Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 34
Текст из файла (страница 34)
й 43". Преобразование собственных функций операторов моментов прн вращениях координатных осей Собственные функции )1лг) оператора момента количества движения определяют состояния, в которых квадрат момента имеет значение ДХ1(1+ 1) и проеицня на ось е имеет значение ет. В ряде приложений возникает необходимость преобразования волновых функций Цт), заданных в системе координат куя, к новой системе координат $г)Ь, которая получается из старой при произвольном повороте вокруг начала координат. Произвольный поворот системы координат ~г1~ относительно системы координат худ однозначно определяется тремя параметрами — тремя углами Эйлера а, з и у.
Будем пользоваться правыми системами координат и отсчитывать положительное направление вращения по направлению вращения правого винта. Пусть вначале система осей $г~~ совпадала с системой осей худ — положение К. Углы Эйлера а. 3 и у определяют три последовательных вращения, с помощью которых система осей Цт1~ перейдет из положения К в конечное положение К'. Эти три вращения осуЩествляются спедующим образом (рис.
9): а) вращением на угол а (О ~.а ~ 2п) вокруг оси я система осей переводится в положение К~(х~у~е~) — операция )гР; б) вращением на угол 6(0 ( р ~ я) вокруг новой оси 1Л система осей координат из положения К~ переводится в положение Кэ(хэуэвх)— Операция )ф; в) вращением на угол у(0 = у ~ 2Н) вокруг оси ев совпадающей с Ь, система координатных осей переводится из положения Кэ в конечное положение К' — операция Луг'. 9 491 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ ВРАЩЕНИЯХ КООРД. ОСЕЙ 193 В 9 18 мы рассматривали изменение волновых функций, связанное с перемещением в пространстве векторов, характеризующих положение точек системы (перемещение тела).
При этом базисные векторы, определяющие систему координатных осей, оставались неподвижными. Теперь мы рассматриваем преобразование координат точек фиксированного в пространстве тела при вращении базисных Векторов координатных осей (вращение координатных осей). ег 1 УеУг Рае. 9. Углю Эйлера. Пусть при вращении координатных осей координаты точки преобразуются по закону +г =дг, (43,1) где и — линейный оператор. Новая функция, зависящая от новых координат, должна иметь в данной точке такое же значение, как и старая функция от старых координат, т.
е. ф'(г') = ф(г). Заменяя в правой части этого равенства г через г' с помощью обратного преобразования к (43,1), находим ф'(г')=ф(а 'г') Следовательно, закон преобразования функций при преобразовании координат (43,1) определяется равенством Йхф(г') =аР'(г') =ф(д' 'г') = ф (г). (43,2) Сравнивая (43,2) с преобразованием (!8,4), мы убедимся, что преобразование функций при преобразовании координат, осуществляемом вращением координатных осей и вращением тела, происходят по одинаковому правилу. Следует, однако, иметь в виду, что если д — оператор, соответствующий преобразованию координат при вращении координатных осей, а 5 — оператор, соответствующий преобразованию координат при вращении тела, то эти операторы являются взаимно обратными. Например, поворот координатных осей вокруг единичного вектора п на угол рр эквивалентен повороту тела на угол -~у, Прн последнем Л А, С, Дааеелеа 194 движвнив частицы в поля цвнтгхльных сил 1гл.
я повороте, согласно 3 !8, преобразование функций осуществляется оператором (18,1!), если положить в нем а = — <р. Таким образом, изменение функции прн повороте координатных осей на угол ~р вокруг и осуществляется оператором Х1ч — — ехр~Ул л~ ~. (43,3) где Х вЂ” оператор момента количества движения. Оператор (43,3) преобразует вид волновой функции. Он определяется углом поворота р и проейцией оператора момента на ось поворота. Следовательно, при повороте координатных осей на три угла Эйлера волновые функции подвергаются трем последовательным преобразованиям с помощью операторов: К вЂ” оператор поворота на угол а вокруг оси г; мй — оператор поворота вокруг нового положения оси у на угол 8 и )гт=оператор поворота на угол у вокруг нового положения оси з. Итак, оператор, преобразующий волновые функции при повороте системы координатных осей на три угла Эйлера, должен иметь вид Я(а, 8, у) =У'тайЯа, (43,4) где юу— а —" д; К=е ' з, )са=е г", )г*„=е ' '.
(43,5) Обратное преобразование к (43,5) осуществляется поворотами (в обратном порядке) на углы — у, — 8, — а. Следовательно, обратное преобразование определяется оператором Л '(аН)=К.К"ай',=й'(аРу). (43,6) Операторы (43,4) и (43,6) коммутируют с оператором Хз, поэтому при действии этих операторов на функции (1т), являющиеся собственными функциями Хз, они преобразуют их в линейные комбинации функций )1т) с тем же значением 1, но с разными значениями гп, Следовательно, Я(айу) ) ут) = ~) угл') (игл' ) )г (айу) )угп). (43,7) Коэффициенты преобразования (43,7) являются матричными элементамн матрицы конечного вращения в 1-представлении. Эти матричные элементы являются функциями углов Эйлера.
Их обычно называют функциями Вагнера, обоби(енными сферическими функциями, нли Р-функциями, и вводят обозначение Р~,ег(айу) = — Огл'! Я (айу) ) 1гп). (43,8) При повороте координатных осей координаты фиксированной точки гор преобразуются в координаты гО'~р'. В равенстве 1а1 певовглзовхнии агнкцин.пои вгвщвниях кооэд. осин 1эх (43,7) функции ))т) являются функциями углов в повернутой системе координат, что можно записать в явном виде с помощью выражений (О'~р'1)ет) н (О'~р'1)т'). На основании (43,2) имеем Рс(ару) (О'вр'Цт) =(Оср))т).
Подставляя это значение и (43,8) в (43,7), находим окончательно (Ьр ) )т) = ~ 0~ в (абу) (О'<р' ) Я. (43,9) Легко убедиться, что матрица конечного вращения с матричными элементами (43,8) является унитарной матрицей, т. е. (01) 01=1, или (01) =(01) '. В более подробном виде унитарность Р.функции занигпется так: Х Р',Р' „= Х Рв1„01 = б 1(43,10) Пользуясь (43,10), находим обратное преобразование к преобра- зованию (43,9) где (1 (8) = Рь (080) =()й ) е " " ) 1т) — действительные матричные элементы.
Матрица. конечного вращения для 1=! имеет вид ~+ В мр (43, 13) 2 (43,14) 1+ сов В 2 1о В 1' 2 1 — сов Р с(' (О) =(с(' Ф)) = соз О в!и р )Га (О'р ) )й) = Х,(О ~ цт) 04,. (43,11) Если функции (О~рЦт) = Ф; (Оср) представить в виде одно- столбцовой матрицы Ф;(О, <р) . (Ф, ) с 21 + 1 строками, различающимися значениями т, то преобразования (43,9) и (43,11) можно записать в матричном виде Ф.,(О<р)=0'Ф,(О р'), Ф,(О р')=(Р')'Ф,(Ор). Учитывая, что функции )ут) являются собственными функциями операторов у„и принимая во внимание определение (43,8), можно написать явное выражение матрицы конечного вращения 01 через эйлеровские углы а, () и у 01~д (абу) = еьв д~ в (8) е~~, (43, 12) 196 движение чАстицы В поле центРАльных сил !Гл.
щ матрицу конечною вращения с! *А((!) для ! = Чх можно записать в виде соз — щп— н~'Ф)=ФА(Р))= + р „° (43,14а) — з)п — соз— 2 2 Два знака в (43,14а) ставятся в связи с тем, что ((.'. Е)) =-( !.'. Е+ 2.)). Далее мы увидим. что все матрицы Ф(р) могут быть получены из матрицы Ф и коэффициентов векторного сложения. Выражение (43,14а) будет выведено в 3 61. Матрица Ф(р) действительна и унитарна, следовательно, она является ортогональной матрицей Ы а)=(4 (в)Г'=(4 ( — й)) Отметим некоторые свойства матричных элементов а~А(6): (-' Е) =(-1)' -4-(В) =(-1)' 4.(- Ю=(-1)" ('-.—.(В) Наконец, отметим еще одно соотношение для частного случая, когда ()=н и 1 — целое: 4а(н)=( — 1)' "бм т.
(43,! 5) Из приведенных выше выражений и (43,12), в частности, следует 0 А(о(1у) =( — 1) 0 ~, А(ору). (43,16) Если либо гл, либо и равны нулю, то матричные элементы Й!„А(айу) при целых значениях 1 =! сводятся к сферическим функциям (43,17) В частности, Оао (ОРО) = Рс (соз Р). Соотношения (43,17) и позволяют назвать матричные элементы матрицы конечного вращения обобщенными сферическими функциями 1-порядка.
Для упрощения записи введем сокращенное обозначение совокупности трех углов Эйлера д ~(а, р„у). Если поворот О = з«»! пгиовг»зов»пни эвикция пни вг»щаниях коогд. осин !зт — д»6! является результатом двух последовательных поворотов вначале д» а затем д», то имеет место равенство Х Р~ (О ) Р/ ° (О ) = Р/ ° (О О ), которое указывает, что матрицы 0» образуют представление l трехмерной группы вращения. Представления с целым значе- нием / = 1 являются однозначными. Представления с полуце- лыми значениями / являются двухзначными: каждому значению/ соответствует два.
матричных элемента, отличающихся знаком (см., например, случай (43,14а) ). При / =1 и т = т' = 0 из (43,18) следует теорема сложе- ния сферических функций: ~~ 'г'«„(Оф) У«м (О'!р') = — Р/(соз «»), где совы =сов й сов О'+ з(пО з(пО'соз(ф — ф'). В различных приложениях приходится вычислять произведения от нескольких обобщенных сферических функций разного порядка. Такие произведения всегда можно выразить с помощью коэффициентов векторного сложения через линейную комбинацию самих же обобщенных сферических функций, если использовать равенство /+/* Р/ » (6) Р/'» (О) = Х (!!(»т!т )/т)0~ »(О)(1!ф!й»)(/«). (43,19) / чп-6! Из свойств-коэффициентов векторного сложения (см. 3 41) следует, что в' (43,19) т = т! + т» и й = /«! + Йь Используя свойство ортогональности коэффициентов векторного сложения ($41), можно обратить равенство (43,19) Р/»(0)= Х (1!/»т!т»)/т)0/ (д) Р/ (О)(1!/Дй»)/й) (4320) ~! 1 Формула (43,20) позволяет получать обобщенные сферические функции более высокого порядка из функций более низкого порядка, в частности из 04».
Например, используя (43,14а), можно, зная матричные элементы О!*» (о()у) = е'"'«('/*» (й) е"", - вычислить матричные элсменты 0»»(а()у). Для иллюстрации ! вычислим матричный элемент Р!!, Используя (43,20) и значение ( 2 ! ! ! ! — — — ф 1! ) = 1, ~нее~ 2222 /! ! ! ! ' !»/ у, !» ы»!! «т «а!+.ссаа «т Рн=!! — — — — ) 11) (О/'/у =е соз — е =е ' е .
12222 )1 / 2 19В движяния частицы в поля цянп альных сил 1гл. ю В физических приложениях часто приходится вычислять интегралы от произведений обобщенных сферических функций. Покажем, как они вычисляются. Введем сокращенное обозначение' ~ о(д... = ~ з!п()о(р ~ о(а)г о(у ... о (43,21) о о Отметим прежде всего, что ) 0„'~ (д) дд = ) о(' о (р) з!п р йр ') е'~' о(а ) е'от о(у = 8н быб„,бо,. о о о (43,22) Используя этот результат и формулу (43,19), можно вычислить интеграл 0"ти(д) Я; м(д) г)д = ~ ( — Ц)-™О' о1~'.о о(д = Вя' = — бд б~ м бы" (43.23) я!+ ! Используя (43,19) и (43,23), можно далее вычислить интеграл Рммх (д) Оо и (д) Ооьо (д) (д 2Х + 1 (1 1о п~гло ) 1М) (1~!о 1~йо ) ХК) (43,24) В следующих параграфах мы убедимся, что обобщенные сферические функции являются не только неприводимыми представлениями трехмерной группы вращения, позволяющими преобразовывать собственные функции операторов моментов количества движения от одной системы координат к другой, повернутой относительно первой, но также являются фунициями, играющими большую роль при описании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
