Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Учитывая граничное условие Ро(0) = О, имеем Ро(г)= А з1пЬ. Решение (35,4) возможно прн любом значении Ь Полная радиальная функция, нормированная условием ) 1 (г)1,(г)Г (г=б(й'-'й), о 3зз1 своводнов движвнив с опввделвнным момвнтом 167 имеем (35,7) (35,8) (35,9) (35,10) Дифференциальное уравнение (35,7) второго порядка. Оно имеет два независимых решения, выражающихся через функции Бесселя полуцелого порядка (см. мат. дополн.
Г) и с/ о 11 з1п$ 1з 13) = )~ — ~з ьч ($) = ( — 1) ),— ) —. '1331 й ' Чзб)=)/ ~ Х-1-3($)( — 1)' ° Функция 1~(Ц (35,8) называется сферической функцией Бесселть Явные выражения для первых трех функций 1з имеют вид з1п3 . з1п$ созз . 1 3 11 . 3 1о= 1~ = ° 1з ~ — 1 япь" — — соз ь. й ' ~' й '13' 31 3' Асимптотические значения сферических функций Бесселя при малых и больших $ имеют соответственно вид 1 3 ...(31+1) ' 5~~1' 116) = — соз ~$ — — (1+ 1)~, 5 ЛР 1. Функция Ч~($) называется сферической функцией Неймана.
Яв- ные выражения для первых трех функций Ч~(5) имеют вид соз5 соз$ з1п$ Чо= Ч~ = й ' В' В 11 = — 11 — — — )соз "— — 31ц5. Асимптотические значения щ соответственно равны / 1.3.3 ... (31 — 1) — ",+,, если $ С( 1, Ч ($) =( ~ — яви — — (1+1)~, если 5 Ъ 1, Общее решение уравнения (35,7), соответствующее опреде- ленной энергии (Е = йзйз/(21з) ) и определенному орбитальному моменту, имеет вид )з (г) = А!с(яг)+ ВЧз(й') ° Полная волновая функция этого состояния фзь„= (А11(йг) + Втй (йг)] Уьз (О, ~р).
(35,12) 168 движение чхстицы в пОле центрхцьных снл !гл. ш Лве произвольные постоянные А и В в (35,12) определяются из граничных условий и нормировки функции. Если движение частицы может происходить во всей области, включая г = О, то из словия конечности волновой функции при у = О следует В = О.
огда ф»,. =А('у(й ) у, (е, р). (35,13) Если частица движется свободно вне сферы радиуса р (например, нейтрон вне ядра), то обе постоянные А и В отличны от нуля и их отношение определяется из условия непрерывности дФ и на сфере радиуса р при переходе из внешней области во внутреннюю, где действуют силы. При качественном исследовании решений уравнения (35,3) следует учесть, что член Ц1+ 1)/уз соответствует «эффективной Ьт1 (1+ 1) потенциальной энергии» У,фф —— , . Полная энергия 2ыга равна эфс~ективной потенциальной энергии при значении г =т,=й )/((1+ 1).
При у - ге волновая функция' й(г) убывает экспоиенциально в сторону малых значений г. При у ~> О в уравнении (35,3) можно пренебречь эффективной потенциальной энергией. Следовательно, ~~~, +Ф')1т' (г)=О. где Г ЛРУР Решение этого уравнения имеет вид Вг(у) = А~ з(п(Ь + 6~). Область г ) уе называют классичеРвс 7 Эфэектввная яотенцеальнан внерпы СКИ ДОСтуПНой ОбЛаСтЬЮ н волновая чгуггнцня лля свезенного лвныення двнжсннй. ИтаК, прн Сночастицы с внергнец я н квантовым числом Ь бодном движении частицы в состоянии с квантовым числом 1 очейь мала вероятность нахождения частицы в области пространства, где г ~ гь На рис.
У изображена У рв и значение Ц(г) для частицы, движушейся с энергией Е. й 36. Движение в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме Рассмотрим движение частицы массы р в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины, г. е. для случая, когда потенйнальная энергия, отсчитывае« з ав СФВРНЧВСКАЯ СНММВТРНЧНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ЯМА 169 мая от «дна» ямы, может быть представлена выражением ( О, если г~,',а, ~ оо, если г>а. (36, 1) Прн г ~ а частица движется свободно, поэтому, согласно 9 37, состояние движения с определенным значением орбитального момента характеризуется волновой функцией фи =Аус(йг))ю (6, ф) (36,2) где й определяег энергию частицы соогношением Е= йейа (36,3) Прн г а а волновая функция равна нулю, так как частица ве может проникнуть в область бесконечно большой потенциальной энергии. Из условия непрерывности функции следует 1~(йа) =О.
(36,4) Если обозначить корни сферической функции Бесселя 1-го порядка через Х„ь где п = 1, 2; ... — главное квантовое число, т. е. номер корня в порядке возрастания его величины, то нз (36,4) получим дискретные значения й= — Х 1 е3 Подставляя это значение в (36,3), находим энергию стационарных состояний в х2 (36,6) Состояния п( кратко обозначают малой латинской буквой, соответствующей значению 1, перед которой ставится число, указывающее значение п. Таким образом, говорят о состоянняк типа 1з, 2з, 1р н т. д. В табл. 5 приведены значения корней Хы сферических функций.
Бесселя для первых шести состояний. Пользуясь табл. 5, легко вычислить энергии частицы с помощью формулы (36,6). Таблнца 5 Значенне корней сфернческнх функннй Бесселя движкник частицы в полк цкнтвхльных сил 1гл. т 170' (36,6) Пусть — Оо, если г(а, 17 (г) = О, если г)а. (36,7) Найдем решения (36,6), соответствующие отрицательным значениям энергии. Положим е =' — Е ) О, тогда' можно написать — „,' + а%, = О, если г ( а, (36,8) — „,' — (!'Я, = О, если г '«а, (36,9) где Решения уравнения (36,6), удовлетворяющие условию конеч- ности функции )'(г) = )т/г в нуле и исчезающие при г-+ оо, имеют вид Я, =А з(паг, если г(~а, 1тз=Ве "', если г«)а.
I 1 д171 Приравнивая логарифмические производные ! — — ! обоих ре- 117 дг) шений при г = а, получим условие ас!иаа= — 6, (36,11) определяющее уровни энергии системы. Умножая уравнение (36,1!) на а и вводя величины $ = аа ) 0 и т! = ай «) О, находим, учитывая (36,10), , + т„хи77оа ь2 (36,!2) Уравнения (36,12) можно решить либо численно, либо графически. При графическом решении значения $ и ть удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям (36,12), определяются точками пересечения кривой т) = — $ с1д$ с окружностью радиуса Исследование случая дни!кения частицы массы р в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме конечной лубины представляет значительно ббльшие математические рудности. Рассмотрим здесь только энергетические уровни, соответствующие з-состояниям.
В случае з-состояний уравнение, определяющее функцию !т(г) = гг(г), согласно (34,8), имеет вид 5 ЗЛ ямл с квлдрлтичнои злвисимостью от рлдиусл 17! а '(/2~бд. На рис. 8 изображены кривые 81 = — $с(3$ и три а окружности. Окружность 1 соответствует неравенству, < 2НГ7еае яе < — „. В этом случае отсутствует пересечение,и, следовательно, нет стационарных состояний с отрицательной энергией.
Частица не задерживается в яме и может уходить в бесконечность — отсутствуют связанные состояния. Окружность 2 соответствует радиусу н глубине ямы, при которых выполняется неравенство Пе хиг7еае Вяе 4 йе 4 В этом случае имеется одно.пересечение в одно состояние с отрицательной энергией. Эта энергия может быть определена по значению ць соответствуюшему точке пересечения кривых по формуле еиу 2 Е, = — а= —,, (36>13) которая получается при помоши (36,10). Кривая 3 соответствует таким значениям 180оан, при которых в яме имеется два связанных состояния. Итак, налпчие или отсутствие связанных а-сосгояний в прямоугольной сферической потенциальной яме определяется величиной произведения массы частицы на глубину ямы и квадрат ее радиуса.
Рнс. 8. Графическое решение уравнений ч--$ см й. 1*+ ч' яки„р ун $37. Сферически симметричная потенциальная яма с квадратичной зависимостью от радиуса которую иногда называют' осцилляторной сферической ямой. В этом случае для состояний с определенным значением углового момента радиальная волновая функция я(г) удовлетворяет Для исследования некоторых свойств атомных ядер представляет значительный интерес изучение движении частицы массы В в поле с потенциальной энергией 172 дВижение чАстицы В Поле центРАльных сил [Гл, гл уравнению <у~и + 2 + 2 и ол~~)7ы(г) =О. (37,2) Е' Л' на'г' ЬН(1+ 1) Если отсчитывать энергию от минимума потенциальной энергии, то стационарные состояния будут соответствовать положи. тельной энергии. Образуем из сз и р величину, имеющую размерность длины а =ф'~ — „, и перейдем к безразмерным величинам г Š— е= —.
а' Ьв' Тогда уравнение (37,2) примет вид ~ —, — ез —, + 2е~1с1Е) =0: (37,5) й2 (37,4) Полагая 2(л+ + — ), (37,6) ( 2) (37,7) и переходя к новой переменной е = ез и новой функции )Р(е), определяемой соотношением 77(Е) =ехр( — — ')еЧР (е), (37,8) получаем уравнение для 1Р (е) ~е — 2+(2з+ — — е) ~ +и~)Р'(е)=0. (37,9) Уравнение (37,9) совпадает с уравнением для вырожденной гипергеомегрической функции (см.
мат. дополн. Г). Следовательно, йт(е) =Е( — л, 2з+-2', е). (37.10) Чтобы функция (37,8) стремилась к нулю при г-+ со, необходимо, чтобы ряд (37,10) оборвался. Это требование осуществляется, если п =.О, 1, 2, ... Из (37,7) следует, что з = '7з(1+ 1). Подставляя это значение в (37,4) при учете (37,6), находим энергетические уровни Ел~=да(2л+1+7,), л, 1=0, 1, 2, ... (37,11) и соответствующие радиальные волновые функции тгы(е)=Л'лгехр~ — — )й'+ Г( — п, 1+ —, $'), (37,12) ЯМА С КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВНСНМОСТЬЮ ОТ РАДИУСА 172 где й=г )l/ггв/й, А/е! — множитель норыировки.
Полная волна вая функция ф„,„=-,' л„,ау,„(е, р). (37,13 Итак, стационарные состояния в «осцилляторной потенциальной яме», согласно (37,!1), образуют эквидистантную (с расстоянием йге) последовательность энергетических состояний. Каждое из состояний характеризуется двумя квантовыми числами л и й Энергия зависит только от комбинации квантовых чисел: а (37,14) Таблица б Энергии стационарных состояний сфернчеехой осциллиторной ниы е /!во! (а+ и! з/г о/2 7/2 9/2 11/2 1а 1р 2а, 1!/ 2р, 1/ За, 2с/, 1д Четность стационарных состояний соответствует четности или нечетности Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
