Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это обусловлено тем, что энергия взаимодействия выражается функцией от координат частиц и в координатном представлении совпадает с соответствующим оператором. Кинетическая энергия является простой функцией от импульса. Поэтому ее оператор в координатном представлении также имеет простой вид. При исследовании систем, состоящих иэ слабо взаимодействующих частиц, часто используется импульсное представление. При приближенном решении квантовомеханических задач (см.
гл. Ч1Ц часто используется Е-представление. В качестве примере применения импульсного представления решим еееденное в й 23 одномерное уравнение Шредингера (23,3) зх пх — — — — г'(х — хг)~ ф(х — хг)= О:. 2)г пхл Согласно (21,10), с точностью до множителя (2ез)-'А, можно написать г .АЕ (х-хд ф(х — хг) ) ф(р) е др, (23,15) 00 где в(Р) — волноиея фуикпия честнпм в импульсном пэедстеелении. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 1ЗУ Заменяя, согласно (28,13), в уравнении (28,14) .оператор Гамильтона ко. ординатного представления оператором импульсного представлении, находим зквнезленгное уравнение Шредингера в импульсном предстанленни ~ — -Ей — ) ф(р) а р»»Е 2Е» »Ер решение етого уравнения (с точностью до произвольной постоянной) моншо написать сразу: ф (р) ехр ~ — —.
Ер» Ъ 68ЯР)' (28,16) Подставляя (28,16) в (хн,15) и вводя новую переменную (2РРИ» $1 — ) (л»-л (8 Е' (28,17) мы найдем искомое решение уравнения (28,14) е виде ненормированной вол. новой функции в координатном представлении ф(1) ~ ехр~ Е )лй+ — 1 ~»Ек 2)~ пФ(8), где Ф Ц) — ) сов ~л$ + — )»Ея )гь3 ~ з) -функция Эйри. Функция Эйрн выраигается через функции Бесселя (см. мат. дополн. Г) порядка»Е» с помощью соотношений (12) )е ъ е(д~зй ) (28,18) — 'рЧ~уе ~ — 'В'*)+у,е ~ —,йе) ~, - 1<о.
Ф ($) В ряде приложений приходится вычислять матричные элементы от произведений операторов. Пользуясь условием (27,14) полноты собственных функций, такие матричные элементы легко преобразовать к суммам произведений матричных элементов каждого нз операторов в отдельности.
Например, если (пе)— собственные функции оператора с дискретным спектром, то (ле (ГК (ле') = Х1 (ле (Р'(ле") ( т (К (ле'). (2В,19) Если ~ р) — собственные функции оператора с непрерывным спектром, то (р 1 г)( 1 р') = ) (р ) Р ! р") (р ! К 1 р') е(р". (28,19а) Эти правила легко обобШаются на случай произведения болэшего числа операторов. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЙ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. Ч В заключение этого параграфа укажем вид выражения, определяющего среднее значение физической величины Р в произвольном состоянии, которое описывается вектором состояния в представлении оператора с дискретным спектром.
Пусть, например, состоянию а соответствует волновая функция (Е„[а) в Е- представлении. Оператор Р в этом же представлений определяется матрицей (Е [Р[Еи), поэтому среднее значение Р в состоянии а будет (а)Р)а) ~~.",(а)Ещ)(Е )Р)Е„)(Е„)а). (28,20) вь л Кроме среднего знзчения (28.20), в данном квантовом состоянии чисто приходится вычислять средние знзченнн по той нли иной совокупности состояний, которая в общем случае определиется мзтрицей плотности' (см. й 14). Таковы, например, усреднения по сливовым состояниям н стзтистиче. скис усреднения. Прн опясвнии состояния мвтрицей плотности р среднее зивчение физической величины Е определнется фсрмулой (14,8), которую мы ззпишем в виде (1.) Бр (Р) = ~ч», '(а (Р( а ).
(ло,21) где Р = 1р — произведение матрицы оператора Е и мзтрнцы плотности р. Легко убеднтьсн, что знзчеиие (28,21) не зависит от выбора предстевления. В самом деле, прн переходе к новому предстзвлеиню (ос)Р(ос) =" .(лс)Р)РС)(РС)о,). Подстввляя вто знвчение в (28,2[), имеем (Е) = Х (лс Ю лс) = Х (ос ) Р ФС) (РС ) ос) = » с,с лс!с (ВС ) пс) (и, ) Р) РС) = ~~.", (Р» ) Р (РС). сс с В случае чистых состояний )а) стзтнстнческий оператор р имеет вид р (а) (а[.
(28,22) Его матричные злементы, образованные нв любой волной ортонормнровзпной системе векторов [и) . образуют матрицу плотности р, =(сп(а) (а) и). $29. Определение собственных функций и собственных значений операторов, задаваемых в виде матриц Операторы Р в представлениях, соответствующих операторам, имеющим непрерывный спектр собственных значений (г-представление, р-представление и др.), могут быть записаны в виде дифференциальных выражений.
В этом случае собственные функции и собственные значения этих операторов находятся при решении дифференциальных уравнений. Для операторов, з зя ОПЕРАТОРЫ, ЗАДАВАЕМЫЕ В ВИДЕ МАТРИЦ 1зв задаваемых в координатном представлении, такие уравнения исследовались в $8. В общем случае они имеют вид Р~>,(~) = Рф, й). '(29,!) В представлениях, соответствующих операторам дискретного спектра, операторы выражаются матрицами, и все волновые функции являются функциями переменных, пробегающих дискретные значения. Поэтому этн волновые функции можно изображать одностолбцовыми матрицами.
Чтобы определить правила нахождения собственных значений и собственных функций операторов в представлениях с дискретным спектром, перейдем в уравнении (29,1) к соответствующему представлению. Для примера рассмотрим Е-представление; тогда, подставляя в (29,1) разложение ЬВ) =В!Р)= Х(В!Е)(Е.!Р), умножая на (Е,„~$) и интегрируя по всем значениям переменных $, получаем систему линейных уравнений: ~((Е,„!Р~Е„) — Ь Р)(Е„Щ =О, (29,2) где (Е,„1Р!Е„) = ~ (Е,„!В) Р($ 1Е„) сЦ (29,3) — матричные элементы оператора физической величины Р в Е-представлении. (Е~ ~ Р) — фа(Е ) — волновая функция в Е-представлении.
Система уравнений (29;2) является бесконечной системой однородных линейных уравнений относительно неизвестных функций (Е ~Р). Чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо обращение в нуль детерминанта, составленного из коэффициентов этой системы уравнений, т. е. й(Е,„~ Р'1Е„) — РЬ „з=О. (29,4) Относительно Р уравнение (29,4) является уравнением бесконечно высокой степени, оно имеет бесконечное число корней Ри Рз~ .
* ° Рй~> Корни уравнения (29,4) и являются собственными значениями оператора, соответствующего физической величине Р. Подставляя одно из найденных собственных значений, напри- меР Р, в систему уравнений (29,2) и решая ее, мы определим собственную функцию, соответствующую этому собственному ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ~гл.
ч ио значению. Эта собственная функция будет изображаться одно- столбцовой матрицей (Е,!Р ) ((Е ~ р >) (~э!~т> = (е.~р.> (29,5) Используя преобразования, рассмотренные в $ 27, можно найти вид собственных функций (29,5) в любом другом представлении. Например, переход к координатному представлению осуществится преобразованием (В ! Лт> = Х (Рл ! Ел) (4л ! Рт> (29,6) ал где (ЦЕ ) — собственные функции оператора энергии в координатном представлении. Корни уравнения (29,4) образуют диагональную матрицу Р О О, О Р О, О О рм (29,7) ~ ва ~Ри>(ж=ри ю, которое эквивалентно дифференциальному уравнению (29,Ц.
Диагональная матрица (29,7) является изображением оператора г" в своем собственном представлении. В самом деле, если (е|гл) есть собственная функция оператора Р, то ()Рт Ф! й' > - ) Г)В (Р В> ~ Я МЙ = Р Ь Итак, задачу о нахождении собственных значений оператора, заданною в форме матрицы, можно рассматривать как задачу о приведении этой матрицы к диагональному виду. В курсах математики доказывается, что эрмитовы матрицы всегда могут быть приведены к диагональному виду.
Вышесказанное непосредственно обобщается на случай представлений, в которых операторы задаются непрерывными матрацами, если соответствующие суммы заменить интегралами. При этом система уравнений (29,2), определяющая собственные функции и -собственные значения, заменяется интегральным уравнением. Например, нахождение собственных значений и собственных функций оператора ($')Р)З), заданного в координатном представлении непрерывной матрицей, сводится к решению интегрального уравнения т зо1 ОБШАЯ ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 14! й 30. Общая теория унитарных преобразований В предыдущих параграфах этой главы мы исследовали част- ные случаи преобразований волновых функций и операторов от одного представления к другому, т.
е. от одних независимых пе- ременных к другим независимь!м переменным. Таковы, напри- мер, были преобразования <В ! а> = ~~'.! (В ~ Е„) (Е„~ а), <В ~ ь>= ~ ар<В !р><р!ь>, осуществляемые функциями преобразования (ЦЕ ) и (В1р>, ко- торые являются собственными функциями соответственно опера- тора энергии и импульса в координатном представлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
