Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Следовательно, инфинитезимальный оператор поворота (см. $, 18) для спиновых функций определяется равенством Вспоминая рассмотренную в 5 18 связь (18,12) между операто- ром проекции момента и инфинитезимальным оператором 1, = — -й-Е„ Ь мы убедимбя, что 2 о, является проекцией момента количества движения, связанной со спинозой переменной. Квадрат оператора спинового момента сводится к диагональной матрице ящ ' ' * кВАзиРВлятивистсккя кВАитоВАя твоуия тгл. Ти[ Следовательно, собственные значения квадрата спинового' момента всегда равны одной величине г2 32 з 4 Оператор г, коммутирует с г2, и его собственные функции И[= ~ П2=-~ а,а„= — ака, = [аг, аа„= — аа = — (а кау,г к к~ В результате получаем ве [Я„Щ = — [а„аР! = (ей (аг))к — ак,бг). (62,4) Из (62,4) следует, что проекция г, оператора спинового момента в общем случае не является интегралом движения.
Только в состояниях с определенным значением импульса, направленного вдоль оси а, когда ар = а,р, проекция спинового момента г, является интегралом движения (см. $ 60). Складывая (62,3) и (62,4), имеем [(Е, + г,), Н ) = О. (62,5) Таким образом, в общем случае сохраняющейся величиной будет сумма проекций орбитального и спинового моментов. Эта сумма называется проекцией полного момента'чаетш[ы. Этой проекции одновременно являются свбственными функциями оператора г'.
Проекция углового момента Е, коммугирует с оператором Гамильтона свободного нерелятивистского движения частицы без спина. Покажем, что эта коммутация отсутствует для частицы со спинам [[2, поведение которой описывается оператором Гамильтона уравнения Дирака. Из (50,2) н определения оператора Ек следует ~Е„Йр) = с [Е„ар[= йе (а„[4„— а„б„), (62„3) Таким образом, проекция орбитального момента Е, не является интегралом свободного движения в теории Дирака.
Можно, однако', показать„что сохраняющейся величиной будет сумма Е,'+г,. Чтобы вычислить перестановочиое соотношение между г, и Нр, можно использовать перестановочные соотношения между операторами и; и аь следующие из определения дираковских матриц (59,!3) и равенств (59,!5), 2 й Аналогичным образом можно показать, что с оператором Ои коммутируют и две другие проекции й й Х»= Х.„+ ~ в», Х„= Х.„+ р пе. :.з проекций Х„, ХР, Х, можно составить оператор полного лбогзенти количества движения частицы, Обладающей спинам '/б, + 2 (62,6) В состоянии с определенным полным моментам Х общие волновые функции, зависящие как от пространственных, так и от спиновых переменных (индексы у спинавых функций), преобразуются при вращении системы координат на угол у вокруг направления, определяемого единичным вектором и, с помощью оператора З(вр)= щрЯ(Х+ е а) п~р~, (62,7) Операторы Х.
и а действуют на различные переменные, поэтому они коммутнруют друг с другом. Равенство (62,6) следует понимать в смысле векторного сложения двух операторов моментов, к которому применимы правила, установленные в $4!. В связи с этим квадрат полного момента количества движения будет равен Хт=й'10+1), где 1=! ~ 'Хб. (62,8) Проекция полного момента частицы Х,=йгп, где гп=гп~ ~: '/б.
Введем новые обозначения для рассмотренных в $60 двухкомпонентных спиновых функций (60,20): !(,м, п,=~ ~, !1, А=п,=~ ~. Тогда можно написать Л,Х,,, = йт,!(,, (62,9) (62,10) где ! Пбв= д Ю А. С. Давыдов 5 би мОмент каличестВА дВижения электРОнА В теОРии диРАкА оав соответствует оператор КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ !Гл. ун! Спнновые функции Х,„можно также рассматривать не как матрицы в (62,9), а как функции, зависящие от одной спниовой переменной тп„ пробегающей два значения ~'/т, так что йь "12) ' ху» Ь1 ) , ~~)-О, 2,„„,~~- — ) *!. В атом случае условие ортонормпруемостн атих функций будет выражаться равенством ~х,. -(.)х, ° (.)=й -" ж %ж 'йг» м»»3 » » где коэффициенты векторного сложения для (=1~ '/а н т,=~ !/в определяются выражениями (' 2' 2'2! 2' ) ( 1 1 1 ! 1 — т+ —, — — ~)1+ —, гп) = 2' 2' 2! 2' ( 1 1 1 ! 1 ! / 1 —.ю'+'/а = — (1 — — —, — )! 1 — — т) = ~/ ~' 2' 2' 2) 2' ) Р 2!+1 Волновые функции (62,11) являются одновременно собственными функциями квадратов операторов полного /, орбитального и спинового моментов с следующими собственными значениями: — (О+ ) / а.в= !!а!(1+ 1), вт — — йа.
3 4 (62,12) Функции (62,11), зависящие от угловых переменных 8, <р и спи- новой переменной т„называют спин-угловыми функциями, нли сферическими функциями со спинам. Согласно правилу векторного сложения, волновые функции, соответствующие состояниям с полным 'моментом, определяемым, согласно (62,8), квантовым числом 1 и проекцией полного момента, определяемой квантовым числом т, выражаются через сферические и спиновые функции формулой Ф„вн»(ВР) = Р,(!. 2, т — т..т. 1/т) У! .. (8ф) Х,,,. (62,1 1) РЕЛЯТИВИСТСКИЕ' ПОПРАВКИ 2 63. Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле Согласно общему правилу ($58), переход от уравнений свободного движения к уравнению.
описывающему движение частицы в электромагнитном поле (А, Ас), осуществляется с помощью преобразования е. р ~р — — 'А, а — «а — еАс (63,1) В случае электрона е ( О. Произведя преобразование (63,1) в уравнениях (60,8), получаем (е — е А, — тс5 ор = со (р — — ' А) Х, У- е е (е — еАс+ тс-1 Х = со (р — — А) ор. С (63,2) Исследуем эту систему уравнений для иерелятивнстских движений в слабом поле, когда выполняются неравенства В=Е'+ тс', )Е' — еАр)(( тс'.
Тогда система уравнений (63,2) перейдет в систему уравнений Е'оР=са (Р— —, А) Х+ еАсоР, е "( --") (63,2а) Х Е'+2сосо — еАо Р 2ыс (Р с ) Р' ео ( ' ) -~- А,) о. ~оз,о). Используя тождество (60,10), находим ~п(р — — А)) =(р — — 'А) — — 'пго(А. Подставляя это выражение в (63,3) и вводя напряженность магнитного поля Н го1А, получаем нерелятивистское уравнение для движения частицы со спинам '/я в электромагнитном поле: ~ (р- — 'д) Е'р- ~ 2' + еА — 2', (ОН) ~р.. (63,4) 1Оо Подставляя значение Х из второго уравнения (63,2а) в первое, находим уравнение, содержащее только спииовую функцию «р, КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [Гл.
\чи Уравнение (63,4) было впервые предложено Паули (1927 г.), поэтому его называют уравнением Падла. Сравнивая это уравнение с нерелятивистским уравнением (58,9) для бесспиновой частицы (при условии ч[(г, 1)= <р(г)е-[ВТ[А), мы убедимся, что (65,4) содержит в операторе Гамильтона дополнительное слагаемое (63,6) — ([А, Н) = — [Аз (аН), где [[з — — ей/(2тс) — магнетон Бора. Выражение (63,5) можно интерпретировать как энергию вза-.
имодействия с магнитным полем магнитного момента частицы, соответствующего оператору (63,6) Этот магнитный момент называют слиновым магнитным моментом, так как он имеется только у частиц, обладающих спинам. Таким образом, в нерелятивистском приближении оператор Гамильтона уравнения Дирака содержит член, учитыва[ощий внутренние магнитные свойства электрона. Величина этого магнитного момента и его свойства однозначно определяются уравнением Дирака..Это следствие теории прекрасно согласуется с экспериментом для электронов и хорошо подтверждает применимость уравнения Дирака для описания нерелятивистского движения электрона.
Если ось г направить вдоль магнитного поля, то проекция оператора спинового магнитного момента электрона будет равна Собственные значения этого оператора равны ~ел/(2тс). Учитывая, что собственные значения оператора в. = (л/2)а, проекции внутреннего механического момента равны ~В/2, получаем, что отношение магнитного спинового момента к механическому равно е/(тс), т. е. в два раза превышает соответствующее отношение для моментов, обусловленных орбитальным движением. Отметим, что введение взаимодействия электромагнитного поля с частицей спина [/г с помощью преобразования (63,1) не является единственно возможным.
Чтобы рассмотреть более об'щий случай„ удобно исходить из ковариантиой записи уравнения Дирака (61,3) для свободного движения. В этом случае рассмотренный выше переход к уравнению движения в электромагнитном поле, описываемом четырехмерным потенциалом АР (А /Ао)*,)' — „~ =0 РелятиВистские пОпРАВки осуществляется преобразованием е д р„~ РР— —, А„, 11„= — 18— (63,7) Получаемое при этом уравнение Жуя(к —.") — ~-1 ~=9 (63,8) остается релятивистски инвариантным. Оно также инвариантно относительно градиентного (калибровочного) преобразования потенциалов ~~ у,',(11„— —, А,„) — йпс1 %'= — 1д ~',)~~~ уяу,Р,„Ч', (63,10) где ""' д д дАР дле (63,11) д — безразмерный-параметр, ей 2тс ' Если учесть, что компоненты напряженностей электрического и магнитного полей связаны с компонентами тензора (63,11) соот- ношениями 84= 4рм ее! РА,4 и принять во внимание равенства ео~ —— уеуь (а4 = уръ то ~ у„у р„~ = 2 (1 (4РМ) — (4444)).
АР— — А;„+ — ~, (63,9) где ) — произвольная функция, удовлетворяющая условию Х..= —,=О. Инвариантность по отношению к первому преобрад'1 зованию следует непосредственно из ковариантной записи уравнения (63,8). Инвариантность по отношению к градиентному преобразованию (63,9) легко может быть установлена, если одновременно с преобразованием потенциалов (63,9) провести в (63,8) унитарное преобразование волновой функции '(е=Ч"'ехр( ц-)). Легко, однако, видеть, что требовании релятивистской инвариантности и инвариантности относительно градиентного преобразования потенциалов (63,9) будут выполнены и в том случае, когда уравнение (63,8) будет заменено уравнением КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ »гл.
у«п ей, где р = — ' Π— оператор спинового магнитного момента ча2с«с стицы. Сравнивая (63,!3) с-соответствующим выражением плотности тока для частицы без спина (58,6), мы убедимся, что спиновый магнитный момент частицы вносит в плотность электрического тока дополнительный вклад, равный с[у К(«р»»««р)). $64. Спин-орбитальиое взаимодействие Рассмотрим движение частицы со спином «/т в электростатическом поле с точностью до членов порядка О9се.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
