Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Координатное представление вектора состояния !а) изображается волновой функцией (27,1), зависящей от координат $. Согласно определению скалярного произведения, волновую функцию координатного представления (27,1) можно рассматривать как скалярное произведение вектора состояния !а) и векторов состояний !$) для всех значений координат $, рассматриваемых как индексы состояний. Другими словами, совокупность значений (Ца) представляет собой совокупность проекций вектора состояния на полную базисную систему ») В $10 было поквзено, что собственные функции операторов с непрерывным спектром нельзя нормировать обычным путем, Соответствующие зтнм состояниям «кет»-векторы также имеют бесконечную ллнну.
Каждому «кет»-вектору !а) можно сопоставить дуельшяй вектор состояния «бра», который обозначается символом (а! и связан с «кет»-вектором простым соотношением (а! =!а)е. Поэтому любое состояние динамической системы можно описать как «кет»-вектором, так и «бра»-вектором. Совокупность всех возможных «бра»-векторов образует пространство, дуальное к гильбертовому.пространству «кет»-векторов. «Кет»- и «бра»-векторы имеют'различную природу, поэтому их нельзя складывать.
Следовательно, они не могут быть разбиты на чисто вещественную и чисто мнимую части. Это комплексные величины особого рода. Эрмитовые операторы Р = Р' действуют на «кет»-векторы слева, а на «бра»-векторы — справа и преобразуют их в другие векторы состояний соответственно «кет» или «бра». Например, если элементАРнАя теОРия пРедстАеленин векторов ~$). Волновая функция Ща), как и другие скалярные произведения, является обычным комплексным числом. Координатное представление (27,1) вектора состояния не является единственным. Подобно тому как в обычном трехмерном пространстве любой трехмерный вектор может быть определен своими координатами в некоторой произвольно выбранной системе трех ортогональных единичных базисных векторов еь ез, ез, так и вектор состояния в гильбертовом пространстве может быть определен через значения чсвоих координат» — волновых функций.
В гильбертовом пространстве в качестве базисных векторов используются полные системы ортонормированных векторов или соответствующих им базисных функций. Мы уже знаем (см. Я 9 и 10), что совокупность собственных функций любого эрмитового оператора квантовой механики образует полную ортонормированную систему функций, поэтому любую такую совокупность функций можно использовать в качестве базисной системы. Совокупность коэффициентов (Р~а) разложения ~а) = = ~с~~~ Р)(Р~а) вектора состояния )а) по собственным вектоам ~Р) оператора Р называется волновой функцией состояния а) в представлении, соответствующем оператору Р, или Р-представлением. Таким образом, вектор состояния можно записать в энергетическом представлении (Е-представление), в импульсном представлении (Р-представление) и т.
д. Поясним вышесказанное примерами. Рассмотрим для простоты состояние движения одной частицы. Для описания состояния выберем две системы базисных функций: !) собственные функции, соответствующие оператору, имеющему дискретный спектр собственных значений, 2) собственные функции. соответствующие оператору, имеющему непрерывный спектр собственных значений. Полученные результаты легко обобщить на случай операторов, имеющих как дискретный, так и непрерывный спектр собственных значений. а) Энергетическое представление (Е-представление). Для изображения вектора состояния ~а) выберем в качестве базисных функций собственные функции оператора Гамильтона, имеющего дискретный спектр собственных значений.
Обозначим эти функции в координатном представлении через ре й) (В! Е„). (27,2) Для комплексно сопряженных функций используем обозначение р,' (й) (Е„~ В). (27,З) Таким образом, (27,4) Свойство ортонормируемости собственных функций можно записать в виде ~ г!5ФЙ (Й)'Ра„®=ба вл» (27,2) (27,5) или, используя скобочные обозначения для функций, ) Щ(Е,л!$>($ !Ел> -=(Е,„! Е„)=ба ~.
(27,5а) Чтобы перейти от координатного фл($) = (Ца) к энергетическому представлению вектора состояния ф, ~ !а), разложим функции координатного представления по базисным функциям (27,2); тогда получим в двух формах записи: ф.й)=Хч~ (5)ф.(Е„), (5 !а,)= ~ (7,~!Ел>(Е„!а). (27,6а) ал Набор коэффициентов разложения фл(Е„) ~ (Е„!а) н является волновой функцией состояния !а) в энергетическом представлении. Независимой переменной волновой функции в Е-представлении является энергия системы, пробегающая дискретный ряд значений.
Квадрат модуля волновой функции в Е-представлении определяет вероятность найти систему с соответствующим значением энергии, т. е. УУ(Ел) = ! фл (Ел) !з= — ! (Ел ! а> !з. Если функции координатного представления. были нормированы, то будут нормированы и функции в новом представлении. В этом легко убедиться, если подставить в условие нормировки функций координатного представления Ц-представление) ) сЦ (а ! 5>.($ ! а)= — 1 значения (ай>=Х(а!Е„>(Е„!5) и (5!а)=3(5!Е„)(Е„!а). Тогда, учитывая (27,5а), находим Х (а !Е,>(Е, !а> Х! фл(Е4 г=1, что и является условием нормировки волновых функций в Е-представлении. Ф йп РАзличныЙ пгадстАвлвния внктоРА состояния 127 злимвнтзвнзя твоеия пивдстзвлинни Пользуясь свойством ортонормируемости (27,5а) базисных функций (27,2), можно из (27,6) получить обратное преобразование ф.(Е3= ~ аж.
(Рф.(9. (27,7) или (Е„1 а) = ) д$ (Е 1$) ($ ! а). Из (27,7а) следует, что преобразование функций координатного представления ®а) в функции (Е„)а) энергетического представления осуществляется с помощью функций (Е„)$) = = ЩЕ„)т. Преобразование (27,6а) переводит функции Е-представления в функции $-представления. Это преобразование осуществляется функциями ЩЕ„), являющимися собственными функциями оператора Гамильтона в координатном представлении. б) И м п у л ь с н о е п р е д с т а в л е н и е. В импульсном представлении (р-представление) базисными функциями являются собственные функции оператора импульса ь% =(й ~р> (27,8) (27,7а) удовлетворяющие соотношениям ортонормируемости ) И$ф,'„(Цф ($) =б(р' — р), нли В~о)=~4 (В)р)(р!а).
(27,10) Функции ф,(р) — (р~а) определяют вектор состояния )а) в импульсном представлении. Квадрат модуля этик функций равен плотности вероятности в импульсном пространстве р(р) = — =! (р ! а) Р= — '~ ф (р) г (27 1!) Преобразование, обратное к (27,10), имеет вид (р~а) = 1 сгв(р~Д($1а). ) дз(р' ! $) (в 1р) = (р'1р) ь(р' — р). (27,9) Разлагая функцию ф,(в) состояния а по полной системе функций (27,8), находим 1ъ В) = ~ 4 ь(9 ф. (р) з тп вхзличныв пеидстлвлииия вахтова состояния 129 Итак, вектор состояния системы )а) может быть изображен несколькими волновыми функциями, зависящими от разных переменных. что можно записать в виде схемы ($ ) а), 5-представление; (Е„! а).
Е-представленне; (р ! а), р-представление; ~ а) -+ (т! а) ~ (т ~д)(~7 !а), где функции преобразования (т~д) = (д)т)+ являются собственными функциями оператора, соответствующего физической величине д, в т-представлении. Если переменные т в (27,12) или д в (27,13) пробегают непрерывные значения, то суммирование следует заменить интегрированием по всем значениям этой переменной. Формулы (27,12) и (27,13) показывают удобство дираковских (скобочных) обозначений векторов состояний при исследовании вопросов перехода от одного представления к другому. В самом деле, формулы (27,12) и другие можно писать формально, если учесть, что в силу условий полноты собственных функций операторов (Я 9, 10) имеют место соотношения (27,13) ~~У ~ а„Р=~~~~~ т)(т 3=1, или ) Йр~ ар~з — ) г1р~р)(р!=1 (27,14) и т.
д. Таким образом, например, (д 1а) = ) др(а ~р)(р1а). Этот процесс можно продолжать, например, (а ! а) = ~ с)р ~я! р) (р1 а) = )г Ир с$ (д ! р).(р ! 3) ($ ! а). 5 А. С. давылов В общем случае переход от волновой функции (т)а), определяющей состояние в т-представлении, к какому-либо другому представлению, например д-представлению, осуществляется с помощью соотношения (а ~ а) = Х (д ) т) (т ! а), где функции преобразования (д~т) являются собственными функциями оператора, соответствующего физической величине т в д-представлении. Обратное к (27,12) преобразование имеет вид [гл. и ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Рассмотрим явный вид некоторык функций преобразования от одного представления к другому. 1) Явный вид нормированной условием (27,9) собственной функции импульса (27,8) в координатном представлении следующий (см.
е 10): (г !р> = (2ЯД) 'ехр)1 — „) . Эта функция преобразует импульсное представление в коорди- натное представление. Функция обратного преобразования (р)г> =(2ЯД) ~*ехр( — — „) является' функцией координаты в импульсном представлении, Эта функция является комплексно сопряженной функцией к функции прямого преобразования. 2) Собственные функции оператора углового момента в координатном представлении можно записать в виде У (Е, р)=(ЕГ11 >=( —;~1т), (27,18) где углы 8 и ~р определяют направление единичного радиуса- вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
