Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 46
Текст из файла (страница 46)
интегралом движения. Поскольку прн сво.- бодном движении импульс р является интегралом движения, то интегралом движения будет и физическая величина, соответствующая оператору 1 0 0 0 Π— 1 О О 2 д 2 О О 1 О 0 0 0 — 1 '(60,19) если ось г выбрана вдоль направления импульса. В дальнейшем мы будем пользоваться буквой е для изображения как двухрядных, так и четырехрядных. матриц Х, которые образуются из двухрядных матриц е.
В $29 отмечалось, что собственные значения операторов, задаваемых в виде диагональных матриц, совпадают со значениями диагональных элементов. Таким образом, собственные /0 е'1 Если учесть что а ~ /, то плотность тока будет, со.\ Ае О/' гласно (59,9), определяться равенством 1=се(Фтеу+Мтея) - "— — '' (фте(еЧ~р) — (Юрте)е4= = ~ . (Ф~Ч — ~ркрт) + ~ го1(у~В~). (60,17) з ю3 движение чхстип описыВАемых ЕРАвиением диРАКА ет~ 0 (60,20) Говорят, что в состоянии и~ спин частицы направлен вдоль импульса, т. е. яр= р.
В состоянии ие спин частицы направлен против импульса, т. е. Ир = — р. Следовательно, в состояниях, описываемых спиновыми функциями (60,20), проекция' спина имеет определенное значение. Возможны, конечно, состояния, в которых проекция спина не имеет определенного значения. Этим состояниям соответствуют спиновые фуннции и= а1И1+ аУ,. В общем случае спиновые функции изображаются двумерными одностолбцовыми матрицами или функциями от переменной, ,пробегающей только два значения. Итак, из анализа решений уравнения Дирака для свободного движения частицы с определенным импульсом мы пришли к заключению, что это уравнение описывает частицы, характеризующиеся некоторой величиной — спином, проекции которой на направление движения принимают только два значения ~СЕ/2.
О таких частицах говорят, что они имеют спин, равный 1/2. К этим частицам относятся электроны, мюоны, протоны, нейтроны, нейтрино. Физический смысл спина этих частиц будет определен ниже (см. % 62). Волновые функции состояний с определенным значением импульса, направлеяным вдоль оси е, определенным знаком А (1 или — 1) н проекцией спина з, (Г/2 или — 1/2) можно кратко записать в виде ЧРР, А (60,21) Функции (60,2!) удовлетворяют соотношениям ортогональности и нормировки, которые выражаются равенствами .Ч' „Нт=6 б б(р' — р).
Произвольное состояние с определенным знаком А .может быть записано в виде Ч'А = ~~)~~ ) А (р) Ч'РА*, й'р. (60,22) значения оператора (60,19) равны ~В/2. Собственные функции этого оператора, соответствующие собственным значениям й/2 н — В/2, могут быть представлены в анде (60,4) со спиновыми функциями квАзиРелятиаистскАя кВАнтОВАя теория [Гл. Тиь Учитывая, что НОЧг А= ХЕрЧгрь, легко определить действие оператора Л на функцию (60,22)! ЛЧг ~я~~~ ~ о Чг [зр 2Чг (бб йз) г А(р)УУ 8 С помощью оператора Л можно образовать проекционные операторы П+= 2 (1 +Л), П = — (1 — Л), 1 2 которые обладают простыми свойствами: П+Чг.=Чг+, И+Чг =б, и ч~,=о, и чг =чг. Таким образом, при действии оператора П+ (П ) на произвольную функцию Дирака из нее выделяется часть, соответствующая положительным (отрицательным) состояниям.
По аналогии со случаем частиц нулевого спина операторы, действующие на функцию Дирака, легко разложить на четную н нечетную части. Так как все положительные функции ортогоннльны ко всем отрицательным функциям, то средние значения всех нечетных операторов в состояниях, соответствующих определенному знаку А всегда равны нулю. Последовательная одно- частичная теория должна использовать либо решения; соответствующие положительным состояниям (А = Ц, либо решения, соответствующие отрицательным состояниям (Х = — 1).
Поэтому в последовательной одночастичной теории все физические величины должны выражаться через четные («одночастнчные») операторы*). При выполнении этого условия, как будет показано ниже, связи между операторами (и средними значениями физических величин) релятивистской квантовой теории одной частицы будут аналогичны связям между соответствуюшими величинами классической теории. Определим правила выделения из операторов теории Дирака четной и нечетной частей.,Предположим, что оператор а может быть представлен в виде а = (а) + (а), ") Следует, однако, нметь в внду, что нз-за аффектов взанмодействня с рругнмн полямн н вакуумом представленне о релятнвнстском двнженнн одной частнцы.не может быть сохранено.
В связн с зтнм последовательная квантовая теорня двнження одной часгнцы может дать 'прнблнженное опнсанне только такнх явленнй, в которых аффекты рождення реальных н внртуальных частнц мало существенны, т. е. явлений, протекающих прн малых знергнях н а малых внешннх полях. чая двнжание члстиц. Опнсывхямых урхвнанням'днРАКА этз где [а) — четная, а (а) — нечетная часть оператора а. Тогда по определению знакового оператора Л (60,23) и четного и нечет- ного операторов имеем аЧ"+ [а) Ч'+ + (а) Ч'~, аЧ" [а) Ч' +(а)Чс, ЛаЛЧ'+ —— ЛаЧ«+ — — [а) Ч'+ — (а) Ч"+, ЛаЛЧ" = — ЛаЧс = [а) Ч" — (а) Чс . Из полученных равенств находим [а) = — (а + ЛаЛ), (60,24) ( ) - —,' (а — ЛаЛ).
(60,25) Легко убедиться, что оператор Гамильтона свободного движения Нв и оператор импульса являются четными операторами. Используя (60,24): и явный вид оператора Л (60,!2), можно, например, вычислить четную часть матрицы ел срРо ср [а) — о = Л Е~~ Ер (60,26) Таким же образом находим, что четная часть матрицы (1 равна [В) = —,',* Л, Как уже отмечалось в 5 63, понятие «одиочастичной» координаты частицы и соответствующего оператора л в релятивистской теории одной частицы должно быть изменено. К этому же заключению можно прийти, вычислив оператор скорости частицы со спином 1/2.
Согласно 5 31, при учете явного вида оператора Гамильтона (60,2) уравнения Дирака, имеем Нр] — са л«! (60,27) Поскольку собственные значения оператора а равны ~1, то мы приходйм к парадоксальному результату, что собственные значения абсолютной величины скорости частицы со спином 1/2 всегда равны скорости света. Далее, поскольку матрицы аь а«, а» не коммутируют между собой, то и компоненты оператора скорости (60,27) не коммутируют между собой. Легко, однако, ви-. деть, что четная часть оператора (60,27) для положительных решений выражается через оператор импульса равенством, соответствующим связи между скоростью и импульсом и КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ англ, юп' классической релятивистской теории.
Действительно, используя' (60,26), имеем ' (60,28) Следовательно, оператор скорости равен сар/Ердляположительных'решений и — с'р(ЕР для отрицательных решений. Равенство (60,28) наводит на мысль, что в качестве «одно- частичного» оператора координаты в квазирелятивистской квантовой теории одной частицы со спином '7» можно взять четную д часть оператора х=й —. Для выделения четной части опедр ритора: х воспользуемся соотношением дй Л.ФА — ААЛ = Фй дрА ' Тогда легко получить, что [х[= — (х+ ЛхЛ) = х+ — ' — — р.
(60,29) я Последнее слагаемое в (60,29) не меняется с течением времени. Изменение первого слагаемого выражается операторным равенством (60,27). Изменение второго слагаемого в (60,29) легко определить, если учесть соотношение Ноа + аНр — — 2ср; тогда имеем Ж вЂ” „а =[а, Но[=2(ср — На)=2 (аН вЂ” ср)= = 2лтста[) + 2(с [о Х р[. (60,30) Амплитуда изменения [х[, обусловленного вторым быстро осциллирующим (с частотой 2тс»7й) слагаемым, по порядку величины будет равна комптоновской длине волны частицы, так как В связи с этим собственные функции оператора координаты частицы [х[ уже, не являются б-функциями, как это было для оператора х нерелятивистской теории, а «размазаны» по области порядка комптоновской длины волны частиць?. Учитывая (60,27) и (60,30), находим д (л) ~ ~ с»рй сйНоа ссрй дт И ' о = — [[х[, Н ]=са+ — — — о ЕР ЕР ЕР что.совпадает с (60,28). ковАРилнтнля зАпись МРАВнения диРАКА этб ч бц Итак, в релятивистской теории для сохранения приближенного представления о движении одной частиб1ы в качестве оператора координаты частицы.
следует брать оператор 1л1 который иногда называют оператором среднего положения частицы (усредненного по объему, линейные размеры которого порядка комптоновской длины волны частицы). 5 61*. Ковариантная запись уравнения Диракв Для исследования свойств преобразований волновых функций Дирака и билинейных комбинаций, составленных нз этих функций, удобно переписать матричное уравнение (59,11) в более симметричном виде относительно пространственных и вре; менных переменных. Для этого введем четыре координаты хи —— = (л, (с1) и новые матрицы у„= (у,у,), выражающиеся через матрицы а и р с помощью соотношений рй — о'1 ~а О)' (61,!) Новые матрицы у„являются эрмитовыми.
Они удовлетворяют перестановочным соотношениям 7 ут+убуб=26,Р, !б. ч=!» 2. 3 4 (61,2) Умножая (59,12) нв — Вй и используя приведенные выше матрицы у„, можно записать это уравнейне в ковариантной форме ( ~~ увр„— (тс»)бп.= О, 1)Р = — 16 —. (61,3) Конкретный вид матриц у„, входящих в (61,3), не имеет существенного значения. Необходимо только, чтобы они удовлетворяли перестановочным соотношениям (61,2). Допустим, что наряду с матрицами у имеется другая совокупность матриц у„', также удовлетворяющих перестановочным соотношениям-(61,2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
