Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Т' А х~ уаву ="чч Р Главной особенностью релятивистского уравнения (54,5) является то, что оно — уравнение второго порядка относительно времени. Поэтому для определения изменения волновой функции с течением времени надо знать значение самой функции н ее первой производной в начальный момент времени. Поскольку значения ф и — в начальный момент могут быть произвольдф д~ ными, то величина р, определяемая равенством (54,8), может быть положительной, отрицательной и равной нулю. В связи с этим нельзя интерпретировать р как плотность вероятности определенных значений координат частицы. Эта трудность была причиной того, что долгое время считали релятивистское урав.
пение (54,5) не описывающим реальных частиц. Вторая особенность уравнения (54,5) связана с законом пре. образования волновых функций ф при ортогональных преобраЗованиях координат х' =~а„,х,, (54,13', У ЯЯО КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл. юц где р, т = 1, 2, 3, 4. Преобразования (54,13) не изменяют квадрата длины 4-вектора и соответствуют вращениям в трехмерном пространстве, собственным преобразованиям Лоренца и инверсии координат (см. $ 61). Согласно специальной теории относительности, релятивистские волновые уравнения должны сохранять свою форму при преобразованиях координат (54,!3). Для исследования свойств преобразования волновой функции удобно рассмотреть уравнение Клейна — Гордона в ковариантной записи (54,6).
Поскольку при преобразованиях координат (54,13) квадрат длины 4-вектора не изменяется, то из (54,6) следует, что при этих преобразованиях волновая функция может умножаться только на множитель, по модулю равный единице. Таким образом, при преобразованиях координат (54,13), которые мы кратко запишем в виде х- х'=ах, (54,13а) волновая функция уравнения (54,5) преобразуется по закону ф(х)-~ф'(х') = Хф(х), (54,14) где 1).) = 1. Если преобразование (54,13) относится к непрерывным преобразованиям (повороты на произвольные углы в четырехмерном пространстве), т. е. матрица.
преобразования зависит от непрерывно изменяющихся параметров мь кь ..., то при значениях параметров а~ = хз =... = 0 величина Х = 1. Дискретное преобразование, соответствующее пространственному отражению, определяется равенствами г — ~г'= — г, Двукратное применение пространственного отражения является тождественным преобразованием.
Поэтому ),з = 1, или ). = ~ 1. Если Х = 1, т. е. ф'(г', 1') =ф'( — г, г)= ф(г, 1), то функция называется скалярной; если Х = — 1, т. е. ф'( — г, Г) = — ф(г, 1), то функция ф называется псевдоскплярной. Итак, волновая функция ф может быть либо скаляром, либо псевдоскаляром, т. е. величиной, которая не меняется при пространственных вращениях и преобразованиях Лоренца. Скаляр остается неизменным, а псевдоскаляр меняет знак прн инверсии пространственных координат.
Законы преобразования волновых функций при преобразованиях координат (54,13) являются существенной математической характеристикой свойств частиц, описываемых соответствующим уравнением. Эти свойства характеризуются понятием — спин ча- 4 5и РелятиВ. уРАВнение для чхстицы с нулеВым спином 24! 4 = —,'", (ф'Чф — файф'), (54,15) (54, 16) Величина, определяемая (54,16), является временной компонентой 4-вектора, пространственные компоненты которого определены (54,15). Величины р и 7' теперь можно рассматривать как плотность заряда и плотность электрического тока. Возможность двух знаков у р определяется знаком заряда соответствующей частицы.
Из уравнения непрерывности (54,7) следует сохранение полного заряда, т. е. ~ р 5(т = сон з(. Плотность заряда р определяет разность между числом положительных и числом отрицательных зарядов, поэтому она ие является положительно определенной. Если имеется одна частица, то плотность либо положительна,'либо отрицательна в зависимости от знака заряда частицы, Для частиц без электрического заряда р = О.
Наличие или отсутствие электрического заряда у частицы проявляется только при взаимодействии этой частицы с электромагнитным полем. Поэтому вводимые в этом параграфе величины (54,15) и (54,16) можно оправдать только при исследовании взаимодействия частнц с электромагнитным полем. стицы. Скалярные и псевдоскалярные волновые функции описывают частицы, имеющие спин, равный нулю. К таким частицам, как теперь установлено, относятся пионы, т. е. частицы с массой покоя -270 масс электрона и имеюшие либо нулевой, либо положительный, либо отрицательный электрический заряд.. Пионы описываются псевдоскалярными волновыми функциями (см.
5 107). Возможно, что спин, равный нулю, имеют и каоны, т. е. частицы с массой -966 масс электрона. Вследствие возможности рождения и уничтожения пар частиц число частиц в релятивистской теории не сохраняется. Поэтому при больших энергиях невозможно проследить за движением одной частицы. С другой стороны, величина суммарного заряда сохраняется, поэтому вместо плотности вероятности координат частицы удобно рассматривать плотность вероятности электрического заряда. Умножим (54,8) и (54,9) на электрический заряд частицы е, равный по абсолютной величине заряду электрона, тогда полу- чим КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ~гл. нщ $55.
Свободное движение частицы с нулевым спином (55,2) (55,4) Как было указано в $ 53, понятие свободного движения частиц является идеализацией. Эта идеализация особенно далека от действительности в случае исследования частиц нулевого спина, так как известные частицы (пионы, каоны) очень сильно взаимодействуют с другими частицами и полями. Однако исследование решений уравнения (54,5), описываюшего свободное движение частиц с нулевым спином, представляет большой методический интерес, поэтому мы рассмотрим здесь эти решения. Будем искать решения уравнения (54,5), соответствующие состояниям с определенным значением импульса. Тогда ф = А ехр ~ — „(рх — е1) ~, (55,1) Подставляя (55,1) в (54,5), мы убедимся, что это уравнение удовлетворяется, если е = ч- Е„где Ер — — с агре+ Мест — энергия частицы. Таким образом, решения уравнения (54,5), соответствуюшие состояниям с определенными значениями импульса и заряда, могут быть двух типов ~РА = А ехр~ -а- (рх — ),ЕР1) ~, (55,3) Х= —, е=~Е.
е Е„' — е' Подставляя (55,3) в (54,15), находим Хелр (55,5) Решения типа ~р+ соответствуют свободному движению частиц с импульсом р и знаком заряда е, а решения типа ~р — свободному движению с обратным знаком заряда. Если на свободное движение частиц наложить периодические условия с большим периодом Е по трем осям декартовых координат, то компоненты волнового вектора будут принимать дискретные значения й~= — ао п~ — — О, ~-1, *2, ...; 1=1, 2, 3.
(55,6) В этом случае общее решение уравнения (54,5) для свободного движения частицы нулевого спина с определенным знаком заряда имеет вид $А=Е ь~ Аехр(г[йх — Ха(й)11), а(в)= —,Р . (55,7) ф з ен своводное движение чАстицы с пиленым спином Итак, переход к релятивистскому квантовому уравнению приводит к появлению дополнительных степеней свободы по отношению к нерелятивистскому уравнению.
В нерелятивистской теории состояние свободного движения с определенным значением импульса только одно. В релятивистской теории заряженных частиц с нулевым спином в случае свободного движения с определенным импульсом имеются решения, которые можно сопоставить двум возможным значениям заряда частицы. Следовательно, новая степень свободы связана с электрическим зарядом частицы. Для более наглядного выделения двух степеней свободы удобно переписать уравнение (54,5) для комплексных волновых функций в виде системы двух линейных относительно временных производных уравнений для двух волновых функций тр н Х.
Положим (ф+Х); тй ду = Мс (тр Х) дф (55,8) тогда легко убедиться, что система уравнений И вЂ” „=-,~ ~'(ф+Х)+М Ъ дф йз ) тй — = ййт т (ф+Х) — МсзХ дх (55,9) будет в точности эквивалентна уравнению (54,5). Для упрощения записи функции.ф и Х можно рассматривать как две компоненты функции Ч", представляемой в виде матрицы з) =(:) (55,10) имеющей один столбец.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
