Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Эти функции удовлетворяют условиям ортонормируемости ) !!В (Е и> (В 1Е,> = Ьв, и, (30,3) ~ В<р'1В><ВЬ»=ь(р' — р). (30,4) (30,2) Для исследования общих свойств таких преобразований условимся записывать их в символической форме, изображая преобразование как результат действия некоторого оператора, т. е. вместо (30,1) напишем (В! а) = Е(В, Е„) (Е„~а), (30,5) где Я(В,Е ) следует рассматривать как матрицу с непрерывно меняющимся первым индексом и дискретным вторым индексом.
В этом случае правую часть (30,5) следует понимать как произведение матрицы Я(В, Е ) на столбцовую матрицу ((Е„~а)). Преобразование (30,2) кратко можно записать в виде <В1ь> = 3 (В, р) (р1Ь>. (30,6) При этом под О'(В, р) следует понимать интегральный оператор, ядром которого является собственная функция оператора импульса в координатном представлении. Переход от одних независимых переменных к другим назы-' вается каноническим преобразованием.
Таким образом, преобразование (30,5) является каноиическим преобразованием от переменных Е„к переменным В, преобразование (30,6) является каноническим преобразованием от переменных р к переменным В. Запишем обратное к (30,6) преобразование в виде (р!ь> = 3 (В.
р) <В! Ь). элементАРнАЕ теОРия НРедстАвлении 1гл. Р Учитывая, что (Ий>=~а(ри>и~8>=~ (ВВ(р> (Ий>, мы видим, что Я-' является интегральным оператором с ядром (5) р>т; таким образом, 8 'В. р)=8" (В, р). или Я 3=1. (30,7) Оператор, удовлетворяющий условию (30,7), называется унитарным оператором.
Итак, мы приходим к заключению, что канонические преобразования осуществляются унитарными операторами. В общем случае каноническое преобразование функции ф с помощью унитарного оператора Я можно символически изобразить равенством Ф= Вф. (30,8) При каноническом преобразовании (30,8) волновых функций от одних переменных к другим одновременно должны быть преобразованы и все операторы к новым переменным. Пусть, например, на функции ф действует некоторый оператор Рэ таиим образом, что ф'= "эФ (30,9) Преобразуем это равенство с помощью унитарного оператора Я; тогда, учитывая, что Я-'Я 1, имеем Я =ЯРэ8 Яф, или, учитывая (30,8), находим Ф'= РЕФ, где Рф=ЯРРЯ ' (30,10) — оператор, действующий на функции Ф.
Следовательно, соотношение (30,10) определяет закон преобразования операторов к новым переменным при преобразовании (30,8) волновых функций к тем же переменным. Кроме рассмотренных выше унитарных преобразований, соответствующих каноническому преобразованию от одних переменных к другим переменным, в квантовой механике большое значение имеют унитарные преобразования вида Я = ея', где а — эрмитовый оператор, или произвольная действительная 4 зя ОБШАЯ ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ !43 функция от тех же переменных, что и волновая функция.
Унитарное преобразование Яф=емф (30,11) изменяет вид волновых функций, однако не меняет независимых переменных функции. Такое преобразование называют преобразованием фазы. Итак, каждой физической величине можно сопоставить не один, а бесконечное множество операторов, отличающихся друг от друга унитарными преобразованиями.
Другими словами, операторы, связанные соотношением г" =ОРО ', при 35 =1 соответствуют одной физической величине. Свойства физических величин не могут зависеть от такого произвола, т. е. они должны отражаться в свойствах операторов, которые остаются инвариантными при унитарных преобразованиях (30,12). К таким свойствам операторов относятся: а) линейность и самосопряженность операторов; б) коммутационные соотношения между операторами.
В самом деле, пусть (Р, А4) = (С, Тогда 3Р3 '3М3 ' — 3М3 '3Р3 '= 13С3 ', Р'М'- М'Р' = 1С', здесь штрихованные операторы отличаются от нештрихованных унитарным преобразованием (30,12); в) спектр собственных значений операторов индариантен относительно операции унитарного преобразования операторов, Действительно, пусть Р,ф=Рф тогда ЯРРИ 'Оф=РЯЦ~, или где Ф=оф; г) всякое алгебраическое соотношение между операторами инвариантно относительно унитарного преобразования. Например, соотношения Р=М+Х или Р=МЕ остаются инвариантными, так как унитарное преобразование всех трех операторов приведет к новым операторам, удовлетворяющим тем же соотношениям; (ГЛ. Р 1яя ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ д) матричные элементы операторов не изменяются прн унитарных преобразованиях, Это утверждение следует непосредственно из следующего равенства: (ф [Р~ф„~= ) ф'Рф„ (3= ~ ф„"3-'~Р3-'Зф„<ф= =)' ф т ~=<ф.! ! Ю.
В заключение этого параграфа рассмотрим малое преобразование фазы вектора состояния с помощью бесконечно малого унитарного преобразования 3 = е", где действительная функ- 1 ция координат, или эрмитовый оператор, а = — „Р ф) ~ 1. Такое унитарное преобразование можно приближенно представить в виде конечного числа членов ряда .р 1г. р~з 5=1+1 — + — ~1 — ) + ... и е1в) -Ф При г" =г' обратный оператор 1г ". рд 3 Я = 1 — 1 — + — ~- 1 — ) -(- ... и э( и) Если ограничиться только двумя первыми слагаемыми в этих рядах, то условие унитарности будет выполняться с точностью до бесконечно малых второго порядка ЗЗ'=1+Я)'- 1.
Изменение функции при унитарном преобразовании с помощью (30, 13) можно также выразить рядом ф'=5'Р="Р+1=„ф+ — ( —,) ф+ "° (30,14) Одновременно с функциями преобразуются и все операторы по закону Г=ЫЗ-'-(1+ 'в + ...)Х(1 — — '„+ ...)= =Х+-„'(Р, Х)- — „', (Р, (Р, Х~]+ ... (30,15) й 31. Унитарные преобразования, соответствующие изменению состояния с течением времени До настоящего времени мы рассматривали унитарные преобразования, операторы которых не содержали времени. Путем одновременного изленения векторов состояний и операторов мы переходили к разным способам описания одного и того же со- УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 4 ЗП т45 стояния в данный момент времени.
Одновременное проведение унитарною преобразования волновых функций и операторов по правилам (30,9) и (30,10) изменяет их вид, но не изменяет состояния системы. Теперь мы покажем, что с помощью унитарных преобрааований можно также выражать и изменение состояний с течением времени. Такая возможность может осуществляться несколькими способами, которые будем называть представлениями изменения состояния. В этом параграфе мы рассмотрим несколько представлений изменения состояний с течением времени. а) Представление Шредингер а.
Если спектр собственных значений оператора не меняется с течением времени, то можно пользоваться операторами, математическая форма которых не зависит от времени. В этом случае изменение состояния с течением времени определяется изменением (поворотом) вектора состояния. Такое представление операторов и векторов состояний носит название представления Шредиигера. В представлении Шредингера изменение волновой функции с течением времени определяется уравнением Шредингера 5 15), Зависимость волновых функций от времени в представлении Шредингера может быть символически выражена с помощью унитарного преобразования ф(Ф 1) =3(1) ф(И* (31,1) где фЦ) — значение функции при 1 =0.
Оператор Я(1) непре- рывно изменяется с течением времени. При ) = 0 оператор Я(1) совпадает с единичным оператором, т. е. Я(0) = 1. Унитарность оператора 31г), Я (1) 5(1) =1, необходима для сохранения условия нормировки волновой функ- ции для всех времен: (Зф(ЗМ =(р! 3'Зф)-(ф И) Чтобы определить вид оператора В(8), подставим (31,1) в уравнение Шредингера (15,1), тогда получим 113 ~~ — ОЗ(1)1 Фа=О.
Последнее равенство можно заменить операторным равенством (31,2) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [гл. у [4б Если Н не зависит явно от времени, то формальным решением (31,2) будет Я (1) ехр ( — — Н[) . (31,3) Таким образом, изменение состояния с течением времени опре- деляется, согласно (31,1), волновой функцией фф, 1)=ехр( — — Н[)фф).
(31,4) Особенностью выражения (31,4) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Чтобы определить действие такого оператора на функцию фЦ), необходимо разложить эту функцию по собственным функциям оператора Н. Если Н~р„= Е„ф„, то (31,4) принимает вид 00 ) Х( [[ ) А[1 "Р" = ~)~~ а„[р„~)~~ ( — — „Е„1) —,, = ~~ а„~„ехр( — — Е„г)). (31,4а) б) Представление Гайзенберга. В этом случае волновые функции не изменяются с течением времени, а изменяются операторы, соответствующие физическим величинам. Пусть фш($, 1) — волновая функция представления Шредингера, а фг(Е) — не зависящая от времени волновая функция представления Гайзенберга, тогда, согласно (31,4), переход от представления Шредингера к представлению Гайзенберга будет осуществляться преобразованием ф„(6=3 '(1)Ф И.(), (31,5) где Я([) — оператор, совпадающий с (31,3).
Если волновые функции при переходе от представления Шредингера к представлению Гайзенберга преобразуются согласно (31,5), то, согласно общему правилу (30,8) и (30,10) унитарных преобразований, надо одновременно преобразовать операторы по закону Рг ([) = 3 (1) гш5 (г). (31,6) Таким образом, если в представлении Шредингера операторы не зависели от времени, то в представлении Гайзенберга они зависят от времени по закону (31,6), а волновые функции не зависят от времени. В связи с тем. что Я(0) = 3 '(О) = 1, векторы состояний в представлении Гайзенберга и в представлении Шредингера совпадают в момент времени 1 = О.
При 1 = 0 совпадают также и операторы в обоих представлениях. Поскольку эиитАРные пнеоввхзовхния 4 31! !47 (3!,9) Рг(0) =Рш то уравнение (31,6) будет определять изменение за время ! оператора в представлении Гайзенберга. Таким образом, изменение оператора Гайзенберга за время И определяется уравнением Р(!+ б() =3 '(й!) Р(!) 8(й!). (31,7) В этом уравнении опущен индекс Г у операторов, так как они оба относятся к одному гайзенберговскому представлению. Используя (30„15), находим Р(!+ б!)=Р(!)+ — „[Н, Р(!)) И+ ... Из последнего соотношения следуцт закон изменения операторов в представлении Гайзенберга с течением времени (31,8) Это уравнение можно получить и путем дифференцирования по времени равенства (31,6) при учете (31,3). Изменение оператора Г за конечное время т определяется, согласно (31,3) и (31,7), формулой Р '1! + т) = ехр ~ а Нт) Р (!) ехр ( — — Нъ) .
Из (31,8) следует, что все операторы, коммутирующие с оператором Гамильтона Я, не меняются с течением времени и в представлении Гайзенберга. Поскольку при ! = 0 операторы представления Шредингера и операторы представления Гайзенберга совпадают, то вид операторов, коммутирующих с оператором Н, остается неизменным при переходе от представления Шредингера к представлению Гайзенберга. В частности, это утверждение относится и к самому оператору Гамильтона. в) Представление взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
