Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Подставляя это значение в (24,7), находим коэффициент прохождения электрона из металла в вакуум Р Р ехр — — 2р (ф — ед'х) Ых ехр ( — 4 2 ф'Ь1. й~ ) ! 3 авн о ГЛАВА 1У ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ и 25. Частица в прямоугольной потенциальной яме В этой и следующей главах мы рассмотрим неиоторые. простые системы, для которых можно дать строгое решение урав. пения Шредингера, определяющего стационарные состояния.
Такие системы являются идеализацией систем, встречающихся в природе. Исследование простых идеализированных систем позволяет более полно понять методы квантовой механики. Кроме того, полученные результаты имеют и самостоятельный ингерес, так как они в некотором приближении отражают свойства соответствующих реальных систем.
Задача определения стационарных состояний движения частицы массы н во внешнем потенциальном поле сводится (см. $16) к отысканию собственных значений оператора энергии, т. е. к решению уравнения ~Тг2+ а, (Š— 0(г))~ф=О. (25,1) ф и пгадф непрерывны иа и. (25,2) Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением вгорого порядка. Точные аналитические решения уравнения (25;1) могут быть найдены только для некогорых видов оператора потенциальной энергии, ногорый в коордннагном представлении изображается функцией от координат частицы. Простейшие решения относятся к системам, в которых потенциальная энергия постоянна во всем пространстве (свободное движение) либо имеет разные постоянные значения в отдель.
ных областях пространсгва, переходя скачком от одного значения к другому на поверхностях, разделяющих такие области. На поверхностях разрыва цогенциала волновая функция должна быть непрерывной, чтобы плотность вероятности была непрерывна. Если энергия частицы ограничена и скачок потенциальной энергии на поверхности разрыва конечный, то из (25,1) следует необходимость непрерывности дгадф на поверхности разрыва. Итак, граничные условия на поверхностях и с конечным скачком потенциала сводятся к требованию ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ !09 Рассмотрим частицу, движущуюся в потенциальном поле (рис. 6): О, если — а/2 » (х ( а/2, (/(х) = 1 (/а, если х имеет другие значения.
В этом случае уравнение (25,1) сводится к одномерному урав. нению ~ — „, ++(в — (/(х)! ~ф(х)=0. (25,3) йз=— звз Гз~ у~= з, ((/о — з). Тогда уравнение (25,3) можно записать в виде ( — „„, +йэ)ф, О, 0~(х~ —; Конечные при х-Р.оо решения фп можно записать в виде фп — — Ае ~". (25,4) Решения фь соответствующие состояниям положительной четности, будут ф,'+' = В соз йх. Потенциальная энергия и оператор Гамильтона инвариантны относительно преобразования инверсии х -~ — х, поэтому (см. $18) все стационарные состояния относятся либо к со.
и/х/ стояниям положительной четности, либо н состояниям и, отрицательной ' четности. Учет указанного свойства 1 11 /11 симметрии потенциальной а а х энергии значительно упрощает решение: достаточно найти решение только в области положительных значений х, т. е. в области 0 ~ ~ х ( со. Волновые функции состояний отрицательной четности должны обращаться в нуль в точке х = 0; для состояний положцтельной четности при х = 0 должна обращаться в нуль производная волновой функции по координате. Будем отсчитывать энергию от «дна» потенциальной ямы, тогда энергия з ) О. Рассмотрим значения энергии е ( (/ь Пусть далее 11О пРостеишив пРимБИБния квАнтовои мехАники и'л.!т Для состояний отрицательной четности ф1"'=Сяпйх. Рассмотрим вначале состояния положительной четности. Из Лоу а условия непрерывности оу и — „в точке х = — следует два однородных уравнения для определения А и В: Всоз — =Ае т'/о, ьа 2 Вз!п — = — Ае вчо.
Ьа т 2 Ь (25,5) Эта система уравнений имеет отличные от нуля решения только при условии Ь(а 2 =у=~~ — — Ь'* Ьа Г 2ябо Ь' Поскольку тангенс является периодической функцией с перио- дом л, то это уравнение можно преобразовать к виду йа = пп — 2агсяп ЬЬ 'г' 2Нбо (25,6) ~а (Ь) =пи — 2агсяп ЬЬ (25,7) Особенно простой вид имеют решения уравнения (25,6) для бесконечно больших значений Уо (Уо „"ь е). В этом случае агсяп О ЬЬ Г 2яыо и Ьа= — п, где п=1, 3, ...
При этом энергия частицы в а яоао в(+~ = — по и нечетное. а 2ра' (25,8] где п = 1, 3, ...; значения арксинуса надо брать в интервале О, и/2. Уравнение (25,6) является трансцендентным уравнением, определяющим положительные значения волнового числа Й и, следовательно, возможные уровни энергии, соответствующие состояниям положительной четности..Поскольку аргумент арксинуса не может превышать 1, то значения Ь могут лежать только в интервале О~Ь~ (У2ф/о/Ь. Значения Ь„, удовлетворяющие (25,6) при и = 1, 3, ..., соответствуют точкам пересечения прямой Йа и монотонно убывающих кривых ам) чхстнцА В пРямОуГОльнОЙ потеициАльнои яме !!! Волновая функция фп ° О. А волновая функция внутри ямы, нормированная условием аЛ )фФ Гак 1 -а/А имеет вид ф1+! 1г, — соз — х, л нечетное.
/2 аа (25,9) Для состояний отрицательной четности условия непрерывл~! а ности ф и лх в точках х= — призодят к системе уравнений Сз!и — =Ае т'", Аа 2 Ссоз — = — ~ Ае таЛ, 2 А (25,10) Из условия разрешимости этой системы уравнений имеем йс15 2 = — У. Аа (25,11) или в явном виде а ~Г2рО, > пл(л — 1). (25,12) Условие (25,12) всегда выполняется при л 1. Следовательно, симметричная одномерная яма с произвольными значениями а и Уа имеет не менее одного дискретного уровня энергии.
Возможное число уровней в яме определяется максимальным значи!!Ирм л, при котором еще выцолняется неравенство (25,12). Учитывая периодичность котангенса, можно получить из (25,11) уравнение, по форме совпадающее с трансцендентным уравне. нием (25,6), При л = 2, 4, б,.... оно определяет значения й„, соответствующие дискретным состояниям отрицательной четности. Итак, дискретные уровни энергии частицы в симметричной З Ал потенциальной яме выражаются формулой е„'= — ~, где й„ 2а определяются точками пересечения прямой йа и монотонно убывающими кривыми (25,7).
Значения л = 1, 3, 5, ... соответствуют состояниям положительной четности; значения л = 2, 4, 6, ... соответствуют состояниям отрицательной четности. Поскольку яа монотонно возрастает, а ь„(й) монотонно убывает, то условие их пересечения можно записать в виде йа — ь„(а) > О при й=— )Гзя!!а 112 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (ГЛ.!Ч В частном случае бесконечно больших значений Уа из (25,6) для состояний Отрицательной четности следует, что йа =пп, где и = 2, 4, 6, ... Значение и = О исключается, так как оно приводит к 2р! = О для всех значений х. Итак, энергия часгицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в состояниях отрица- 2 тельной четности е' 1= — г п2, где л = 2, 4, 6, .... а волнол зва вая функция 2р(-1= ~г — з)п — х.
пл а а (25,13) па гп л и! Влача, = — ~ —, + Ж+ —,/, пн Й2, пз = 1, 2, 3, ° ° (25,14) /Л! Л2 П2 ! Соответствующая Волновая функция имеет вид р„,, = Фгп(КИЯ,(р) ф, (е) (25,15) Волновые функции (25,9) и (25,13) обращаются в нуль' при х = ~-а/2. Таким образом, мы видим, что граничные условия на поверхностях, где потенциальная энергия обращается в бесконечность (идеальные твердые стенки), сводятся к требованию, чтобы на этих поверхностях волновая функция обращалась в нуль (частица не может проникать в область 0 = оо), производная же по нормали к поверхности может иметь, вообще говоря, скачок. В случае конечных значений ((2 частица может проникать и в область (х~ ) а(2. Волновые функции в этих областях будут совпадать с функцией (25,4), где А определяется для состояний положительной и отрицательной четностей соответственно через В и С с помощью уравнений (25,5) и (25,1О) для каждого значения корня уравнения (25,6) и (25,11).
Согласно (25,12), в случае малых значений а у'~l~ (мелкая яма достаточно малой ширины или глубокая яма очень малой ширины) частица массы р имеет только один дискретный уровень энергии, соответствующий значению й! - "у'2~ФУо/Ь. При этом энергия частицы е Ум значение у=(2п/Ь) )/02 — е = О и волновая функция (25,4) частицы вне ямы будет отлична от нуля на сравнительно больших расстояниях вне ямы.
В случае трехмерной потенциальной ямы со значением У(х, у, г), равным нулю внутри параллелепипеда со сторонами а, Ь, с и равным бесконечности вне этого параллелепипеда, уравнение (25,1) распадается на три независимых одномерных уравнения типа (25,3). Следовательно, энергия будет определяться тремя квантовыми числами 22я чАстицА в пгямохгольноя потвнцнлльноя ями ПЗ где — сов — , если п, = 1, 3, 5, ..., 2 пл1х — з)п —, если п,=2, 4, 6, ...; 2 . лл~х ф (х) = аналогичный вид имеют функции ф„(у), ф„(г).
Когда а чь Ь ~ с, каждому значению энергии соответствует одна волновая функция (25,15). Другими словами, в системе отсутствуют вырожденные состояния. Этот результат непосредственно следует из свойств симметрии потенциальной энергии. Потенциальная энергия остается инвариантной при вращениях на 18(У' вокруг каждой из осей координат и прн преобразовании инверсии (худ- — х, — р, — а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
