Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Функции (27,15) нормированы условием ~ Уг" (Е„р) У (Е, р) 1и = = ~ Ж)(1т)Е~Р>(Еф!1'т'>=бпб . (27,16) Если углы 6, ф определяют направление вектора импульса, то функции У„„(8, Ф) ж г„„(») (» ~ 1т) являются собственными функциями оператора углового момента в импульсном представлении. функции (27,15) осуществляют преобразование от представления угловых моментов к координатному представлению, а функция (1т)8<р> осуществляет обратный переход от координатного представления к представлению угловых моментов.
Если ввести г единичный вектор и= —, направление которого определяется г углами Е и ф, то можно написать (гт 1и> =— дт ) Ер>. Эти функции нормированы условием 2", (и!1т> (1т!и'> (и ) й> = Ь (и — и'). РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ~З1 Квк уже отмечалось ранее, векторы состоянвй определяются с точностью до фазового множнтеля е, модуль которого равен й Выбор такого множнга геля определяется условием простоты звпясн. В некоторых прнложеннях, например, вместо функций (27,15) удобнее пользоваться функцяей ф 'у, (е, фр 5 28.
Различные представления операторов Произведение !Ь)(а1, н котором «иет»-вектор стоит слева от «бра»-вектора, является оператором. Подобно тому как любой вектор состояния 1а) можно разложить с помощью равенства 1а) = Х1Р.,> (Р,„1а> по полной системе ортонормированных векторов 1Р ) оператора Р, так и любой оператор д можно разложить по полной системе операторов 1Рж)(Ря1. В самом деле, если А = Х А.„! Ры> (Ря 1, то из свойств ортонормируемости векторов 1Р ) однозначно определяются матричные элементы разложения: А„= (Р„, 1А 1Р„). В частности, разложение единичного оператора г" имеет вид У=Х1Р >(Р 1. В координатном представлении операторы выражаются функциями от координат и производных по координатам. Действуя на функции координатного представления, операторы преобразуют эти функции н другие функции того же представления.
Например, действие оператора Р на функцию трв(й) определяется равенством Ы) =УФ.(Р или в обозначениях Дираиа ($1Ь) =Р($1а). (28,1) При переходе от координатного к другим представлениям вектора состояния необходимо осуществлять и преобразование операторов. Определим вяд оператора Р в энергетическом представлении.
Для этого преобразуем функции координатного представления (В!О) = Х (В!Ел) (Еп1гг)ю ($ ! Ь) = Х (В!Ел) (Ел1Ь). элнмиитхэнхя тиоэия пэндстхвлннии игл, т Подставим полученные выражения в (28,1), затем умножим это уравнение слева на (Е, ~$), проинтегрируем по $. Ч'огда, учитывая свойство ортогональности ) дВ(Е„,!$)(й)Е„) =Ь „, находим (Е~ ) Ь) = Х (Е„! Р ~ Е„) (Е„) а), а (28,2) где (Е„,'~Р~Е„)аа ~ <Я(Е ~ $)Р($)Е )= ~ гфф" (арф (И вЂ” Р (28,3) (Р„„) ((а'Ь'с'...
!Р!айс ...)) будет многомерной матрицей. Сводка основных свойств матриц приведена в мат. дополн. В. Из определения самосопряжепного (эрмитового) оператора (у,4) следует, что самосопряженные операторы в энергетическом представлении (и любом другом дискретном представлении) изображаются эрмитовыми матрицами, так как выполняются равенства Зная все величины (28,3), мы можем по формуле (28,2) перейти от вектора состояния ~а), заданного в энергетическом представлении функцией (Е 1а), к вектору состояния ~Ь), заданному в энергетическом представлении функцией (Е 1Ь).
Поэтому совокупность всех величин (28,3) следует рассматривать как оператор Р в энергетическом представлении. Совокупность всех чисел Р, в общем случае являющихся комплексными, образует матрицу, которую обозначают (Р ). Сами величины Р „зм (Е ~1Р~Е„) называют матричными элементами оператора Р в энергетическом представлении.
Если энергетические уровни Е„ие вырождены, то матрица (Р ) изображается квадратной таблицей с бесконечным числом строк, нумеруемых индексом т, и бесконечным числом столбцов, нумеруемых вторым индексом п. В-случае вырождения каждый индекс и н и характеризует свою совокупность квантовых чисел (которые иногда выписываются в явном виде), определяющих состояние системы; поэтому матрица РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 133 Представляя совокупность величин (Е ! а), выражающих вектор состояния !а) в Е-представлении, в виде матрицы с одним столбцом (Е1!а) (Е,!а) (Ез ! а) ((Е„! а>) = следующее соотношение (р')Ь) = ) Ыр(р'!Р !р)(р! а), (28,5) где (р'!р!р>=~ ВЫ)р(В!р> (28,6) — совокупность величин, зависящих от двух индексов р н р' которые можно назвать матричными элементами оператора р, образованными с помощью функций преобразования (Цр).
Совокупность всех матричных элементов (28,6) является оператором| физической величины г" в импульсном представлении. Равенство (28,5) указывает правило, с помощью которого оператор (28,6) переводит одни функции импульсного представления в другие функции импульсного представления. Хотя индексы р' и р в (28,6) изменяются непрерывно, тем ие менее из формальных соображений удобно рассматривать можно рассматривать (28,2) как произведение матриц. Если в качестве оператора Р взять оператор Гамильтона Н, то этот оператор в энергетическом представлении будет изображаться диагональной матрицей (Е )Н !Е ) =Е„ЬАР„ что непосредственно следует из (28,3), если учесть, что функции (ЦЕ„) являются собственными функциями оператора Н, т. е Н(ЦЕ ) = Е„(ЦЕ„).
Определим теперь вид оператора Е в р-представлении. Для этого разложим функции координатного представления, входящие в (28,1), по собственным функциям оператора импульса в координатном представлении (К !а) =) г(р($)р)(р!а), ($ !Ь) ) ЙрЦ!р)(р!Ь). Подставляя эти значения в (28,1), находим после умножения на (р'!$) и интегрирования по 5, при учете условия ортогональности ) Ф Ы) Й ! р>= — Ь (р' — р) (28,4) <гл. т элементхгнхя теоеия пэндстхвленнй (р'<,д <р) = ~ «х(р'!х),6(хор). (28,7) Учитывая, что функции (х~р) являются собственными функциями импульса, т. е.
<б(х<р) = р(х<р), и свойство ортогональности (28,4), преобразуем (28,7) к виду (р' <,д! р) = рб (р' — р). (28,7а) Таким образом, оператор импульса в импульсном представлении изображается диагональной непрерывной матрицей. Подставляя (28,7а) в (28,5), имеем (р ~ ь) = р (р ~ а). (28,8) Итак, согласно (28,8), действие оператора импульса на функции в импульсном представлении сводится к умножению этих функций на значение импульса. Этот результат легко обобщается на трехмерный случай — достаточно заменить р векторной величиной. Определим вид оператора координаты в импульсном представлении. Пользуясь общим выражением (28,6), имеем (28,9) (р'<х<р)= ~ «х(р'<х)х(х<р). Учитывая явный вид собственных функций оператора импульса (х <р) =(2па) 'ехр(1р — „), легко убедиться, что умножение па х этой функции сводится к преобразованию х( <р)= — И вЂ” (х<р).
совокупность всех значений матричных элементов (28,6) как матрицу бесконечного ранга, число строк и столбцов которой несчетно. При таком толковании правую часть равенства (28,5) можно рассматривать как произведение матриц, индексы которых изменяются непрерывно, вследствие чего суммирование заменяется интегрированием. Чтобы пояснить вышесказанное, вычислим в явном виде оператор импульса и координаты в импульсном представлении.
Для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль оси х. В код ординатном представлении оператор импульса 6 = — <а — „.. да ' В импульсном представлении оператор (28,6) изображается непрерывной матрнцей с элементами РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ Поэтому матричный элемент (28,9) преобразуется к виду (Р'1х!Р)= 18 д г(х(Р!х)(х)Р)= — 18 — Ь(р' — Р). (289а) др р др Таким образом, бесконечная непрерывная матрица, соответствующая оператору координаты в импульсном представлении, имеет матричные элементы (28,9а). Подставляя (28,9а) в (28,5), находим после интегрирования по частям (Р' Ю = — дд ~ 4 Ы а) — ь (Р' — Р) = И вЂ”, (Р' | а)* Следовательно, можно сказать, что координате х соответствует в импульсном представлении дифференциальный оператор У=И д (28, 10) др Итак, явный вид операторов зависит от вида представления.
В $ ЗО будет показано, что перестановочныв соотношения между операторами не меняются при переходе. от одного представле- ния к другому. В частности, используя полученные выше ре- зультаты, можно убедиться, что перестановочное соотношение [2.,6,) =. И выполняется как в координатном, так и в импульсном пред- ставлениях. В общем случае условие самосопряженности (эрмитовости) операторов и матричных обозначениях сводится к равенству (а' ! Р ! а) = (а ) Р ) а'1 = (а' 1Р ) а)~, (28,11) выражающему эрмитовость соответствующей матрицы.
Из (28,11) следует, что диагональные элементы операторов кванто- вой механики, изображаемых матрицами, являются действитель- ными числами. Выше мы показали, что операторы координаты н импульса в импульсном представлении могут изображаться либо непре- рывными матрицами, либо функциями от импульсов и производ- ных по импульсам. Для трехмерного случая этн выражения имеют вид Р р, или (Р')р~р)=рб(Р' — р), (28,12) г = И7», или (Р' ! г ~ р) = — И7рб (Р' — р).. 1 Значок Р У опеРатоРа Чр Указывает, что пРоизводные беРУтсЯ по д д компонентам импульса, т. е. У=И вЂ”, ф И вЂ” и т.
д. дрх ' др„ Пользуясь (28,12), легко можно написать в Р-представлении ЯВиый вид операторов, соответствующих физическим величинам, 136 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ГЛ, Ч выражающимся в илассической физике через функции от координат н импульсов. Так, например, оператор Гамильтона, имеющий в координатном представлении вид Ьх е Н= — 2 ~г+Р(г) в'импульсном представлении принимает вид =2 +1 (("~'р)' 2в или в матричной форме (р (и (р) = — Ь(р — р) + 1г' ( — гйгтр) Ь (р — р).
Выпишем, наконец, матричную форму операторов в координатном представлении. Оператор координаты изображается диагональной непрерывной матрицей : (г' (г (г) = гЬ (г' — г). Оператор любой физической величины, зависящей только от координат, также является диагональной матрицей (гт Д (г) (г) 1 (г) Ь'(г' — г). Оператор импульса изображается матрицей (г' 1р (г) = (йчгЬ(г' — г). В практических приложениях наиболее часто используется координатное представление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
