Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В этом случае оператор Гамильтона можно записать в виде л 9 (71,1) где У вЂ” оператор потенциальной энергии взаимодействия между частицами как функция пространственных координат всех частиц; %' — оператор, характеризующий спин-орбитальное взаимодействие, взаимодействие между спинами частиц и часть потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично учитывающей эффект запаздывания взаимодействия.
Таким образом, оператор )Р является функцией операторов спиноз и импульсов частиц. Взаимодействия, учитываемые оператором йт, 330 квантовая твогия систвм одинаковых частиц !гл. |х-.'.„ имеют порядок величин (0/с)з и в нерелятивистской теории т могут рассчитываться методом теории возмущений. Волновая функция уравнения Шредингера ) (!й — ' — Н) 1 =б (71,2) с оператором Гамильтона (71,1) в зависимости от выбора пред- '.
ставлевия является функцией времени, спиновых и пространственных координат частиц, или функцией времени, спииовых координат и импульсов частиц и т. д. Если все ластицы системы одинаковы (гп = т~ и т. д.), т. е. неотличимы друг от друга, то оператор Гамильтона (71,1) не изменится при перестановке любой пары частиц. Обозначим оператор перестановки частиц номеров й и ! через Ры, тогда условие одинаковости частиц в системе выразится на математическом языке условием коммутации оператора Гамильтона (71,1) с оператором перестановки любой пары частиц системы, т. е.
РыН НРы. (71,3) Так как операторы Рм и Н коммутируют между собой, то собственные значения оператора Рм будут интегралами движения. Для определения собствейных функций и собственных значений оператора перестановки двух частиц Р~; рассмотрим систему„состоящую только из двух одинаковых частиц.
В этом случае собственные функции оператора Рм должны удовлетворять уравнению Р„ф (1, 2) =. Ь~ (1, 2), (71,4) рх где Х вЂ” действительное собственное значение (оператор Р~,!! эрмитов). Если на это уравнение подействовать еще раз опера-' тором перестановки Риь то находим Рм'Ф(1 2)=Х'ф(1, 2). (71,5), С другой стороны, из определения оператора перестановки сле- дует Р,М (1, 2) = ф (2, 1), поэтому Р~,ф(1, 2) = ф(1, 2), Учитывая этот' результат, нз (71„5) получаем ьз= 1, или Итак, оператор перестановки имеет только два собственных значения ~!.
Србственная функция ф,(1, 2), соответствующая собственному значению Х = 1, называется сиаметричной 4~ункцией и определяется уравнением м$8( ) )8( (71;6) уРАВнение шРединГЯРА для системы % ш Собственная функция лр, (1, 2), соответствующая собственному значению Х = —.1, называется антисимметричной функцией. Она определяется уравнением Р12Ф (1, 2) = — $0(1, 2), К ак показывает опыт, система, состоящая из двух электронов или двух протонов, или двух нейтронов во всех состояниях описывается только аптисимметричными функциями. Система, состоящая из двух альфа-частиц, всегда описывается симметрич- ной функцией. Таким образом, свойство симметрии по отиош пню к перестановкам пары частиц является интегралом движе ння (из-за коммутации Рц я Н) и определяется типом частиц входящих в состав системы.
Это утверждение непосредственно обобщается н на системы, состоящие из произвольною числа одинаковых частиц. В силу одинаковости частиц волновая функция системы должна обла- дать одинаковыми свойствами симметрии (быть симметричной либо антисимметричной) по отношению к перестановке любой пары частиц. Формально математически волновые функции систем, содержащих более двух частиц, могут иметь и более сложную симметрию, так как все эти функции являютея реше- ниями соответствующего уравнения Шредингера, но, как пока- зывает опыт, в природе реализуются только симметричные или только антнсимметричные состояния по отношению к переста- новке каждой пары частиц, Свойство симметрии волновых функций системы не может змениться и внешним возмущением, так как вследствие одина- ,)совости частиц внешнее возмущение всегда симметрично по от- 1~ношеииЮ к перестановкам пар частиц.
Итак, в квантовой механике состояния систем одинаковых частиц описываются в зависимости от рода частиц либо симмет- ричными, либо антисимметричными волновыми функциями. Лнтисимметричные функции описывают состояния систем, со- стояшик из электронов, протонов, нейтронов и дзвугих частиц (сложнык или простых) в полуцелым спинам ('/тд, /тд, ~/УЛ,...). Системы, .состоящие нз частиц (сложных нлн простых), имею- щих целый спин (О, Р, 2Й, ...), описываются симметричными функциями. Эти правила являются обобщением опытных дан- ных и образуют основной постулат — принцип неразличимости одинаковых частиц.
Частицы, образующие системы, описывае- мые антисимметричными функциями, называются фермионами. Частицы, образующие системы, описываемые симметричными функциями, называются бозонами. По-видимому, все частицы, существующие в природе, являются либо фермионами, либо бозонами. ззз КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. [Х В связи с принципом неразличимости одинаковых частиц возникает необходимость уточнения принципа супернозиции состояний, о котором говорилось в $ 3. Не всякая линейная комбинация произвольных решений некоторого уравнения Шредингера для системы одинаковых частиц будет изображать возможные состояния этой системы.
Возможные состояния системы определяются только такими линейными комбинациями .функций, которые не меняют свойств симметрии по отношению к перестановкам пар частиц. Например, для систем, состоящих из электронов, в линейную комбинацию могут входить только анти- симметричные волновые функции. й 72. Симметричные и антисимметричные волновые функции Уравнение Шредингера (71,2) допускает решения общего типа, как обладающие, так и не обладающие определенным типом симметрии. Из всех этих решений для систем, состоящих из фермиоиов, надо взять только решения, соответствующие антисимметричным функциям, а для систем бозонов — симметричным функциям.
Покажем, как можно получить решения с указанными свойствами симметрии. Пусть система состоит из двух частиц, и функция ф(1, 2) является одним из решений уравнения (71,2), тогда, в силу одинаковости частиц, функция ф(2, !)', образованная из ф(1, 2) путем перестановки частиц 1 и 2, также будет решением уравнения (71,2). Из этих двух решений легко составить функции, обладающие требуемой симметрией; С точностью до множителя нормировки антисимметричная ф, и симметричная ф, функции будут соответственно иметь вид ф.=А(ф(1 2) — ф(2, 1)), ф, = В (ф (1, 2) + ф (2, 1)).
Этот процесс антисимметризации н симметризации волновых функций обобщается и на случай систем, состоящих из [1[ одинаковых частиц. В такой системе возможны л[! различных перестановок частиц. Функция, соответствуюи[ая каждой перестановке, может быть получена из первоначальной функции ф(1, 2, ..., й[) путем последовательной перестановки пар частиц. Пусть Рчф(1, 2, ..., Ж) обозначает функцию, которая получается нз $(1, 2...,, [т') в результате т последовательных перестановок пар частиц. Тогда с точностью до множителя нормировки симметричная и антисимметричная функции будут получаться по правилу (72,1) А ~~~Р Р ф(1, 2, ..., [Ч), ф.=В ч'„( — !)" Р,ф(1, 2, ..., А[), Ч ТЯ СИММЕТРИЧНЫЕ И ХНТИСИММКГРИЧНЫЕ ВОЛНОВЪ|Е ФУНКЦИИ Ззз где суммирование проводится по всем Н! функциям, соответствующим различным возможным перестановкам Ж частиц системы.
Точное решение задачи многих частиц в квантовой механике наталкивается на непреодолимые математические трудности, Однако в ряде случаев основные особенности квантовых систем ь>огут быть объяснены при использовании метода последовательных приближений, в котором в нулевом приближении частицы считаются независимыми, а в высших приближениях взаимодействие учдтывается на основе теории возмущений. Итак, в нулевом, приближении оператор Гамильтона системы частиц будет равен сумме операторов Гамильтона отдельных частиц: Н,= Х Н(1). |=| В этом случае собственная функция оператора На представится в виде произведения или линейной комбинации произведений собственных функций операторов Н(1) отдельных частиц, а собственное значение На будет равно сумме собственных значений операторов Н(1). Пусть функция >р„,(1) удовлетворяет уравнению [Н (1) — е„,] |р>ч (1) = О, р„',(1) ф>ч(2) ." р ()т) р>ч(1) р„,(2) " р Ж) >р„(1) >р„(2) " >р„'(Ж) 1 р >у| (72>4) где а| — совокупность квантовых чисел, характеризующих квантовое состояние частицы 1.
Тогда собственные функции оператора Н|ь соответствующие собственному значению Е ~~'.~ е„,, будут линейными комбинациями функций >р„(1) >р„(2) ... >р„(Ж). Для системы бозонов волновая функция должна иметь вид симметризованного произведения ф,=АХР,р„(1)р„(2) " р„(Н), где А — множитель нормировки. Для систем фермионов функция в соответствии с (72,2) должна иметь внд ф, = ~ ~ ( — 1)'Р,>р„ (1) 4|„ (2) ... >р„„ Ю. (72,З) в > ~ »>,» яш, »>» »вв>»» цию изобразить в виде детерминанта ЗЗ4 квлнтовкя таовия систвм одинаковых частиц пл. 1х Изменение знака функции (72,4) при перестановке любой пары частиц непосредственно следует из изменения знака детерминанта при перестановке двух его столбцов.
Из (72,4) следует так называемый принцип Паули. Согласно принципу Паули, система одинаковых фермионов не может находиться в состояниях, которые описываются волновыми функциями (72,4), содержащими хотя бы два одинаковых одночастичных состояния; В .
самом деле, если среди одночастичных состояний аь пм ..., пк имеется хотя бы два одинаковых, то детерминант тождественно обращается в нуль. Итак, в системе, состоящей из одинаковых фермиоиов, две (или более) частицы ие могут находиться в одинаковых состояниях. Конечно, в такой формулировке принцип Паули может применяться только к системам слабовзаимодействующих частиц, когда можно говорить (хотя бы приближенно) о состояниях отдельных частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
