивистском приближении Ер - "Ис'+ Р, и волновые функции имеют следующий порядок величины: КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ !Гл. шп Из (55,17), (55,19) и (55,20) следует, что если функция =(:1 (55,22) соответствует решениям с положительным знаком заряда, то функция (65,23) будет' соответствовать решениям с отрицательным знаком заряда, н наоборот, если Ч' — решение для отрицательного заряда, то Ч',— решение для положительного заряда. Решение (55,23) называют зарядово сопряженным решением по отношению к (55,22). Связь между этими решениями определяется соотношением Ч", = т~Ч' . Преобразование Ч"- Ч", сопровождается преобразованиями Гуо(~>-+ХО<-' Ь ХО (+1-~ СРО <-Ь Р- — Р И Е- — Е.
Если состояние движении некоторой частицы описывается функцией Ч", то частицы, соответствующие зарядово сопряженной функции Чг„называются -античастицами. Например, если и -мезон назвать частицей, то и+-мезон будет античастицей. Операция зарядового сопряжения'переводит частицы в античастицы и наоборот, поэтому зарядовое сопряжение иногда называют сопряжением частица — античастица.
Если частица тождественна со своей античастицей, то она называется нейтральной частицей. Частицы и античастицы могут отличаться не только знаком электрического заряда, но и другими величинами' (например, магнитным моментом, нуклонным зарядом и т. д.). При операции зарядового сопряжения все эти величины меняют знак. Частицы, не имеющие электрического заряда, не всегда являются истинно нейтральными Например, пасмезон и фотон являются истинно нейтральными частицами, нейтрон и нейтрино не являются истинно нейтральными частицами. Волновые функции истинно нейтральных частиц нулевого спина должны удовлетворять равенству Ч", = Т,Ч'= аЧ", где ! а (= 1..
(55,24) Двукратное применение операции зарядового сопряжения эквивалентно тождественному преобразованию. Следовательно, должно выполняться равенство аз = 1, или а = -~- 1. Итак, возможны два типа истинно нейтральных частиц: а) нейтральные частицы положительной зарядовой четности, для которых а =.1; б) нейтральные частицы отрицательной зарядовой четности, для $ ВЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФЕШБАХА — ВИЛЛАРСА которых а = — 1. Волновые функции таких частиц удовлетворяют соответственно равенствам Р т Ч Ч и р Х (55,25) Ч",=Т,Ч'= — Ч" или ~р= — т,'. (55,26) Подставляя (55,25) и (55,26) в (55,8), находим условия, которым удовлетворяют волновые функции (уравнения второго порядка по времени) для нейтральных частиц: ф.
=(р+ р') -ф'. (55,27) для частиц с положительной зарядовой четиостью; ф.=1(р- р") =ф. (55„28) для частиц с отрицательной зарядовой четностью. Итак, нейтральные частицы описываются действительными волновыми функциями. Зарядовая четиость нейтральных частиц определяется на опыте при исследовании их взаимодействий с другими частицами. Например, нейтральные пионы (пз-мезоны) являются частицами с положительной зарядовой четностью. Фотоны (кванты электромагнитного поля) являются частицами отрицательной зарядовой четности. Отрицательная зарядовая четность фотонов следует из того факта, что потенциалы электромагнитного поля меняют знак при зарядовом сопряжении, которое' меняет знак электрических зарядов. Положительная зарядовая четность пз-мезонов следует из экспериментального факта распада пз-мезона на два фотона. й 56*.
Свободное движение частицы с нулевым спином в представлении Фешбаха — Вилларса Из равенств (55,18) и (5520) следует, что состояния движения, соответствующие определенному знаку заряда, изображаются двумя компонентами ф и т, удовлетворяющими системе уравнений (55,9) первого порядка по времени. В нерелятивистском приближении в каждом зарядовом состоянии одна из этих компонент значительно больше другой и приближенно волновая функция сводится только к одной компоненте. Например, для состояний с положительным зарядом ~роли+1 >> Хя+ь Можно, однако, перейти к такому представлению (Фешбах и Вилларс [36)), в котором при свободном движении с определенным импульсом каждому из зарядовых состояний будет со' ответствовать только одна функция при любых по абсолютной величине импульсах частиц. Переход к новому пРедставлению (Ф вЂ” представление), волновые функции которого будем КВАЗИРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (гл.
Ч!п (Ер+ Мсз) — т1 (Ер — Мсз) и '=т~и 2 г' МсзЕр Однако преобразование функций (56,2) Е=иЧ и Е'=Ч'и' (56,3) оставляет неизменной нормировку (55,16) функций уравнения К вЂ” Г, т. е. ~ Ч'т,Ч д = ~ Е',Е д . (56,4) В соответствии с (56,4) можно назвать обоби(енным скалярным произведением или Ф-произведением двух функций Ч" и Ч"' инте- грал (ЧР !Ч'"), ~ Ч" тзч! 1(т. Далее назовем Ф-унитарным любой оператор А, не изменяющий Ф-произведения, т.
е. удовлетворяющий равенству (Ч"! Ч" )е = (А%") АЧР )е. Оператор А является Ф-унитарным, если выполняется операторное равенство А = тзА тз = А '. (56,4а) Если Ф-унитарный оператор коммутирует с тз, то он является унитарным и в обычном смысле. Средний заряд в состоянии ЧР определяется интегралом Я= ~ ЧР'т ЧРс(~. Как будет показано в 2 139, средняя энергия в состоянии Ч" выражается интегралом вида тзо) 1 1(т. Это правило можно распространить на вычисление среднего значения любого оператора (Е)= ) 'е тзй'1 с(т обозначать буквой Ф, осуществляется матрицей и— (Ер + Мс ) + т, (Ер — Мсз) (56,1) 2 ТРМс Ер где Ер — — с )l)зз+ М'с'. Матрица (1 не унитарна в обычном смысле, так как квази влятивистская квантовая теория !гл.
шп Таким образом, уравнение (55„12) в представлении Фешбаха— Виллзрса имеет вид ЕФрк — «зЕрФры (56,1Ц где Х = + для состояний с положительным зарядом (56,7) и Х = — для состояний с отрицательным зарядом (56,8). Функции Фрх образуют полную ортонормированную систему Фр'ы«з'~"рх ~(т =йбр'рбх'ь., (56,12) где Х; Х = +, —; р', р пробегают значения, определяемые соотношениями (56,9).
В состоянии свободного движения'одна частица имеет определенное значение злектрического заряда. Однако уравнение (56,1!) допускает -и такие состояния, в которых одновременно имеются частицы обоих типов зарядов (Х = +, †). Такие состояния будут описываться волновыми функциями Ф, представляющими линейную суперпозицию состояний Фры т. е. Ф= ~ архФрх=,~(ар+Фр++ ар Фр ). (56,13) р. Е Р Пользуясь условием ортогональности (56,!2), легко показать, что а т, ~ Фрх«зФ«!« (б6,14) Из условия нормировки функции Ф тогда следует е)г Фт«,Фг!т е~(1 ар+)т — ! ар г)= ~)те, где ~)Уе — полный заряд системы (Ж может равняться и Ц, е~1ар+ !' — суммарный заряд всех частиц с положительным р знаком заРЯда, е~)ар )з — полный заРЯд всех частиц, 'имеюр щих отрицательный знак заряда. й 57*. Интегралы движения и собственные значения операторов в релятивистской теории частицы нулевого спина В релятивистской теории частиц нулевого спина, так же как и в нерелятивнстской теории (см.
3 31), изменение состояний с течением времени характеризуется волновыми функциями (57,Ц а зл интап злы двнжвния частицы нтлввого спина 251 зависимость которых от времени определяется уравнением 18 —,', Ч'а, () =Н1Ч'(~, 1). (57,2) где Нт †'оператор Гамильтона. Оператор Гамильтона для случая свободного движения в обычном представлении был определен выражением (55,13). Операторы Гамильтона для частицы, находящейся пад влиянием внешнего поля, будут указаны в следующем параграфе.
Уравнение (57,2) позволяет вычислить значение функции (57,1) в любой момент времени 1, если известно значение этой функции в момент времени 1 = О. Изменение состояния с течением времени можно описать и с помощью. преобразования Ч" ($, 1) =Я(1) Ч" (в, 0), (57,3) где оператор преобразования Я(1)=ехр( — -5 Н~1) (57,4) удовлетворяет условию Ф-унитарности З (1)=тай'(1)та=5 '(1) (57,5) Ч"г В)=Я-'(1) Ч" В. ), Рт(1) = З (1) го(1). где оператор преобразования Я(1) определен (57,4), а 5 (1) =ехр~ — „Н~1 ~. Из (57,7) следует (см., например, способ получения (31,8)) операторное уравнение 18-~- = (Р, Н,1, (57,8) (57,6) (57,7) которое па форме соответствует операторному уравнению(31,8) в нерелятивистской квантовой механике. Следствием (57,8) является утверждение, что физические величины г, операторы Наряду с указанным выше шредингеровским представлением изменения состояния с течением времени в релятивистской теории существует другое — гайзенберговское представление изменения состояний Ь течением времени, при котором волновые функции сохраняются неизменными, а операторы изменяются с течением времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
