Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Полагая в уравнениях (63,2) А = О, еАе = !г(г), находим (при е = Е'+ п«се) систему уравнений [Е' — Р (г)]«р= спрй, [2и«се+ Е' — )Г (г)] 1( = сор«р. (64,1) (64,2) Вычислим из уравнения (64,2) функцию т с точностью до пер- Е' — 'г' вых степеней отношения —. Подставляя значение 2«все в уравнение (64,1), находим уравнение, содержащее только двухкомпонентные функции, (Š— р) р = — [1 — ) ар р.
« ер Г е' — е"« 2с«[ 2«чс«) (64,3) Тогда уравнение (63,10) можно записать в виде ~ ~ у„~р„— — А„) — (л«с[ Че=д и' ((оМ)+ !(ад)) Че. (63,12) Для электронов хорошее согласие с экспериментом получается при д = О. Для нуклонов вводят уравнения с я чь О. В заключение этого параграфа вычислим выражение для плотности электрического тока частицы спина «/е в электромагнитном поле. Пользуясь (59,9), выразим плотность электрического тока через двухкомпонентные функции [ = сеЧ'"аЧ'= се(«р~ОХ + Х а«р). Если подставить в это выражение значение функции т, (63,2а), то после простых преобразований получим в нерелятивистском приближении р= — ~, [«р~у«р — ~~~) р) — — '~ ~~р+ [РХ(р «мр)[, (63,13) спин ОРвитАльпов Вззимодвиствия 11ля преобразования правой части уравнения (64,3) используем (60,10) и равенство (~~) )'-(г) (ар) = 7 (г) (пр) (ар) — 18 (о.дгаб )) (ор) = =((г)рз — (Д((агаб1) р+ йгНятаб)) Х р)). Тогда уравнение (64,3) преобразуется к виду Е'~р = Н'~р, (64,4) такую, чтобы ~'Ч~Ч,(т= ( р'Е'й,ргт=1.
(64,8) Сравнивая (64,8) с (64,64, можно найви явный вид оператора преобразования (с точностью до несущественного фазового мно- жителя); 11ь Р2 д=(1 — — ' ~1 — —. 4ж с атее~ ' Преобразование функций (64,7) (не унитарное) должно сопровождаться преобразованием оператора Гамильтона. В этом легко убедиться, если написать уравнение (64,4) в виде Е'аЧ =(аН'й' ') йчр Следовательно, оператор Гамильтона уравнения Е те= Н'4г (64,9) с точностью до членов порядка от/ст равен — +--~[(йтаИ') Хр)+ в ...
рЧ'(г), (64,9а) где ЕР $Г ' = ~» — — ~ и +У+ 4~,, ж б У) х р) — —,, (9 б У) р. (64,5) Чтобы последовательно учесть все члены, имеющие порядок от/сз, следует помнить, что функция ~р, согласно (60,16), нормирована с втой точностью условием ~ р ~(т= ~ ~рт(1 — ~,,)~рот= 1. (64,6) Удобнее вместо функции ~р использовать другую функцию Ч =йчр (64,7) КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1ГЛ.
ЧИ1 При получении (64,9а) были использованы равенства рЧ/ (г) — 1г (г) рз = — йзтар (г) — 216 (йтао р) р, (1 )р2 р2 ( ) Первые два слагаемых в (64,9а) соответствуют нерелятивистскому оператору Гамильтона. Три последних слагаемых учитывают релятивистские поправки порядка огсз. В этом легко убедиться, если учесть, что йг йтг' й ятай 'т' ° — ° р'т' и йз тат' —, рз'т', где а — характерный размер системы.
Итак, релятивистскую поправку к операто~у Гамильтона нерелятивистского движения частицы со спином /з можно записать в виде В' = (р'1 + В'2+ %'з, (64,10) где (64,11) — поправка, впервые' введенная Дарвином [41[. В случае куло- 1 НОВСКОГО ПОЛЯ )г(Г) = — Езоге. УЧИтЫВая, ЧтО тз — = — 4нб(Г), получаем яй гата )р'1 = —... 6(г). Величину йУ1 иногда называют оператором контактного взаимодействия. Он определяет дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром в в-состояниях. (б"- Р1 2гпез (64,12) — поправка к оператору кинетической энергии, возникающая из-за изменения массы частицы при изменении ее скорости. Наконец, пуз= —,',, [(атай Р) Х Р] (64,13) Ввд оператора спнн-орбнтального взанмодействня может быть установлен нз общих соображеннй.
Оператор спнн-орбнтального взанмодействня в не. релятнвнстской теорнн должен быть скалярной величиной относнтельно вращений н пространственных отраженна, составленной вз операторов спнна а, вмпульса р н скалярной потендвальной знергнн. Поскольку — поправка, которую называют оператором спин-орбитального взаимодействия. спин-опвитзльное вззимодеиствие В центрально-симметричном поле дУ кгап 1'= — —. г дг Подставляя это выражение в (64,13), находим оператор спин- орбитального взаимодействия для движения частицы спина '~з в центрально-симметричном поле ((уз =(2тлтсзг) ' — (зд.), (64,14 ) й где з = [г Х Р) — оператор орбитального момента, и= — ст— е оператор спннового момента. В з-состояниях среднее значение Муз равно нулю. В некоторых случаях удобно в операторе (64,13) выразить скалярный потенциал Ае непосредственно через напряженность электрического поля Ж, тогда, нгас( У = е огай Аа — — — еЖ; следовательно, ейн (Уз= — 4штсз ЯХР) (64,15) )т)ы рассмотрели движение частицы со спином '/з в электромагнитном поле.
В этом случае взаимодействие характеризуется электрическим зарядом е частицы. Однако взаимодействия между элементарными частицами могут осуществляться и силами, не зависящими от электрического заряда. Таковы, например, ядернзяе взаимодействия между нуклонами, обусловленные взаимодействием нуклонов с мезонным полем, или взаимодействия нуклонов с электронно-нейтринным полем, приводящие к преобразованию нуклонов в ядрах и т. д.
Таким образом, представляет интерес исследовать более общий случай движения частицы в произвольном внешнем поле. В наиболее общем виде движение частицы со спином '(т в произвольном внешнем поле определяется уравнением - (1 ~~у унан + тс) тк" = — ~ ()„Ч", а (64,16) где ل— операторы, соответствующие возможным типам взаи- модействия частицы с внешним полем: р — полярный вектор, а з — акснальный вектор, то единственным возможным скаляром будет %', Ан 1(агам У) )( р), сде А — постоянная. Как показано выше, из уравнения Дирака следует, что А = а/(4ттст). КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЙ [ГЛ. У!П а) в случае взаимодействия с внешним скалярным полем оператор энергии взаимодействия равен Ю,=)'. б) в случае взаимодействия с внешним векторным полем Оу= Х ТРВР Вр = (В (64,! 7) Частным случаем взаимодействия (64,!7) является рассмотренное выше взаимодействие с электромагнитным полем, определяемым потенциалами А„=(А, !Аа), тогда В„= (еА„; в) в случае взаимодействия с тензорным полем («т = Х~ ур'Ч»ср»' Частным случаем этого взаимодействия является взаимодействие магнитного момента с полем (см.
(63,10)), когда 1 С„„= —,йи,~',„. Рассмотрим случай, когда частица взаимодействует со скалярным и векторным полем одновременно. Тогда, выделяя временную производную в (64,16), можно записать это уравнение в вице !й — =~са (р — — В(гр)) + 6(тат — )'(л)) + В (л)~Ч'. (64,18) В нерелятнвистском приближении можно выделить из (64,18) часть оператора Гамильтона, соответствующую спин-орбитальному взаимодействию, В'р = (, ОНйтай Вр)Хр) — ( —,, [(йтай У) )(р). (64,19) й Ва Уравнение Дирака должно описывать поведение любой «свободной» частицы, имеющей спин '/р. Однако понятие «свободной» частицы является приближенным. Каждая частица взаимодействует с «вакуумом», т. е.
с виртуальными полями других частиц. При учете взаимодействия частицы с внешним полем, в частности с электромагнитным полем, надо учитывать влияние и виртуальных полей. Такие неизбежные дополнительные взаимодействия приводят к поправочным' членам в уравнениях, описывающих поведение частицы во внешнем поле. Для электронов эти поправки малы. Как показывает квантовая электродинамика (42, 43), эти поправки частично можно учесть эффективным изменением магнитного момента и заряда электрона. Так, вследствие взаимодействия с вакуумом электрон приобретает добавочный чья зхвядовов соцеяжвнив, чхстицы и хнтинхстнцы язв (по сравнению с ц = еЩ2тс) ) магнитный момент бр = —, 9, где а — постоянная тонкой структуры. По-видимому,'р-мезоны также слабо взаимодействуют с вакуумом, поэтому уравнение Днрака сравнительно с большой точностью применимо для описания нх взаимодействий с внешним электромагнитным полем.
К частицам, имеющим спин '/м принадлежат также нуклоны (протоны и нейтроны). Для нуклонов взаимодействие с виртуальным а-мезонным полем играет весьма существенную роль. Поэтому при' исследовании их движения во внешнем поле необходимо учйтывать их взаимодействие с этим полем и через вйртуальное мезонное поле. Если бы-такое взаимодействие отсутствовало, то магнитный момент протона был бы равен ядерному магнетону А~„= ей/(2Мс) (М вЂ” масса протона), а магнитный момент нейтрона должен равняться' нулю. На самом же деле, как„показывает опыт, магнитный момент протона равен цр ж ж 2,79 М'„, а магнитный момент нейтрона ц = — 1,91, эг„. Строгая теория учета влияния и-мезонного поля на взаимодействие нуклонов с электромагнитным полем в настоящее время еше отсутствует, поэтому приходится учитывать такое взаимодействие феноменологически путем формального введения экспериментальных значений магнитных моментов в нерелятивнстское уравнение типа Паулй и в операторы, определяющие спин- орбитальное взаимодействие нуклонов с электрическим полем.
На малых расстояниях ядерные взаимодействия значительно больше электромагнитных, поэтому в операторе спнн-орбитального взаимодействия (64,19) будет играть основную роль второе слагаемое, если Р характеризует скалярное ядерное поле, действующее на нуклон. Такое поле определяется ядерным взаимодействием между нуклонами. Спин-орбитальное взаимодействие йг,„= — (, ) ((Втаб 0') Х рЪ ' (64,20) лп обусловленное ядерным полем г', играет существенную роль в объяснении поляризации нуклонов при их рассеянии на ядрах. Энергетический спектр нуклонов в ядрах также сильно зависит от спин-орбитального взаимодействия (64,20) .
9 Вб*. Зарядовое сопряжение. Частицы н античастицы В % 58 была исследована операция зарядового сопряжения для частиц нулевого спина. которая позволяла из решений Чг, соответствующих частице заряда а, получать решения Ч'„изображающие движение частицы заряда — е в том же поле. Определим теперь операцию зарядового сопряжения для частиц спина 366 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (гл, \чн 1/т, т. е. найдем такое преобразование функции Ч', удовлетворяюшей уравнению (63,8) для частицы с зарядом е, при котором новая функции Ч', удовлетворяла бы уравнению типа (63,8) с измененным знаком перед электрическим зарядом.
Итак, по определению, если функция Чг удовлетворяет уравнению (63,8), то зарядово сопряженная функция должна удовлетворять уравнению ( ~у„(Р„-~- —,А„) — ~ (т,=0. Н Определим преобразование, обеспечивающее переход от функции Ч" к функции Час. Для этого рассмотрим уравнение, комплексно сопряженное уравнению (63,8), в котором мы предварительно выделим член с (х = 4, ~ — уф+.~-Л,)+у (р+ — Ч) — ( ~Чг'=6. (65,3) Если в уравнении (65,2) провести преобразование функции Ч' =СЧ", или Ч",=С 'чР' (65,3) с помощью унитарной, симметричной матрицы С, удовлетворяющей равенствам ' (65,4) то уравнение (65,2) перейдет в уравнение (65,)). Свойство симметрии и унитарности матрицы С выражается соотношениями С =С'=С '. (65,4а) Определим свойства преобразования зарядово сопряженных состояний Ч.", прн пространственном отраженнн. Как было показано в $61, при пространственном отраженнн функции 'У преобразуются по закону Рчг= Атччт, где Л Ф 1, Ш1.
Следовательно, Рч. =1учЧГ'. Используя полученное равенство н (63,3), находим Рчг С ~РЧт* Х С ~у Чг. Учитывая далее (63,4) н (65,3), получаем закон преобразования спиновых волновых функций разных классов прн пространственном отраженнн Рч с Х у4С Ч~~ Л учч с Итак, если А = ~1, то прн пространственном отражении аарядово сопряженное состояние Ч", преобразуется так же, как и Ч'. Если Х ~1, то четности функций Ч' н Ч", по отношению к пространственному отражению будут противоположными. й зя зарядовое сопряжение, частицы и анти истицы зо( В настоящее время для частиц, нмеющнх спнн Чз, еще не удалось уста-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
