Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Следовательно, симметрия поля относится к абелевой группе Вам В этой группе результат применения двух преобразований симметрии не зависит от того, в какой последовательности они выполняются. Все неприводимые представления этой группы одномерны, и вырождение отсутствует (см. $19). Когда а = Ь = с, энергия частицы выражается формулой (25,16) В этом случае симметрия поля совпадает с симметрией куба. Соответствующая группа симметрии Ол содержит одномерные, двумерные и трехмерные неприводимые представления, поэтому она может иметь двукратно и трехкратно вырожденные энергетические уровни.
Например, трем волновым функциям, с квантовыми числами п~ = 5, пз — — 1, пз — — 1; п~ —— 1, п~= 5, пз — — 1; ги = 1, пх = 1, пз —— 5 соответствует одинаковая энергия 27 Й ~ай — —,. Легко, однако, убедиться, что этой же энергии будет соответствовать и волновая функция с квантовыци числами п1 = 3, па = 3, и, = 3. Это дополнительное вырождение обусловлено особым характером зависимости потенциальной энергии от координат, а не симметрией поля. Такое дополнительное вырождение называют слцча ным вырождением. При исследовании движения электрона в кулоновском поле (Я 38, 39) мы встретимся с аналогичным дополнительным вырождением по квантовому числу 1.
отличающим кулоновское поле от всех других центрально-симметричных полей (см. также э 37). Рассмотрим теперь одномерное движение частицы с энергией, превышающей высоту потенциальной ямы,т.е.при е» Уа. В этом случае у~= —,(Уо — е) (0 и у является мнимым. По2в этому конечные решении вне ямы будут содержать не одну (как, 114 пРостеишие пРименения квАнтовои мехАники [гл.
п~ в случае в~ Уо), а две постоянных. Следовательно, два од- нородных уравнения, получаемые из условия непрерывности ф и —, на границе будут содержать три неизвестных. Такие ня нх ' уравнения разрешимы для любых значений Ь (или в) — кван- тование энергии движения отсутствует. Уровни энергии будут двукратно вырожденными. Каждому значению е) Уч соответствУет два РешеииЯ, котоРые вдали от ямы изображаются функциями гила ф ехР~ -~- 'К 21А (е — Уч) ~, ~ух ехр ~ — -'в- ]/2р (в — Уо) ~. решение первого типа соответствует движению частицы вдоль оси х, а решение второго типа — обратному движению частицы. При исследовании движения частицы в прямоугольной потен- циальной яме мы условились отсчитывать энергию системы от дна потенциальной ямы, поэтому все значения энергии были по- ложительными.
В физике часто в качестве нуля отсчета энергии п инимают потенциальную энергию бесконечно удаленных точек. тобы перейти к этой нормировке, надо вычесть Уэ из найден- ных выше значений энергии, тогда < О для дискретного спектра, Е'=Š— Уо = > О для непрерывного спектра. Исследуем более подробно решения одномерного уравнения (26,3) для состояний непрерывного спектра при движении в поле с потенциальной энергией — Ум если !х((Ь; При такой нормировке потенциальной энергии состояниям непрерывного спектра соответствует энергия е ) О.
В этих состояниях частица свободно движется вне потенциальной ямы и может удаляться от нее иак угодно далеко. Если частица движется вдоль оси х, то, достигая потенциальной ямы, она испытывает действие сил. При этом частица либо отравится, либо «пройдет» потенциальную яму. Вычислим вероятности этих процессов. Напомним, что в 5 24 такая задача решалась методом ВКБ для потенциального барьера и потенциальной ямы. В области 1 (когда х ( — Ь) решение уравнения (25,3) имеет вид ф = Аэйьх+ тте мр рде ййо = ф 2рФ ~ Функции Аеа" и Ве-'"" относятся соответственно к падающим и отраженным частицам.
В области Ш (когда х-) Ь) решение берется в виде укодящик от ямы воли ф и =Сем". В области П (когда — Ь ( х ( Ь) решение (25,3) имеет вид ~р = аем~+ ре-мх где ЬЬ = )~29 (е+ Уо). (25,18) си Чтобы вычислить коэффициенты прохождения Р = ~ — ~ и отрал! Ви жения Й=~ — ~, надо выразить амплитуды С и В через А. Для этого приравняем функции фш и ~рп и их производные по л на границе х Ь. В результате получаем два уравнения Се'" ~ = ае™+ ()е-'~; — 'Се'~ ~ = ае'эь — ()е-""э а Решение этих уравнений имеет вид а= — (1 + — )ехр(1(йч — й) Ь), ~ (1 — (1 — — ')ехр(1(йч+ я) Ь). ~ (25,19) Приравнивая далее фт и фп и их производные при х = — Ь, находим Ае-ньь'+ Вема = ае-'аз + ре'"ь, Ае мл — Ве'"4 = 11 — ~ (ае мэ — 11емь).
/а1 Решая эти уравнения относительно А и В, а затем используя (25,19), получаем С ем,чЯ1+ ~ )(1 1 ф)е-мч.» ~1 ~~ )(1 ф) аэч~, В ~(1 )(1+ о)е ма+(1+ — )(1 — — о)есы~ где а = 2Ь вЂ” ширина потенциальной ямы. Следовательно, коэф- фициент прохождения 0=~1+ — ф — а ) з)п'(Ьа)~, (25,20) Таким же образом можно вычислить коэффициент отражения 1т' и показать,.
что )с = 1 — Й. Э щ частица в пяямоугольнои потанциальиои яма 115 116 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. ГЧ Если з(п(йа) чь О, то коэффициент прохождения отличается от 1, т. е. имеется определенная вероятность отражения частицы от потенциальной ямы. Однако при з[п(йа) = О, или да =ля, (25,21) где л — целое число, коэффициент прохождения 1У = 1 и 1[ = О. Подставляя в (25,21) значение й из (25,18), находим энергии е, при которых коэффициент отражения равен нулю: ~ру е = — л' — Уч) О Еиа' э (25,22) где л — целое число.
Итак, при положительных энергиях е„, удовлетворяющих равенству (25,22), коэффициент прохождения 11 = 1. Эти значения энергии называются резонансными энергияА[и. Из условия положительности е следует, что квантовые числа резонансных энергий удовлетворяют неравенству г гнс[, л ~ — т-,—. ( з[п (абй) 1 = 1 абй 1 -" ~0 ай При этом, согласно (25,21), а=л —, т. е. в яме укладывается х целое число полуволн. Расстояние между ближайшими резонансными энергиями определяется уравнением яй»' евы — е„= ~, (2л+ 1).
Формула (25,22) совпадает (при учете нормировки начала отсчета энергии) с выражениями (25,8) и (25,12), определяющими энергию дискретных состояний частицы в глубокой яме. Уровни энергии (25,22) иногда называют виргуальныА[и уровняА[и энергии (см. $123). Предположим, что й характеризует виртуальный уровень йха'„ ее Е (~Ог (25,28) при котором 0 = 1.
Определим величину бй, такую, чтобы при й = й +бй коэффициент прохождения Р = [[в Из (25.20) следует, что для этого необходимо выполнение равенства — ",„) з[п (а (йе+ бй)1 $ = 2 (25в24) Учитывая (25,21) и неравенство бй~ й, можно. преобразовать (25,24) и виду ООИ ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМВ 112 Т огда из (25,23) находим изменение энергии Ь 22оааао 2 — аа 1иа Ао — Аа! ! Аа й ! и Аа при котором .0 уменьшается до 'Й.
Величину бе, определяемую равенством (25,25), можно условно назвать полугиириной виртуального уровня. Предположим, что частица с энергией е = й~й~а/(2р) < Уа проходит через потенциальный барьер ° Уа, если Ь=»~х!, 2Ь=а; (и'(х) = О, если 5<1 х(. В области барьера решение уравнения (25,3) имеет вид ий„пата+ бв-т", где Ьу = ~21и (Уа,— е). Вне барьера решения Чро и ирпо совпадают с соответствуюшими решениями для случая потенциальной прямоугольной ямы.
Следовательно, коэффициент прокождения прямоугольного барьера можно найои из (25,20) путем формального преобразования й-р — (у. Тогда, учитывая, что е а — а* з!П(йе) = 2и получаем 0 = ~ 1 + — ( — ' + — ") [вот'+ е оо' — 2) ~ ° Обычно выполняется неравенство 2ау ~ 1, поэтому 1 р1 л Улл Если частица пролетаег над барьером, то 1р снова определяется р р и и рилли, л л л ° и-ар'лр1Г-аа 1 В заключение этого параграфа исследуем решение одномер- ного уравнения (25,3). Для асимметричной потенциальной ямы иа, ° х<О, 0(х) = О, если О: х<а, (и'и если х) а. Пусть' Е < Уа, 01 тогда, вводя обозначения У2рЕ / 2иУа I 2иилр О мв пвостаишив га нмвнвния квлнтовоп механики 1гл.
1т можно написать общие решения уравнения (25,3) в трех областях (с постоянными значениями потенциальной энергии) в виде Аее т" + Веет* (х < О), ф (х) = А з!и (ах+ б) (О < х ~,', а), А1е-т "+ В1е»" (х > а). Чтобы функция ф(х) была конечной при х- ~со, необходимо положить Ао = В~ — — О. Если мы интересуемся только возможными значениями энергии, то вместо требования непрерывности ф(х) и — „, прн х = О и а, достаточно потребовать непрерывен 1 е~~ ности логарифмической производной ††"- при тех же значе- 1) Ех ниах х. Таким образом получаем два уравнения у =йс(аб, у,= — йс(д(йа+6).
Подставляя значения у и уь можно преобразовать эти равен- ства к виду =з!об, — = — з!п (йа+ б), а» . аа зви, ' р'з~д; Исключая значение б, находим трансцендентное уравнение, определяющее значения й, еа аа йа лл — агсз(п — — агсз)п (25,26) Ф 2н~/е ФУ1 ' где л ="Т; 2, 3, ... нумеруют возможные значения Ф в порядке их возрастания; значения арксинуса берутся в интервале О, л/2; значения Ф могут лежать в интервале Частица в яме имеет л дискретных энергетических уровней, если при й = у'2рУч15 значение ай больше правой части равенства (25,26), т. е. при выполнении условия — р 2~ь0~ > л1л — — ~ — агсзш у — .
В частности, при л = 1 из (25,27) получаем условие того, что в яме имеется по крайней мере один уровень. Если Уа Ф ()ь то всегда возможны столь малые значения а $70>~ при которых в яме не будет ни одного разрешенного уровня энергии. Напомним, что в классической механике частица может совершать фииитное движение в любой яме, если ее энергия достаточно гАРмоничвокии осциллятог 11Э мала,. При ил — — У~ условие (26,27) переходит в рассмотренное выше условие (25,18), которое всегда выполняется при п 1. Этот вывод относится ко всем одномерным задачам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
