Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Переход от представления Шредингера к представлению Гайзенберга'для функций и операторов осуществляется соответственно обобщенными унитарными преобразо- ваниями кВАзиРВлятиВистскАя кВАнтОВАя теОРия [гл. Тиг которых Р коммутируют с оператором Ни являются интегралами движения, т. е. средние значения таких величин не меняются с течением времени в любом состоянии. Одним из основных постулатов нерелятивистской квантовой механики является утверждение (см.
э 8), что собственные значения операторов характеризуют результаты возможных измерений соответствующих величин в произвольном состоянии. Чтобы сохранить это утверждение в релятивистской теории надо изменить определение некоторых операторов. Покажем это на примере-свободного движения частицы. Собственные значения и собственные функции оператора Нр для случая движения с определенным значением импульса вычисляются с помощью уравнения Н2Чр = еЧ', (57,9) где Н2 (Тз+ 2Т2) + Мс Тз. Р 2 2М Легко убедиться, что уравнение (57,9) имеет два решения ЧА(л) = — '(варь') рР— '"1, ) =+, —, (57,)9) соответствующие собственным значениям е„= ХЕр„ (57,!!) если ~ррь и трь определены выражениями (55,18) и (55,20).
Одно из этих собственных значений отрицательно: е — с $~р2+ М'с', следовательно, оно не может соответствовать энергии свободного движения частицы, которая всегда положительна. В нерелятивистской квантовой теории собственные значения оператора Гамильтона играли двоякую роль: они определяли энергию стационарных состояний и зависимость волновых функций от времени. В релятивистской теории собственные значения оператора Гамильтона также определяют зависимость волновых функций от времени. Так, в соответствии с (57,3) имеем Чрь(х, 1) =ехр( — — „Нр~) Чрь(л) ехр( — — „ХЕр~) Ч А(х).
Однако энергия стационарных состояний всегда положительна, т. е. энергия определяется собственными значениями оператора Нр только с точностью до знака. Действительно, энергия системы в стационарном состоянии совпадает со средним значением энергии, т. е. ЕА (ЕЙ ~ 2рА2тзН2ТРА г7т, э эп ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ НУЛЕВОГО СИЕНА 253 Учитывая далее равенства ОГЧ"„= ЕАЧ"А — — 'АЕ Ж. ~ Ч'Атэ%,йт=й, находим Еэ-деэ=! Еь! ЕР. Таким образом, энергия стационарных состояний положительна как для Х= 1, так и для А= — 1.
В нерелятивистской теории связи между операторами соответствовали связям между классическими величинами. Например, согласно (17,5), связь между операторами скорости и импульса частицы соответствовала связи между скоростью и импульсом нерелятивистской механики. В релятивистской квантовой теории такое соответствие нарушается. Покажем это на примере оператора скорости. Используя (57,8) и (55,!3), находим — = — (х, Н!! = (тэ+ !тэ) ~ . «Ь ! (57,12) Классическая же релятивистская теория приводит, как известно, к следующему соотношению: (57,13) 1 11 Поскольку матрица (тэ + !тэ) = / имеет собственные ~ — 1 — 1/ значения, равные нулю, то и собственные значения оператора скорости (57,12) равны нулю. Здесь мы опять убеждаемся, что собственные значения оператора в релятивистской теории не всегда соответствуют возможным результатам измерения.
Если бы все измерения скорости приводили к значению, равному нулю, то и средняя скорость во всех состояниях равнялась бы нулю. Таким образом, не все операторы нерелятивистской квантовой теории могут быть непосредственно перенесены в релятивистскую теорию, изучающую движение одной частицы. В 5 53 уже отмечалось, что ряд операторов, например оператор координаты частицы, должен быть видоизменен. В нерелятивистской теории оператору координаты х = х частицы соответствует собственная функция б(х — 'х'), допускающая возможность локализации частицы около точки х' в сколь угодно малом объеме.
В релятивистской квантовой теории возможность последовательного одночастичного описания ограничена. Понятие одной частицы можно сохранить только в том случае, когда исключается ее локализапия (внешними полями) в объемах, меньших й/(Мс). З зб ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЙ ЧАСТИЦЫ НУЛЕВОГО 'СПИНА 265 части оператора коораинаты (57,19) в р-представления, можно вычислить по правилу (578) (учитывая (56,10)) производную па времени от атой вели- чины (5722) Ф >(е 1+>(л')=(2пй) А [( ехр(+™-~>Р >Е>(р)дзг ° Подставляя в зто выражение значение (57,22), находим собственную функцию четной части оператора координаты (57,19) в л-представлении: "1+> (" ) [ А - В /' ГА+В1 (57,23) где йз з з юь А = — д (цт + 1) А з>п (дз) до,  — о (»з + 1) >' з!п дз д >.
з Эдесь йз= —, з йз(к — л [. Мс ь 6 Пользуясь формулой Бассета ([37), стр. 191) ь) к.( ), саз (зо) д4> зт )> и + 1) +А ~ 1) '(т( )' д сзр [зч>)=[рр Вю) тз В (57,20) Собственные значения оператора (57,20) равны соответственно сзр с'р Следовательно, в состоянии с е = В связь между операторами произ- Р водной по времени от (л$р н импульсом соответствует связи между скоростью и импульсом частицы в классической теории.
Позтому оператор [хю~ можно назвать одночостичныл опера>>ором координаты частицы. В Ф-представлении функции Ф 1+> (р) = (2п6) 5 ~ ) ехр ( — +) (57,21) являются собственными функцнямн оператора (57,19), соответствующими индексу состояния з, индексу представления р и положительному заряду частицы.' Переход от Ф.представления к обычному представлению осуществляется преобразованием %е 1+>(р)=ь> >Ф + [р). Учитывая явный внд матрицы преобразования (56,1), находим собственную функцию оператора (57,19) в обычном р-представлении: Переход от р-представления к к-представлению осуществляется стандартным путем (см.
6 27)> кВАЗИРелятинистская кВАнтОВАя теОРия (гл. уи1 где К„(г) — видоизмененная функция Бесселя второго рода, илн функция Бассета, можно выразить интегралы, входящие в А и В, через производные от функций Бассета чь е(ет+ 1) 3!П(ег) д7 — ~ — з — 1) Кгг [2) т Чч з — .( ° ч Ч(йз+ 1) зш(ег) дб = ~ — з () К~ (г) ° г( †) (4/ Используя далее асимптотическое разложение функции Бассега ((37), стр.
хзб) прн больших г / и хг 4тт — 1 Кт(г) = )/ — е [!+в 2г " зг определим асимптотическне значения А н В для больших значений г; А — г дехр( — «),  — — г дехр( — г), г= -У ° в Мс) х — х') й й 58. Взаимодействие частицы нулевого спина с электромагнитным полем Из классической электродинамики известно, что переход от классической функции Гамильтона (энергии, выраженной через импульс) для свободного движения частицы Е = )/Мас'+ схР к функции Гамильтона для частицы с зарядом е, движущейся в электромагнитном поле, определяемом потенциалами А„= — (А„А„Аз (Ао), (58,)) можно осуществить преобразованием Š— » 8 — сАо~ Рн Рв Ан е Р- Р— — А.
с Переход от квантового уравнения для свободного движения (54,6) к квантовому уравнению для движения заряженной частицы можно получить (по аналогии с классической физикой) из (54,6) путем преобразования р-ьр — — А = — рй — — — А. е . д е с " дх1, с (58,3) (58,2) Таким образом, собственные функции оператора среднего положения частицы не являются б-функциями, а отличны от нуля в области пространства, линейные размеры которого (г 1) порядка комптонозской длины волны частицы Ь/(Мс) (ЗЗ). а м/ . чдстицд игливого спиид в элвктвомдгнитиом поля 257 Таким образом, находим релятивистское волновое уравнение (2'(Є— —,А„) .выы)в — о. (вв4~ или в более подробной записи: —, [/й — — еАс) ф= [(р — — А) + /И'с') вр.
' (58,4а) Функция вр в (58,4) комплексна, так как заряженные частицы описываются только комплексными функциями. Если умножить уравнение (58,4а) слева на ар* и вычесть из полученного уравнения ему комплексно сопряженное, то снова придем к уравнению непрерывности (54,7); при этом плотность электрического заряда и тока будет в присутствие электромагнитного поля определяться выражениями /СВ /, двг двг" 1 свАо в = — вг — — ф — — — вг вг 2Мсв~ д/, д/ / Мсв 2№(Р в в в) Мс (58,6) Из ковариантной записи уравнения (58,4) следует, что наличие электромагнитных потенциалов не нарушает инвариантностн уравнения по огношению к преобразованиям Лоренца. Как известно, одно и то же электромагнитное поле может быть описано потенциалами, отличающимися друг от друга градиентныли или калибровочным, преобразованием типа дд„ где а/ — произвольная функция.
Из равенства ма !еб (/д„— — А„)е"' ф'=е "' (р„— — А;,) вР' следует, что если калибровочное преобразование потенциалов сопровождается унитарным фазовым преобразованием функций ф=ф р[ —,';, а), то вид уравнения (58,4) не меняется. Поскольку унитарное преобразование не отражается на физических свойствах системы, то можно утверждать, что уравнение (58,4) инвариантно относительно калибровочного преобразования потенциалов. Пользуясь калибровочным преобразованием потенциалов, всегда можно выбрать такие потенциалы, для которых — — +б)ч А= О. 1 дАо с д/ (58,7) я д, с, давыдов квязиРелятивистскАЯ квАнтовАЯ теоРия 1ГЛ, ъчп Осуществляя преобразование ням ч (г, т)=~р(г, 1)е при условиях ~Й д, ~, ! еАвгр!((1Мс%р~, (58,8) находим ')18 д — еАв) ф(г, 1) гм* — гг д .
длвт е " ~М'с' — 2Мс'еАв+ 2МсЧЬ вЂ” — ий — в~~,р. дг д1 1 далее, гмеч ~Р— — А) ф(г, 1) е " ~р' — — Чр + — '. А'+ — "" б)тА1~р Подставляя полученные равенства в (58,4а), получаем, при условии (58,7), нерелятивистское уравнение Шредингера,описывающее движение частицы без спина в электромагнитном поле: Рл д ) ям м АР+ а и А +еАв)гР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
