Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Греческие индексы ч, р, ... пробегают целые положительные значения ог 1 до некоторого а, которое будет определено ниже. Постоянные коэффициенты тх'~> и () в системе уравнений (59,3) определяются из следующих двух условий: а) система уравнений должна приводить к уравнениям непрерывности для р; б) каждая.из функпий юрт в отдельности должна удовлетворять релятивистскому уравнению второго порядка (54,5) *). Легко убедиться, что при выполнении условий из уравнения (59,3) следует уравнение непрерывности -к-+ с))ч у'= О, д) *) Аналогичное треаованне имеется в классической алектродннамике, где шесть величин дгл, д*, Ем Зв ЗВР рва, определяющих в пустоте влектромагнитире поле, удовлетворяют уравнениям Максвелла (уравнениям первого порядка) дд дза сго1ЗВ =, сго1д'= — —, гнтд д)Так=О, дю ' дГ а каждая иа ннх удовлетворяет волновому уравнению, например кВАзиРВлятиВистскАя кВАнтОВАя таоРия [Гл.
ъ'1П если р определяется (59,1) а компоненты вектора плотное ги тока , 1„= ес ~ ф,',а~'~ф„. (59,5) Для упрощения записи перейдем к матричным обозначениям. Образуем из коэффициентов аф и р четыре матрицы а,=(аф, р= Щ). Тогда' условия (59,4) сводятся к требованию, чтобы введенные четыре матрицы были эрмитовыми, чго кратко записывается ц виде а„= атА, Далее все функции ф„объединим в матрицу, имеющую один столбец Ф 2р 222 (59,6) В результате действия матриц аА и (1 на функцию Ч" получаем новую функцию Чг'= аАЧ'.
Компоненты функции Ч" определяются по правилу умножения матриц: ф'„= (аАЧ") ~~'.~ ~а<~>ф„, следовательно, матрицы, (59,4) являются линейными эрмитовыми операторами, действующими на индексы функции ф„которые можно рассматривать как новые (внутренние) переменные, пробегающие дискретные значения. Матрица, эрмитово сопряженная к (59,6), будет иметь только одну строчку: Ч"'=(ф" ф2 ."). (59,7) Используя (59,6), (59.7) и матрицы ам можно выражения (59,1) и (59,7) переписагь е виде р = еЧг "Чг = е ~ ф„"ф„ (59,8) 12= есЧ"~а Ч" = ес ~ ф,',арф„. (59,9) Три матрицы аА можно объединить в одну векторную матрицу а, три компоненты которой совпадают с аА. В этом случае, век- РелятиВистсков уРАВнение диРАкА тор плотности тока принимает вид ееЧР"аЧ'.
(59,10) В матричной' форме записи система уравнений (59,3) сводится к одному ур (59,11) Действуя на (59,11) оператором ! д д аас а~ я с дГ дхг д получаем уравнение (-" — "-- д' т'с' с ды 2 (аьа~+аГаь) д д + р "~ "А '"й ~(«,()+Р„) д ~Ч=О. Это уравнение переходит в уравнение вгорого порядка для каждой компоненты функции Ч", если РУ=У, аьй+ бас — — О, аьаг+а,аь=25АР (59,12) Итак, матричное уравнение (59,1!) удовлетворяет поставленным условиям а) и б), если матрицы р и ад являются эрмитовыми матрицами, которые удовлетворяют перестаноаочным соотношениям (59,12).
Четыре независимые эрмитовы матрицы аь и б могут удовлетворять соотношениям (59,4) и (59,12) только при условии, что они имеют не меньше четырех строк и четырех столбцов. Один из возможных вариантов выбора матриц ад и р заключается в том, что полагают (59,13) О ° н=1 2 3! ()= О т где матричными элементами являются двумерные матрицы Паули, нли епиновые матрицы а,=, от= ., ос= (59,14) ,). о=( ). [гл.
Тнт КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ Матрицы Паули удонлетворяюг простым соотношениям ОА=1, ОАО, = — а,о =!о, (59,15) где индексы й, 1, гп пробегают значения 1, 2, 3 в циклическом порядке. Любая квадратная матрица второго порядка может быть представлена в виде линейной комбинации спиновых матриц Паули и едйничной матрицы. Набор матриц (59,13) не является единственным. Легко убе литься, что матрицы аА = НаАЯ, 5 = О(!О в 60. Свободное движение частиц, описываемых уравнением Днрака Матричному уравнению (59,1!) "можно придать внд уравнения Шредингера 13 — =Н,Ч дч~ дг О (60,1) с оператором Гамильтона, содержащим дираковские матрицы Но = сар+ гпст(!.
(60,2) При записи уравнения в форме (61,1) время выделено явно н основным оператором является оператор Гамильтона Нл. Такая форма записи называется гамильтоноеой 4ормой. Она особей но удобна нри исследовании стационарных, состояний квантовух систем. В стационарных состояниях зависимость волновой функции от времени выражается формулой Чг(», Ю)= Ч" (г) ехр( — 1 — „). Подставляя (60,3) в (60.1), находим уравнение ВЧ" (г) = НВЧА(г). (60,3) (60,4) получаемые из (59,13) с помощью произвольной унитарной. (чтобы сохранить эрмитовость) матрицы 3, также удовлетворяют соотнощениям (59,12).
Все физические следствия матричного уравнения (59,1!), называемого уравнением Дирака, не зависят от конкретного вида 'эрмитовых матриц р, аь. удовлетворяющих соотношениям (59,12) . В соответетвнн с тем,'что 6 и аА являются четырехмерными матрицами, волновые функции Ч" гакже должны иметь только четыре компоненты. Следовательнб, индексы т н р в уравнениях (59,3) должны пробегать значения 1, 2, 3, 4. 4 ах движинии частиц, описываемых ввлвианиам дивана йет Величина е в (60,4) определяет зависимость от времени полной волновой функции (60,3) в 'стационарных состояниях. Для многих приложений удобно выразить четырехкомпонентные функции (59,6) через две двухкомпонентиые функции с помощью равенства (60,6) (60,8) или (60,1 1-) где з; урсР— энергия частицы. Двум знакам в (60,11) соответствуют два типа решений уравнения Дирака для состояний с различным ') Тождество (00,10) легко доказать, еелв использовать свойства матриц Паули (0034).
Используя запись матриц (59,13) через двумерные магрицы (59,14), приведем уравнение (60,4) к системе двух матричных уравнений езр = са(тХ + тсгзр еХ = сортир — тсзХ. Состояния с определенным значением импульса будут описы- ваться системой уравнений (тсз — е) гр + сару = ~), соргр — (глсз + е) Х = О. Отличные от нуля решения этой системы уравнений имеют место только при равенстве нулю детерминанта, составленного,из ко- эффициентов, стоящих при неизвестных функциях, т. е. 9 тс' — е сир сп)г )Псе+ а Раскрывая детерминант (60,9) и учитывая операторное тожде- ство *) (~Л)( )У) = АЗ+(п(,4 Х Щ (60,10) справедливое для двух произвольных, коммутирующих с о опе- раторов А и В, находим тзпг — ее+ сзрз= О, КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл.
чш В импульсном представлении этот оператор имеет простой вид; . Л = сир+ рюсс ЕР Поскольку ЛА = 1, то собственные значения оператора Л равны Л = е~ЕР—— ~1. Собственное значение Л = +1 относится к положительным решениям, соответствующим е = Ер. Собственное значение Л = — 1 относится к отрицательным решениям, когда В = — Е„. Для свободного движения энергия ЕР, импульс р и собственные значения Л оператора Л являются интегралами движения и могут одновременно иметь определенные значения. Если е определяется из (60.11), го с помощью (60,8) можно одну двухкомпонентную функцию выразить через другую, на* пример сер Х= т.с+с Ф.
(60,13) Для состояний с определенным значением импульса зависимость функции ~рот координат выражается функцией ехр~ — 'т 1, л )' Следовательно. <р=Ф(2пй) аехр(+~), и =(~'), и.— не зависящая от координат двухкомпонентная епиноеая функция, на которую действуют матричные операторы а. Эту знаком у энергии в экспоненте, определяющей зависимость волновой функции от времени. Решения с В = Ер будем называть положительными решениями уравнения Дирака для свободного движения частицы, а решения с е = — Ер будем называть отрицательными решениями.
Положительные решения иногда условно называют решениями, соответствующими «состояниям с положительной энергией». Отрицательные решения называют решениями, соответствующими «состояниям с отрицательной энергией». Последние названия были введены Дираком. Они имеют условный смысл и удобны для описания процессов рождения и уничтожения пар частиц (например, электронов и позитронов) на яаыке квантовых переходов одной частицы (см. 5 65). .Введем знаковый оператор Л= — и Н сар+ рси» (60,12) )/~п с)тр + с коммутирующий с оператором Гамильтона свободного движения. Оператор Л эрмитов и унитареи, т.
е. Л Л=Л сащ движвниа члстиц, описывлвмых трлвнвиивм дирлкл функцию обычно нормируют условием ~~и = и*,и, + и'и, = 1, относя оставшуюся часть нормировки к множителю Ф. Итак, функция Дирака, соответствующая состояниям с определенными значениями импульса р, энергии Ер и знака у энергии Л, может быть записана в виде и 1рг спр— чг л(г)=Ф Чтобы фуйкция (60,14) была нормирована условием ~ ЦгсЛ'с»л дт= блл б(р — р'), (60,14) надо положить »псс + ЛЕ 1»»» 2ЛЕс =( ','' ° В нерелятивистском приближении для положительных решений а=Ер — — слсз+Е', где Е' « асс; поэтому из (60,13) следует сер пр 2 ~+и» Р 2 Таким образом, если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, то, согласно~(60,1$) и (60,5), две из четырех компонент волновой функции становятся малыми по сравнению с двумя другими.
В связи с этим'часто функции фь яь называют большими функциями, а Ч»с, $с — милами функциями Для состояний с е = — Е, которые соответствуют отрицательным решениям, наоборот„функции ч»1 и ч»з являются малыми, а функции ч»с и $4 являются большими. И1 Если в данном состоянии ~ ~ частица не обладает опреде~х/ ленным значением импульса, то связь между малыми и большими компонентами в нерелятивистском приближении, согласно (60,7), может быть записана в виде рр .
ст»ь у, »р= — И вЂ”. 2гпс 2гпс Из (59,8) получаем приближенное выражение для плотности электрического заряда в этом состоянии р=з(р'2+Х'Х) = ейр,~1+ „...) р. (60,16) КВАЗНРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ зто (гл. урн При получении (60,17) мы использовали равенства е (еР~р) = Ч~р + Р го1 (еф), (%р", е) е = Чрт — ( го1 (е рт), которые легко получаются при учете соотношений (59,15). Первое слагаемое в (60,17) 'совпадает с нерелятивистским выражением плотности тока для частицы без спина, второе слагаемое учитывает спин частицы. Покажем теперь, что, кроме знака е/ЕР, состояния свободного движения частицы'с определенным значением импульса могут различаться значенинми другой физической величины, которая, как будет показано ниже, обусловлена наличием спина у частицы.'Для этого введем оператор э ~Р Ь (60,18) где Оператор (60,18) коммутирует- с 'оператором Гамильтона (60,2) свободного движения, поэтому соответствующая ему физическая величина является.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
