Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда получим ПОТЕНЦИАЛЬНЫИ ВАРЬЕР И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА Кц х ~-а, то Е=РтзеиаЧ2 и Р=Ртзе~а' — х', Следовательно, — ° р(1х=2п —. Е ме ' Подставляя полученное значение в 123, 12), находим значение энергии стационарных состояний для больших л: Е = йее~л + — ). (23,14) Как будет показано в гл. 1Ч, при точном решении уравнения Шредингера энергия стационарных состояний гармонического осциллятора выражается формулой (23, 14) для всех значений л. Развитию метода ВКБ для приближенного вычисления собственных значений энергии частицы, движущейся в центрально- симметричном поле, посвящены работы А. Соколова и др.
~9, 101. й 24. Прохождение через потенциальный барьер. Движение частицы над потенциальным барьером и потенциальной ямой Как уже отмечалось, квазиклассическими решениями (22,7а) для классически доступной области движений и (22, 10) для классически недоступной области движений можно пользоваться для значений х, удаленных от точек поворота, если аютенцнальная энергия с является плавной функцией х. Если потенциал претерпевает скачок в точке, удаленной от точек поворота, а вне у .ест скачка он является плавной функцией от х, то в обла- О С Х стих, разделенных скачком, ТЕКЖЕ МОЖ НО ИСПОЛЬЗОВЕТЬ Рис' 4. Деиисеиие честииы иРи иииичии иетеи. квазиклассические волновые функции.
Связь волновых функций с обеих сторон скачка потенциала определяется нз условий непрерывности волновой функции и ее производной при значениях х, соответствующих месту скачка. Для пояснения метода использования квазнклассического приближения при наличии скачков в потенциальной энергии 'рассмотрим условия движения частицы в поле с потенциальной энергией, изображенной парис. 4. Согласно классической механике, если полная энергия О частицы меньше, чем максимальное значение ансис потенциальной энеРгии, то частице отРажаетсн !02 сВязь квантозои мехАники с клкссическои мехАникОЙ !гл.!и от потенциального барьера, если же Е) П„««м то частица свободно проходит. Можно сказать, что потенциальный барьер для классического движения частицы полностью прозрачен.
если Е) Пн«««, и является совершенным зеркалом, если Е ( У«««,. В квантовой механике, однако, оба эти утверждения, вообще говоря, не являются правильными. Всегда имеется некоторая вероятность того, что частица пройдет через барьер нри Е( «Пн««, и частично отразится от барьера при Е) (1м«««. Для вычисления этйх вероятностей разобьем всю область движения частицы на три части 1, П и Ш, указанные на рис. 4.
В областях 1 н П1 частица движется свободно. Будем считать, что частица с определенной энергией и импульсом р = зй« приходит из области отрицательных значений х. Тогда в области 1 вол. новая функция изобразится суперпозицией двух волн Ц~~ — — Ае'" '+ Ве-'" ", (24, 1) где А — амплитуда волновой функции «падающих» частиц, а  — амплитуда волновой функции «отраженных» частиц. В области Ш по условию могут быть только уходящие частицы фш() С ' (24,2) Определим коэффициент отражения 11 и коэффициент прохождения 0 потенциального барьера соответственно как.
отношение плотности потока отраженных и прошедших частиц к плотности потока падающих частиц. Тогда, пользуясь определением плотности потока (см. 5 !5), находим в нашем случае (24,3) Для вычисления этих величин надо исследовать движение частицы в области П. Рассмотрим-вначале случай, когда энергия частицы Е й~ф(2р) < (1« В этом случае область П будет классически недоступной и при плавном потенциале можно будет записать волновую функцию в виде квазиклассической функции (22,!0) Используя условия непрерывности ф и — при' х= 0 и х = 1, ля ех прлучим четыре соотношения между пятью «оэффициентами А, В, С, а и )1, которые позволят исключить а и р и определить от- ~т е ношения В/А и С/А. Если выполняются условия квазинлассичности, то и(х) является плавной функцией От х, поэтому при (со( вычислении производной — можно учитывать зависимость от х (сх только в экспоненте.
Таким образом, получаем для х О )(а (А+ В)=а+ р, 1йо(А — В) = $са (а — р), (24,4) где (0( т $2Г(о (О)щ Соответственно в точке к=1 имеем еще два соотношения о а+бе- С~ГЬ те, у Ь (ает — и -т) 1йосесьс, (24,б) где 6 т $~2р(о (о — М. у т ( ( 2о Ря-т(ш. (2(о( о Из уравиеиий (24,5) находим а= — (~Ь + ф.)Сехр(1яо1 — у), й= — ~фТ вЂ” ' З )Сехр(1йо1+у). !с .лс 2~ )lЬ Поскольку квазиклассическое приближение применимо только для достаточно «широких» барьеров, когда у = Н1 л» 1, то а~(). Поэтому при вычислениях СсА из (24,4) можно пренебречь а, тогда получим С 4 ехр ( — СЬ«С вЂ” т) Подставляя это выражение в (24,3), находим коэффициент про- хождения потенциального барьера с се-" ( о=, » р~ — д1 ((ь(о((-от(( — + — + — +— о (24.7) Ь оа ПОТЕНЦИАЛЬНЫИ ВАРЬЕР И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА !03 104 связь «вднтовои махдннхн с хлдссичвсхоп мвхдннхои 1гл.
п1 Формула (24,7) выведена в предположении. что до и после барьера частнпа движется свободно н У(х( 0) 0(х)1) О. Если (у(х(0) О, ()(х ) 8 (/г чь О, то к ', з ттм'к — кк Й вЂ” 3 Вк. мк 1 1 В етом случае формулы (24,3) впдонвмениютсн ) ~~~в В ь ~с~в Далее, дли достаточно «тпнроинх» барьеров С 4 ехр ( — тйа1 — у) ( ~) (кт ~~) Следовательно Ю ~еяр — — ) р'2р(0(х) — Е) Их 1блте тт 1 2 Г Гэ Ь Ьт Ьт~ ..~Г-+ — + — + — ~ ао оь ььо l Приближенное (с точностью до предэкспоненциального множителя) выражение Р ехр — — ) 2р ((7 (х) — Е) с(х 2 Г Х~ (24,8) для коэффициента прохождения остается справедливым и в случае более общего достаточно плавного (чтобы выполнялись условия хвазихлассичности) барьера.
При этом точки х~ и хв определяются из условия обращения в нуль классического импульса частицы или У(х~) = У (хт) =Е. Коэффициент отражения К можно получить из соотношения 1=1(+ Р, (24,9) которое непосредственно следует из -уравнения непрерывности (15,7) для плотности потока, — плотность потока падающих частиц должна равняться сумме плотностей потоков отраженных и прошедших частиц. Согласно формуле (24, 7), хоэффициент прохождения потенциального барьера резко уменьшается при увеличении массы частицы.
Тах, например, при увеличении массы электрона до массы протона прозрачность барьера уменьшится в е~'вко 10 раз. Рассмотрим теперь движение частицы с энергией, превышающей потенциальную энергию барьера (Е ) ((яаяр). В этом случае область (( (рис. 4) будет классически доступной и квази- классическая функция, согласно (22,7а), может быть записана в виде фп — — =з(п Й(у)((у+() )хь (х) Приравнивая функции и их производные в точках х = 0 и (, на- ходим четыре соотношения: р(а (А+В)=аз!и(), ((то(А — В) =а р'а соз(), аз!п((р+р) =С $~Ь е~~, р(Ь а соз ((р + ()) = (йрСе(~, (24,10) где теперь а Уг(0), Ь=й(1), Ч = Ь 2И(Š— и(х))ах. (24,11) Решая систему уравнений (24,10), получаем В 2Ьо (Ь вЂ” а) + (Ьо ~— аЬ) (Х в А )Ьо(Ь+а)+(Ьо+аЬ)(ХЧ( Следовательно, коэффициент отражения от потенциального барьера при условии Е» У„оао определяется выражением 2 2 2 (,2 2 (24,12) А ! Ьоо(Ь+а) +(Ь~~+аЬ)2(аз(р Если в точках 0 и ( значения потенциала одинаковы, то а=Ь=ч- У2)2(Š— (((О)) и коэффициент отражения из (24,12) принимает более простой вид: (24, 13) Ьаоар+ (Ьоо+ ао)2(Х2 р ' Ь 2Л потвицихльныи вхзъяР и потзицихльнхй ймА (05 106 сВязь кВАнтОВОЙ мехАники с клАссической мехАникОЙ игл.
П! Из (24, 13) и (24, 11) следует, что при условии с /утвТэ — оЯг е. х =1. ь ..., е потенциальный барьер для частицы является полноптью прозрачным. Используя теорему о среднем, можно написать ! э(х 1р, где р — среднее значение импульса частицы в области барьера. Следовательно, прозрачность барьера определяется условием 1р= ппй.или, полагая р = 2па/А, можно написать 1 = ПЦ2, т. е.
на длине барьера должно укладываться целое число А/2. г 1 1 3 ! О л рве. б. Потеицнэльиен энергии электроне ив границе метелл — вакуум; о> бее внешнего иоле: а орв величии внешнего однородного електрвческого волн. Š— энергия электроне, Ф-РвбОтэ ЕМХОДВ. Пе-Выеетэ баРЬЕРа. Выражение (24,13) определяет и коэффициент отражения частицы от потенциальной ямы, если при вычислении 4~ в формуле (24,11) учесть, что потенциальной яме (притяжение) соответствует У(х) ( О. Для иллюстрации использования полученных выше формул вычислим вероятиосгь испускания электронов из металла под действием сильного внешнего поля (холодная эмиссия электронов).
В 'отсутствие поля потенциальная энергия электрона внутри и вне металла может быть изображена кривой 1/(х), указанной на рис. 5, а. Внутри металла электрон имеет энергию Е ~ 0ш где 1/е — потенциальная энергия электрона вне металла. Чтобы электрон вылетел из металла, ему надо сообщить энергию ф = (/е —.Е (порядка 5 — 10 эВ), которую называют раб й выхода. Г ели к металлу приложено внешнее электрическое поле напряженности ер, то к потенциалэной энергии У(х) нне металла а эа пОтенциАльныЙ ЕАРьеР и потенциАльнАЕ ямА !07 надо добавить потенциальную энергию электрона во внешнем поле ( — е8'х).
В результате получается-'потенциальная кривая, изображенная на рис. б, б сплошной линией. Следовательно, при наличии поля появляется возможность вылета электрона в вакуум путем прохождения через потенциальный барьер. Область сильного изменения потенциала около поверхности металла порядка размеров атомов, т. е., значительно меньше расстояния а, при котором У(х) = Е. Поэтому для упрощения вычислений можно заменить на отрезке Оа потенциальную кривую прямой линией, т. е. положить У (х) — Е = ф — ед'х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
