Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В квантовой механике часто приходится исследовать системы, состоящие из нескольких частей, взаимодействующих между собой. В этих случаях оператор Гамильтона можно представить в виде суммы двух членов Н=Н,+Р, (31,10) где Нз — оператор Гамильтона без учета взаимодействия частей системы, Р— оператор взаимодействия.
В таких системах часто для описания изменения состояния системы с течением времени используется представление взаимодействия. Переход от волновых функций представления Шредингера фюзи,!) к волновым функциям представления взаимодействия фаз($, 1) осуществляется унитарным оператором Я (1) = ехр( —,Нз!), (31,11) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. Р следовательно, т з(В Е) ~(Е)тш(В'Е)' . (31,Гй) Подставляя в уравнение Шредингера ЛФш(з* е) ЕД л, =(НЯ+)')Ч>~6.
Е) функцию фш($. Е) =ехр( — — „НРЕ) ф (Е, Е), получаем уравнение Е в представлении взаимодействия ар..а, Е) (31,13) где Ч =Я(Е)ЧЯ (Е)=ехр(~НРЕ) Чехр( — — „НВЕ~. (31,14) Все операторы в представлении взаимодействия изменяются с течением времени так, что если г †операт представления Шредингера, то оператор представления взаимодействия Р„=ехр( — „Н4) г"ехр( — -~НРЕ~. (31,15) Частным случаем (31,15) является (31,14). Итак, в представлении взаимодействия изменение состояний с течением времени описывается изменяющимися с течением времени функциями и операторами.
Изменение операторов происходит по закону (31,15), или эквивалентному (31,15) урав- вению ДРа 1 и (31,16) которое может быть получено из (31,15) путем дифференцирования по времени. Изменение волновых функций с течением времени определяется уравнением (31,13), иоторое имеет вид уравнения Шредингера, но вместо полного оператора Гамильтона системы стоит оператор взаимодействия. Представление взаимодействия является промежуточным между шредингеровским и гайзенберговским представлениями, Операторы в этом представлении зависят от времени, как операторы гайзенберговского представления для системы с оператором Нз, изменение во времени вектора состояния в представлении взаимодействия обусловлено только оператором взаимодействия.
Кроме рассмотренных выше, существуют и другие способы описания состояний Е~вантовых систем — другие представления состояний и их изменений с течением времени, например пред- унитАРные пРЯОБРАВОВАния з зи 149 ставление вторичного квантования или представление чисел заполнения, с иоторыми мы познакомимся в гл.
Х1Ч и Хтг. г) Различные представлен и я квантового ур а- в н е н и я Л и у в и л л я. Представление, в котором зависимость от времени статистического оператора определяется уравнением Лиувилля в форме (20,6), носит название представления Шредингера. В зтом представлении среднее значение любой динамической переменной А в каждый момент времени определяется равенством где А (1) = ехр ()НОЙ) А ехр ( — гН1(Й) (81,19) — гайзенберговское представление оператора, или в дифференциальной форме' ) гй — „=[А, Н). дА (31,20) Если гамильтониан системы можно представить в виде суммы Н= Но+ Нгае(1), (31,21) где Но не зависит от времени, а Нмг(1) — гамильтониан, характеризующий взаимодействие системы с внешним зависящим от времени полем, то удобно использовать статистический оператор в представлении взаимодействия р(г), который связан со статистическим оператором р(1) в представлении Шредингера соот- ношением (31,22) р (Ф) = ехр ( — гНоЦЙ) р (1) ехр (гНоИЙ).
Подставив (31,22) в (31,17) и используя инвариантность шпура относительно циклической перестановки операторов, легко убедиться в том, что среднее значение (31,!7) выражается через статистический оператор в представлении взаимодействия фор- мулой (А (1)) = 8 р (р (1) А (гг), (31,23) Следует обратнть вннманне на разлнчня в знаке уравненнй (20,6) н (зг, ) 2. (А (1)) = 8р (р (1) А). (31,17) Иногда удобнее пользоваться представлением Гайзенберга, в котором статистический оператор не зависит от времени, а операторы динамических переменных зависят от времени. Для перехода в (31,17) и представлению Гайзенберга надо в правую часть подставить значение (20,7).
Тогда, используя перестановочность операторов под знаиом шпура, находим ~С())=8р(р( ) ((~)) (31,18) элемеитАРнАя теОРия пРедстАелений где А (1) = ехр (1Но(13) А ехр ( — (НДй) (31,24) — оператор в представлении взаимодействия. Чтобы найти уравнение Лиувилля для статистического оператора в представлении взаимодействия, подставим (31,22) в (20,6), тогда получим Ж (Н 1(1), р (1)), где Й~м (1) = ехр (1Но4~3) Нна ехр ( — (Н46) (31,26) — оператор возмущения в представлении взаимодействия.
й 32*. Представление чисел заполнения для гармонического осциллятора (») 2 (» д»о) 2 ( +®' (32,1) где» вЂ” безразмерная переменная, связанная с массой частицы т, циклической частотой а и координатой х соотношением» = = х(тсо/и) '". д Операторы координаты»=» и импульса ф = — 1 — можно д» выразить через два других неэрмитовых оператора (32,2) (32,3) удовлетворяющих перестановочным соотношениям (й, бт) — ййт — боб = 1. Тогда гамильтониан (32,1) принимает вид 2 ( + ) ( +2)' (32,4) (32,5) Знакомство с представлением чисел заполнения мы начнем с исследования одномерного гармоническою осциллятора.
При рассмотрении этого простого примера будут введены понятия, которые используются в представлении чисел заполнения в других случаях. В $ 26 было показано, что гамильтониан гармонического осциллятора можно записать в виде % 34 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 151 Все другие операторы, относящиеся к гармоническому осцилляд тору являются функциями й и — 1 —. поэтому с помо1цью д$ ' (32,2) н (32,3) их можно выразить через операторы д и д». В частности, $ = = (д + д»), — = = (д — д»).
(32,6) )сг ' ай )сг Как было показано в $26, действия операторов д и д» на волновые функции ф„определяются соотношениями дф„= )галф„и д»ф„= Мл+ 1 Ц„»Р Выражения (32,2) и (32,3) определяют неэрмитовы операторы д и й» в координатном представлении. Они действуют на множестве функций ф®, нормированных условием О> ~ ф'(й)ф(й) с(Э; В частности, равенства (32,7) определяют их действие на собственные функции оператора энергии. Указание квантового числа л полностью характеризует стационарное состояние осциллятора. Условимся называть одно- квантовое возбуждение (л = 1) однофононным; двухквантовое — двухфононным и т. д.
Другими словами, каждый квант возбуждения колебаний осциллятора будем называть фононом. Тогда квантовое число л будет определять число фононов в соответствующем состоянии, Все фононы имеют одинаковую энергию. Стационарное состояние полностью определяется указанием числа фононов, поэтому вместо функции ф„(Э) его можно характеризовать функцией, в которой независимой переменной является число фононов. Эту функцию будем кратно обозначать символом 1л). Действие операторов д и д» на эту функцию определяется равенствами д)п)= Уп~ л — 1), д»~ л)=)lл+! ~л+1).
(32,8) Такое представление функций и операторов называется представлением квантоеыя чисел, или чисел заполнения. Операторы а и а» действуют на числа заполнения л (числа фоновое). При этом оператор д уменьшает число фононов на единицу н называется оператором уменьшения числа фононов на единицу или, кратко, оператором уничтожения фазанов. Оператор д» увеличивает число фононов на единицу и называется оператором рождения фононов.
Операторы д н й» полностью определяются соотношениями (32,4) и (32,8). Конкретный вид этих операторов не существен. Используя (32,8), можно показать, что действие оператора Ю=б»й на функцию ~л) сводится к умножению этой функции ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 1гл. Р 152 ( а) = — (бт)" )0). 'г' Я1 (32,9) В представлении чисел заполнения,обычно полагают 10) = 1, тогда функция )п), определяемая (32,9), будет также нормирована к 1.
Основное состояние системы, описываемое функцией )0), часто называют вакуумным состоянием. Вакуумное состояние можно определить условием т. е. оператор уничтожения фононов, действуя на вакучмное состояние, дает О. Энергия вакуумного состояния Ез = /зйы. Итак, представление чисел заполнения соответствует описанию колебаний осциллятора на языке квантов возбуждения— фопонов. Все фононы в этом случае одинаковы, и состояние однозначно определяется указанием числа фононов.
Поэтому волновая функция в представлении чисел заполнения зависит только от одной переменной †чис фононов. .Если в операторе Гамильтона (32,1) заменить операторы й и )21 классическими величинами, то получим гамильтониан классической механики где $ и рз †действительн сопряженные переменные. Перейдем от этих действительных переменных к комплексным переменным 1 . ° 1 а= — ($ — (рт), а = — ф+ 1рт), (32,10) г' 2 $~2 тогда гамильтониан преобразуется к виду Н„„= йваа' йма'а. на п.
Другими словами, оператор числа фононов й в представлении чисел заполнения диагонален и его собственные значения равны числу фононов в данном состоянии. Поскольку оператор Гамильтона (32,5) содержит только оператор й =б~й, то в представлении чисел заполнения этот оператор диагонален, и его собственные значения Е„= эв(л+ 1/з) определяют энергию системы. Если собственная функция основного состояния (состояние без фоновое) в представлении чисел заполнения имеет вид [0), то, последовательно применяя л раз оператор рождения дт, можно получить волновую функцию состояния с п фоионами зал- пРедстАвление чисел зАполнения для осцнллятоРА 153 Переход от классического гамильтониана к квантовому оператору Гамильтона (32,5) соответствует замене в симметризованном гамильтониане и = ~ (~~'+~'~) комплексных величии а и а' операторами й и от, удовлетворяющими перестановочным соотношениям (32,4).
Таким приемом мы сразу получаем оператор Гамильтона в представлении чисел заполнения. Этот переход от классического гамильтониана.' к квантовому носит название вторлчного квантования. Это квантование тождестценно с обычным квантованием, которое делается в координатном представлении при переходе от координат и сопряженных к ним импульсов к соответствующим операторам, Операторы гармонического осциллятора в представлении чисел заполнения можно записать и в виде бесконечных матриц.
Так„ например, неэрмитовы операторы уничтожения и рождения фоновое имеют вид ,О )/1 О О О )/2 О о рз о О о о )/1 О О )2 О о газо В этом представлении ясно видна эрмитова сопряженность опе- раторов б и д". Оператор числа фононов изобрагкается диаго- нальной матрицей О О О Л=бтб= О 1 О О О 2 (32,11) Волновые функции стационарных состояний изображаются ма- трицами, состоящими из одного столбца: о (о и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
