Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Поэтому возможны стационарные состояния, в которых все 'три величины, соответствующие этим операторам, имеют определенные значения. В этих состояниях зависимость волновых функций от угловых и спиновых переменных определяется функциями (62,1!), а операторы угловых моментов можно заменить собственными значениями (62,12). Таким образом, уравнение для радиальной волновой функции стационарных состояний атома водорода сводится к виду = [В'[ + %'е+ Р(гз) [ре[[ (г). (67;9) Уравнение (67,1) выведено в $ 64 в предположении, что Хе' хе' м .Е+ — ~ 2тсе. Поэтому для значений г < — 1,47' 10 см его использовать нельзя. Однако при приближенной оценке поправочных членов [е[ в уравнении (67,1), которая проводится в этом параграфе, роль малых значений г ничтожно мала, несмотря на наличие в (67,3) и (67,6) особенности при г = О.
Для упрощения решения уравйения (67,1) введем оператор полною момента электрона х=1+ а. Теперь скалярное произведение ве., входящее в (67,5), можно выразить через квадраты Операторов моментов 2ВХ = Р— Х' — а'. (67,6) Учитывая (67,6) и переходя к сферической системе координат, преобразуем (67,2) и (67,5) к виду В [ д[,д[ Х| г г[е = — '!г ) + Ьи ге дг 1 дг) 2тге г (67 7) 1 (67,8) т ел АТОМ ВОДОРОДА С УЧЕТОМ СПИНА ЭЛЕКТРОНА аы где Ф1 и йтэ определены соответственно (67,3) и (67,4), а йУТ= —,,",„~/(1+ !) — 1(1+ !) — Я. (67,!О) Поскольку операторы %'; имеют порядок величины (о/с)т, то решение уравнения (67,9) можно провести методом последовательных приближений.
В нулевом приближении имеем уравне- ние ~Ел+ ел ~ — * д (г д ) — е 1+ — ~~Рл~(г)=О, (67э1!) которое в точности совпадает с уравнением нерелятивистской теории атома водорода без спина. В $ 38 было показано, что каждому значению энергии . ~'ае' Е = — —, и=1,2 л лат л ЬЕл/=Ел( Е = ~ ~рЬ(ЯГ +йУУ+)Рз)гтдг. (67,!2) о При вычислении (67,!2) удобно перейти к атомным единицам. Вводя постоянную тонкой структуры е~ 1 ве !зт (67,! 3) яе и Ел= — —,, запишем (67,!2) в виде суммы трех слагаемых (и1! МУ; ! П/) = Уплт г Улт т (о) О, если 1чьО, ) ЯД~б(Р)Р 4~=. з = а г4 — и-.
если 1= О. зл (п1)Муз(л() = — — ~ ~рт ~Е + — ) РтНР=-" — ~-( — — —,~ ), (П1) (Рз)л/~= ~ [/(1+ 1) — 1(1+ !) — — 1 ~ ф — г~йг = ллг4 1 (1+ 1) ~ если 1= 1+ /и Зл (Р1+ !) !( — 1 ', если /=1 — '/з. соответствует а радиальных функций ~рщ(г), различающихся значениями квантового числа 1= 0, 1, ..., а — 1.
Используя вид этих функций и заменяя в Ягт энергию Е ее значением Е„в нулевом приближении, можно выразить поправкукэнергииуровня Ел в первом приближении формулой КЙАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ !Гл. Уи! 3!2 При вычислении этих матричных элементов были использованы следующие значения интегралов от р А на волновых функциях атома водорода: !р2!рраа( = „) !Р'! Р Р 2(Р '(!+!1,) ' 2 арал! а Р а(Р ла(! ! !)(! ! а1 )! аул!( ) ла !о' Подставляя полученные значения матричных элементов в (67,12), находим окончательную формулу для поправки к энергетическим состояниям (в атомных единицах) атома водорода, обусловленной релятивистскими эффектами для частицы со спином !12: (67,14) 1зу,', 2ж!„2ри, 2рА, Ззв, Зрв, Зрл, Зг(чл Зг(А и т.
д. Состояния, обладающие одинаковой энергией, подчеркнуты. Волновые функции стационарных состояний электрона в ку.лоновском поле могут быть записаны в виде 1 л11~) = !рл! (~) Ф, ! (6!угла)а 2 (67,15) Из формулы (67,14) следует, что релятивистские эффекты .при учете членов порядка (о/с)2 приводят к расщеплению и'- кратно вырожденного уровня нерелятивистской теории Шредингера для частицы без спина. Теперь, кроме главного квантового числа п, уровни энергии зависят от квантового числа 1 = а/2, 212, ..., определяющего полный момент количества движения электрона в атоме. Энергия зависит только от квантового числа 1 и не зависит от 1.
Поэтому пары уровней, имеющие одинаковые и и 1 при 1=1~ !12, остаются вырожденными. Такое двукратное вырождение энергетических уровней сохраняется и при точном решении уравнения Дирака (см. ф 68) в кулоновском боле. В связи с тем, что при учете спина электрона появляется новая степень свободы, общее число энергетических состояний, соответствующих одному главному квантовому числу п, равно 2а2, что в два раза превышает число состояний частицы без спина. При учете спина электрона обозначение «п1» квантового состояния частицы в центрально-симметричном поле заменяется обозначением «п122, где квантовое число 1, стоящее справа внизу у латинской буквы 1, характеризует полный момент электрона в данном состоянии.
Таким образом, в атоме водорода возможны -состояния $ зп АТОМ ВОДОРОДА С УЧЕТОМ СПИНА ЭЛЕКТРОНА З(З где радиальные функции ~р ((г) в нулевом приближении совпадают с функциями Чы~(г) нерелятивнстского уравнения для частицы без спина. Функции Ч'РА ( (О~ргп,) определены выражениями (62,11). Они зависят от угловых и спинозой переменных. Энергия стационарных состояний (67,15) зависит только от квантовых чисел и и 1. Каждый из этих уровней (2!+!) Кратно вырожден по магнитному квантовому числу т =.~1, ~(1 — 1), ...
„ определяющему проекцию полного момента количества движения электрона. Система уровней, соответствующая разным значениям ЬЕ„у при одинаковом значении Е, называется тонкой структурой. Из формулы (67,14) следует, что при данном л «полная ширина тонкой структуры», т. е. расстояние между уровнями 1~ — — и — '7з и 1з = '/м Равна а'х' (а — 1) Р= ЬЕ„А — АЕ„А= Эта величина меньше, чем полная ширина тонкой структуры для частицы без спина (см.
58, 24а), где А! = 2г4а2 (а — Ц аз( !) Расстояние между отдельными компонентами тонкой структуры пропорционально квадрату постоянной тонкой структуры (67,!3), т. е. порядка 5 10-' атомной единицы энергии. Для уровня л = 2 атома водорода (Х = 1) энергетическая разность между состояниями 2ра и 2жь равна аз(32 (ж0,365 см-~) Абсолютная величина тонкой структуры с ростом главного квантового числа быстро уменьшается. Поэтому расщепление спектральных линий, соответствующих переходам между состояниями с разными значениями л, обусловлено а основном расщеплением уровней нижайшего состояния. Так, например, каждая бальмеровская линия (соответствующая квантовым переходам в состояние л = 2) состоит из дублетных линий, расстояние между которыми порядка аз732 атомных единиц энергии.
Многочисленные экспериментальные исследования, проводившиеся оптическими методами, подтверждали выводы теории Дирака о тонкой структуре энергетических состояний атома водорода. В некоторых экспериментах наблюдалось небольшое расщепление уровней 2тт, и 2рь, но это расщепление бьио порядка вероятной ошибки измерения ( 10-з по отношению к энергии перехода). Применение радиочастотной техники к исследованию малых разностей между энергетическими уровнями повысило точность измерения на 3 — 4 порядка, что позволило в 1947 г. Лэмбу и Ризерфорду (5О! с достоверностью установить, что уровни 2з|А и 2рь смещены друг относительно друга <гл.
щп КВАЗИРЕЛЯТИВЙСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 314 Для оценки величины сзерзтонкого расщеплении энергетическик уровней з-состояний элентрона з атоме можно считать. что ядро атома язляется точечным магнитным диполем с моментом и. Такой диполь создает потен- циалы которым соотзетстауег магнитное поле т (тхд1=т(т 4 ) т ~ ~ ) (67.16) Оператор йг — — ней = — — паза ей ей йглс 2гнс характеризует ззаимадейстзче магнитного момента электрона с магнитным полем. Следоиательно, з первом приближении теории возмущений смещение Р азией з незазмущенном электронном састоянки Чг ранна Ю = (Ч")йг(Ч') ° усть Ч'= ~р,(г)м, где <рг(г) — радиальная функция з-состояния; и — спиновая функнди. Тогда ей АЯ = — — (н)пз1н) (фз1ай)фз) 2гпс примерно на 10'$ от величины тонкой структуры.
Объяснение относительного смещения уровней 2з А и 2рчн названного лзмбовским смещением, было дано квантовой электродинамикой. Оказалось, что это расщепление в основном обусловлено радиационными ' поправками (взаимодействие электрона с вакуумом). Небольшие дополнительные поправки вызываются конечными размерами и внутренней структурой ядра. Учет всех этих эффектов приводит к прекрасному согласию теории с экспериментом (см. (51]).
При вычислении релятивистских поправок, приводящих к тонкой структуре энергетического спектра электронов в атоме, мы считали поле атомного ядра центральным электрическим полем. Однако ядро атома водорода и многих других атомных ядер обладает магнитным моментом, Взаимодействие магнитных моментов электрона и ядра приводит к расщеплению вырожденных (по проекции полного момента атома) энергетических уровней атома. Поскольку ядерный магнитный момент примерно в' 1бз раз меньше орбитального магнитного момента электрона, то расщепление уровней, обусловленное магнитным моментом ядра, будет примерно в 1Оз раз меньше расщепления, вызываемого спин-орбитальным взаимодействием (тонкая структура), Всвязи с этим расщепление уровней энергии, обусловленное магнитным моментом ядра, называют сверхтонким расщеплением.
Измерение сверхтонкого расщепления энергетических уровней атома является одным из методов измерения спиноз и магнитных моментов атомных ядер. й ЗЩ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРЛКА ДЛЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ 316 (фг (м) фг) (фг ! тз ! ф~) р (ф~ )б (г)! фг) рф~ (о) Следовательно, в нерелятивистском нриближенни сверхтонкое смещение а-уровней.атома выражается равенством аЕ= ж й — Нфг(0) ей з где р — магнитный момент ядра, гл — масса злектронз, ф,(0) — значение волновой функции злектрона в центре атома.
5 68". Точное решение уравнения Дирака для кулоновского поля В этом параграфе мы исследуем точное решение уравнения Дирака для движения электрона в кулоновском поле с потенциальной энергией )г'= †,Лез/г. В этом случае оператор Гамильтона имеет вид Н= сир+ тез6+ У(г). (68,1) Учитывая центральную симметрию потенциальной энергии, удобно записать (68,1) в сферической системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
