Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Как показано, Паули [401, в этом случае всегда имеется такая несннгулярная унитарная матрица 3, которая преобразует одну совокупность матриц в другую, т. е. УР= УР Согласно общей теории унитарных преобразований (см. 5 ЗЦ, если одновременно с преобразованием матриц (61,4) провести преобразование функций Ч"'= 3»», КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ.
Я[11 то уравнение Дирака остается неизменным. В этом можно убеди[ъся и непосредственно, если подставить значения штрихованных матриц и функций в уравнение Дирака Я у„'юа„— юте) Ч"' = О и умножить полученное уравнение слева на 3-1. Перепишем уравнение (61,3), отделив временную производную (у й д + [йуу + [тс) Ч" = О Тогда уравнение, эрмитово сопряженное к данному, можно за- писать в виде й д (у4 сйуу сюпс) с дс В гели условиться, что на функцию Ч" действуют операторы, стоящие справа от атее.
Умножая это уравнение справа на матрицу ус и «перенося» ее с использованием перестановочных соотношений (61,2) через операторы, стоящие в круглых скобках, получаем уравнение й д Чю у4(ую — — + сйут — стсС=О. е дс Если ввести функцию У4 ° (61,6) называемую функцией диракоески сопряженной относительно Чг, то последнее уравнение можне записать в компактной форме Чг(2', у„ф„+ ю'тс) = О. (61,6) Уравнение (61,6) называется дираковски сопряженным уравнением относительно уравнения (61,3). В новых обозначениях рассмотренные в 5 69 выражения для плотности электрического заряда и тока принимают вид р = еЧ'4ЧТ = еЧгуюЧ', ю'= сеЧ"" аЧ" =' юсеЧгуЧ". Эти выражения можно объединить в единый четырехмерный вектор [„= (у, сер) = юес'к уРЧ".
(61,7) При этом уравнение непрерывности (закон сохранения электрического заряда) сводится к равенству коВАРиАНТИАя ЕАпись уРАВнения диРАЯА 277 б бп или в краткой записи х' ах, аа = 1, где а — матрица преобразования,транспонированная к матрице а. Преобразования (61,8) не изменяют квадрата длины 4-вектора и соответствуют собственным преобразованиям Лоренца, вращениям в трехмерном пространстве, инверсии пространственных координат и обращению времени. Операции инверсии пространственных координат соответствует матрица преобразования — 1 0 0 0 . 0 — 1 0 0 г'»')= ΠΠ— 1 О 0 0 0 1 (61,97 Операции обращения времени соответствует матрице 1 0 0 . 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 (61,10) Оба этн преобразования координат относятся к !!!1скретным пре- образованиям с детерминантом преобразования, равным — !.
Собственные преобразования Лоренца и все трехмерные вра- щения в пространстве относятся к непрерывным преобразова- ниям, т. е. к преобразованиям, которые могут быть получены из тождественного преобразования путем непрерывного его изме- нения. Детерминант, составленный из коэффициентов матриц.
таких преобразований, равен 1. В качестве примера укажем две матрицы непрерывных преобразований. а) Матрица преобразования соз Х 0 0 з(пт, О 1 0 0 (ах )= . !Ят,= г —" (611!), — з(пт, 0 0 созт соответствует преобразованию Лоренца, т. е. переходу к системе координат, движущейся относительно начальной системы вдоль оси х со скоростью о.
Исследуем теперь свойства преобразований волновых функ. ций уравнения Дирака при ортогональных преобразованиях координат х,', = 2~ а»„х.„, ~~.'~ а».„а».„ь„, (61,87 КВАЗНРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРЫЯ $гл. юп б) Матрица преобразования сезар з(по ΠΠ— з)пв соз~р О О О О 1 О О О О 1 (61,12) соответствует вращению системы координат вокруг осн г на угол ~р. В этом параграфе. мы рассмотрим только преобразования с ам ) О, т.
е. преобразования,' не содержащие операции обращения времени. Операция обращения времени будет исследована в $119. Если учесть, что матрицы.Дирака у„яаляютсячислами и не изменяются при преобразованиях координат (61,8), .а операторы четырехмерного импульса преобразуются по закону р„=Х;,р„ (61,13) то при преобразовании (61,8) уравнение Дирака перейдет в уравнение 1 ~ у„))„' — 1глс) Ч"' (х') = О, (61,14) где Чг' — новые функции от новых независимых переменных х„'. Определим теперь такое унитарное преобразование волновых функций: Ч (~.)=зч~(х), (61,!5) при котором уравнение (61,14) перейдет снова в уравнение (61,3). После подстановки (61,13) и (61,15) в уравнение (61,14) (~~.", у,„а„„ф„— ютс) ЗЧ" = О.
Умножая это уравнение слева иа 3-', приведем его к виду . !А".~ 5 у„8а„,фт — !Тпс) Ч'= О. Сравнивая полученное уравнение с уравнением (61,3), мы убедимся, что они совпадают, если Х8 'у„За„„=у,. Используя свойство ортогональиости матрицы преобразования (61,8), последнее равенство можно преобразовать к виду 8 'у„З= ~~'.~~ а„у,.
(61, 16) Система четырех уравнений (61,!6) определяет матрицу преобразования волновых функций уравнения Днрака при преобразованиях координат (61,8). ковяриАнтнАя зАпись УРАВнения диРАИА 279 Можно показать, что при преобразованиях координат, ке ме. няющих знака времени (ам ).О), дираковски сопряженные функнии преобразуются по закону тут тйг8 (61,!Ту Л(атрицэ преобразования фуницнй (3) вследствие мнимого характера координаты л, !с! ие унитарна. Среди .матричных элементов матрицы преобразования координат (61,8) только ам и аы (й,! 1, 2, 3) действительны, элементы жа аы' являютсв. мннмммн. Поэтому, учитывая свойство эрмитовости матриц у1„нз равенства (61,16) нахолим з Ф (3 7~З) о~у~ — „)гг очэуэ. э=! ,Умножая полученное равенство справа иа уч н учитывая свойство коммутации матРиц Тв, находим (З усу) у4 З уч (З ) уз уа Х явгув'~ н Правую часть этого равенства можно преобразовать согласно (61,16).
Тогда получим учЗ~уч (З~) уэ З 'угЗ. Поскольку у уч !, можно преобразовать это равенство к виду .(Т.З'у) уг(учЗ"уе) -З 'у З Из последнего равенства следует, что (61,18) гдеЛ 1,— 1. Чтобы выяснить, когда Л 1 н когда Л = — 1, рассмотрим тождество З~З З~угугу. Преобразуем правую часть етого. тождества с помощью (61,18) и (61,16). Тогда получим з З З-ЛТ4З учЗ-Л п44+ Х п4йуа «1 Взяв шнур, т. е.
сумму диагональных элементов от обеих частей полученного равенства между матрицами, и учитыва)г, что Зр(у4уь) О, находим Зр (ЗтЗ) Лаге Теперь нв условия Зр (ЗгЗ) ~ 0 непосредственно сзедует, что Л ! дяв преобразований. ие меняющих знака времени (ам ) 0), и Л = — ! для преобразований, меняющих знак времени (ам ( О). Итак„ -! 3 „если аы>0, (61,19) 1 — З ', есзн вы<а Перейдем от равенства (61,15) к зрмитово сопряженному (т(г/)Ф ч)гтят 280 .КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЙ 1гл.
Тш После уМножения полученного соотношения справа на у4, используя определение (61,5), имеем' 1 Т43 'Т4 Ф Из этого соотношения н (61,19) сразу получаем ФЯ ', если а44>0; -1 — ЧТЗ, если аи ( О. Матрица преобразования 3 действует только на спияовые переменные функции Ч" согласно правилу (61,15), которое в более подробной записи имеет вид Ч"ч(х') = ~ Я,рЧТВ (х) = ~ ЯИ4Ч" (а-!х'). (61,20) в в Правила преобразования координатной функции при преобразованиях координат были рассмотрены в 2 43.
Так, например, при вращении системы координатных осей на угол у вокруг направления единичного вектора и, преобразование координатной функции определяется оператором момента количества движения 4., коммутирующим с матрицей 3: 1'(г', 1)=ехр)4 — „~~(г',.1). Поскольку правая и левая части этого равенства относятся к одинаковым независимым переменным, то знак штрих можно опустить. Итак, при вращении координатных осей полная функция Ч' преобразуется по закону "(~-. 4(~<4МЧ(~. Матрица 3(ф) будет определена ниже (см.
61,26) ). При любом ортогональном преобразовании (61,8) можно найти матрицу 3 преобразования спиновых волновых функций уравнения Дирака, удовлетворяющую соотношениям (61,16). Существование такой матрицы следует уже из того факта, что четырехмерные матрицы у„образуют неприводимую группу. Существование матрицы 3 может быть также доказано и непосредственно путем явного построения матрицы 3 для пространственных отражений, вращений в трехмерном пространстве и переме.щений, поскольку из этих элементарных преобразований можно построить любое другое конечное преобразование. Рассмотрим, например, преобразование, соответствующее пространственной инверсии. Умножая равенство (61,16) слева па 3, приведем его к виду у„Я= ~ а„'„Яу„. 2 бя КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 48$ Теперь, используя вид коэффициентов преобразования (61,9), имеем 74~ ~т!» 22 ~22 тг ~73 24~ ЖУ4 Полученные соотношения удовлетворяются, если о' = Ху* где А — коммутирующий со всеми матрицами у„множитель, модуль которого равен единице.
Явный вид этого мйожителя будет определен ниже. Определим вид оператора 3 для непрерывного преобразования пространственно-временных координат. Любое непрерывное преобразование получается путем последовательного применения бесконечно малых преобразований. Поэтому достаточно определить вид матрицы о для бесконечно малых преобразова:- ний. Бесконечнр малые ортогональные преобразования (61,8) осуществляютея матрицей ПРУ = 6Р„+ ВРУ, (61,21) где е у — бесконечно малый тензор второго ранга.
Чтобы преобразование (61,21) сохраняло длину 4-вектора„ необходимо выполнение равенства дв = Х аАРаае — — 6РУ + (ВРУ+ В,„) + ... Следовательно, бесконечно малый тензор второго ранга в (61,21) должен быть антисимметричным. Из (61,1Ц, например, следует, что преобразованию Лоренца при бесконечно малом значении т,= 4- соответствует е о о ох 0 0 0 0 О 0 0 0 ' ~~ е' — 1( 0 0 0 (61,22) Вращении» вокруг оси з на бесконечно малый угол бу, согласно (61,12), соответствует 0 бч~ 0 0 — 642 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (61,23) При бесконечно малом преобразовании х'„= ~ (6„„+ В„)х, У матрица 8 будет отличаться от единичной матрнцы бесконечно квззиззлятивистскхя кВАнтОВАя твогия !гл. ччн малой добавкой,. пропорциональнои л„,ч т.
е. 3=1+ 2 ~~) С е„„ вч или более подробно ~ «=й«з+ 2 ХбчФев ° Иоэтому равенство (61,20) можно записать в виде ч".~ч-у(ь„+-фося )ч',<ь '*). Р ч вм Для вычисления явного вида генератора преобразования — Сф ! т 2 можно использовать равенство (61,16), которое при условии (61,21) сводится к уравнению —,1,'~~ (у„С" — С""у,) „,=,'~~.„,у„. М М Проведя преобразование ч ч ! ъ"~ .у.=,'~~ъб,у,= — 2,~, .(б у,— й„,уА), можно представить предыдущее уравнение в виде Х(у.б"' — ~'"у.-б..у,+б ~.) „=6. хт ! Последнее уравнение удовлетворяетея, если = — уху„.
Таким образом, матрица преобразования' днраковских функций при бесконечно малом преобразовании пространственно-временных координат определяется соотношением 8=1+ — ~~! В„„ч,д . (61,24) нч ! Прн ПрОСтраНСтВЕННЫХ ВращЕНИяХ т„т» !ОА, Гдс р, т, !ч — цИК- лические индексы, пробегающие значения 1, 2, 3. В частности, при вращении вокруг оси 3 на бесконечно малый угол йчр, значения е„определяются матрицей (61,23) и уччгз=(оз, следовательно, З,(йч) = (1+ —,ййю,). (61,25) Заменяя в (61,23) индекс 3 на'1 и 2, получим операторы бесконечно малых поворотов соответственно вокруг осей 1 и 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
