Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Именно, если асимптотические значения 0(со) = 0( — оо) и между ними находится один минимум, то имеется по крайней мере один связанный уровень. Если 0(оо) Ф У( — оо), го связанного сосгояния может ие быть. В случае двух й трех измерений в неглубоких узких ямах может не быть связанных состояний — частица «не захватывается» ямой и совершает инфинитное движение. й 26. Гармонический осциллятор Потенциальная энергия многих физических систем обладает минимумом в некоторой точке пространства. Разлагая потенциальную энергию в ряд по степеням отклонений от этой точки, можно написать г )+ца'и) хк+ (26,1) где х — отклонение от положения равновесия, определяемого усгаи ~ ловием ~ — ~ =О.
Если частица массы р совершает малые ко1дк 1о лебания около положения равновесия,'то в ряду (26,1) можно сохранить только два первых члена. Будем отсчитывать энергию системы от значения 0(0); тогда классическая функция Гамильтона может быть записана в виде + хк рл к (26,2) / д'и '1 где й ~ — „,). Положим далее, что вид потенциальной эиер- 1 дкл )о гни в (26,2) сохраняется и при больших значениях х (идеализация реальной системы). Классическое уравнение движения частицы, описываемой функцией Гамильтона (26,2), имеет простой вид: х(г) = А сов(а1+ р), где м= у'Мр, (26,3) В этом случае говорят, что частица совершает гармонические колебания около положения равновесия, а соответствуюшие системы называют гармоническими осцилляторами. К такому роду движений можно отнести колебания атомов в молекулах и твердых телах, колебания поверхности сферических атомных ядер и др.
Из (26,2) и (26,3) следует, что энергия классических колебаний гармонического осциллятора определяется выражением 4= 2 рА'~'=р"'(хЪм (26.4) 1эа пРОстеЙшие пРименения кВАИТОВОЙ мехАникИ [гл. 1ч т. е. зависит от квадрата амплитуды колебания Л или среднегр значения квадрата отклонения (х')„, Аэ соэз (м( + ()) = —. Определим стационарные состояния гармонического осциллятора методами.квантовой механики. Заменяя в (262) классические величины соответствующими операторами в координатном представлении, получим уравнение Шредингера Перейдем в этом уравнении к безразмерным переменным 5=х ~~ —, е= /рв 2Е (26,5) Тогда получим уравнение второго порядка ( — „, — йз+ в)ф(й) =О.
Подставив значение ф($) о($) екр ( — В./2) в (26,6), находим уравнение длл функции о(5) Ои — 2$о'+( — 1) о =О, где штрих означает дифференцирование по $. Чтобы ф(5) было конечным, необходимо, чгобы решения о представляли собой полиномы конечного порядка относительно й. Такие решения существуют, если е — 1=2п, п=О, 1, 2, ... Каждому значению и соответствует полипом и-го порядка, который называется полиномом Эрмига Н„($) =. ( — 1)" ец — „е 1'.
Нормированные волновые функции стационарных состояний гармонического осциллягора имеют вид ф„($)=1п(2" 3/п1 н„й)ехр( — ет2). (26,1) Используя (26,5), находим значение энергии Е„=йв(п+ Я, (26,8) которому соотвегствуег одна функция (26,1), следовагельно, вырождение отсутствует. Энергия основного состояния Еэ = = аа/2 называегся нулевой энергией. Поскольку потенциальная энергия осциллятора инвариантна относительно преобразования инверсии, то стационарные со- ~ гзгмоннчвскни осцнллятоа стояния подразделяются на четные и нечетные. Все состояния с четными и относятся к четным состояниям. Состояния с нечет- ными и —.к нечетным, их волновые функции меняют знак при преобразовании х — — к. В этом легко убедиться, если выписать явный вид первых полиномов Эрмита Но(Ц=1» Нь(Ц=2$» Нэ($) =аз 2» Нз=8$з !2~ В обшем случае условие четности определяется равенством (26,7). Полиномы Эрмита удовлетворяют простым рекуррент- ным соотношениям: йНий) = пН„, В)+ — ', Ни+, В), л = 2пН„, (в), лггп знание которых полезно при вычислениях.
Вычислим, например, среднее квадратичное отклонение от среднего значения $ в состоянии ф„Д). Среднее значение а) = ~ )Р„(Вй (В =6. » так как под интегралом стоит нечетная функция 5. Поэтому 0» М').=6').= ~ ММ. Ф Используя (26,9), находим »вЂ” 1»~ 2 'г»» ~+ г' 2 'г»»+и (26,11) (26, 12) Применяя это соотношение еще раз, имеем Д~рз($) = — \~п(п — 1) ф„-э+(п + — )ф,+ + — ~(п+ 1) (п+ 2) Ч)»»+з (26,18) Подставляя (26,13) в (26,11) и учитывая ортонормированность функций ~ъ(й), получаем (Р) — и + —, или (хэ)„— (л + — ) —.
(26,14) При написании последнего выражения мы учли (26,5). Из (26,14) следует, что среднее значение квадрата амплигуды нуле-. вых колебаний определяегсн выражением а (х')ч =.— „„. 122 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1ГЛ. 1У При помощи. (26,14) формулу (26,8) можно преобразовать. к виду Е„= ргзх (х')„. (26,15) Сравнивая (26,15) и (26.4), мы видим, что энергия в классической и квантовой теории одинаково выражается через среднее значение квадрата отклонения от положения равновесия.
Пользуясь (26,12) и учитывая ортонормируемость функций ф„, легко вычислить матричные элементы оператора координаты (Фль! Х!фх) (фт!В!фх) ~/ „— ~ га(, 1.1)уь б,„+и Дифференцируя функцию ф„по е и учитывая (26,10), находим ф.=2~/ 2 ф -~ — И ° (26 16) ~-- ~ф+ — /Ф,= 'Р'л ф„ь —,х. ~5 — — /ф =Уп+Тф„+Р 1 1 дт д$ / (26,17) Введем оператор Р1 — — — 1д, который в силу (26,5) связан . д д с оператором импульса дх = — (й — соотношением дх й,=~рймр,. (26,18) Тогда соотношения (26,15) можно записагь в виде йф, = ~л Ф, н й"Ч~„= ~л+ И +ь (26,19) где операторы определены равенствами й = — ~5+ — /= =й+ 4), У2 1 д$/ 3/2 й =- — ~5 — — /= — 5 — Щ.
$~2 1 да/ )х2 (26,20) С помощью (26,19) можно последовательным применением оператора й" получить волновую функцию л-го состояния из Из соотношения (26,16) при учете (26,12) следуют два полезных соотношения ГАРмОническиЙ Осциллятог волновой функции нулевого состояния: ф.==', (а~)" ф,. (26,21) Вид волновой функции фо с точностью до множителя нормировки может быть получен из условия От)з = О, которое следуег из (26,19). Подставляя явный вид оператора й в координатном представлении (26,21), получим дифференциальное уравнение (В+ф)ф (Ц-о, определяющее функции фАЦ) в координатном представлении. Решение этого уравнения имеет простой вид фо ($) = У,в-~'Г'.
Пользуясь (26,20), легко убедиться, что операгоры удовлетворяют перестановочным соотношениям (О, Ф) =1. (26,22) Путем последовательного применения (26,19) можно доказать равенства ййЧЪ =(и+ 1) Ф. (26,23) атаф пф * из которых также следует (26,22). Из (26,23) находим, что собственные значения произведений операгоров ООР и Ото равны соответственно (и+ 1) и и. Следовательно, матрицы этих операторов в своем собственном йред ставлении диагональны'.
(ПП') „= (и + 1) Ь,„„, (дтд)„,„=пб . (26,24) Если использовать (26,24), то легко вычислить собственные значения оператора Гамильтона, получаемого из (26,2) при переходе к операторам. Действительно, при учете (26,5) н (26,13) находим О= — "," 6'+Ф). (26,25) С другой стороны, согласно определению операторов (26,24), имесм Отн + ййт = $з + бз Таким образом, "== 2 6'+Ю-='р" (йй+йй').„—— 6~( +з)б.„=.Е„б~, ИЛИ Е.=й (а+-,'). ГЛАВА У ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ $ 27. Различные представления вектора состояния В ээ 2 и 3 для изображения состояния мы использовали волновую функцию ф„(5, !), являющуюся функцией совокупности координат $ в определенный момент времени й Индексом а у волновой функции обозначают набор значений физических величин или соответствующих квантовых чисел, которые определяют состояние.
В связи с этим индекс а обычно называют индексом состояния. Описание состояния с помощью функции, зависящей от координат (волновой функции), называется координатным представлением. Квадрат модуля нормированной волновой функции координатного представления определяет плотность вероятности обнаружения в данном состоянии определенных значений координат $. Буква $, обозначающая совокупность значений переменных, от которых зависит волновая функция, называется индексом представлен я.
В первых трех параграфах этой главы мы будем исследовать состояния в один определенный момент времени, поэтому время явно не будет указываться. Наряду с ранее использованным обозначением волновой функции ф,($) в координатном представлении будем пользоваться введенным Дираком скобочным обозначением (в)а), т. е. положим ф (в) =(Ца). (27, () Удобство скобочных обозначений проявится о дальнейшем изложении. Согласно Дираху (1Ц любое состояние а квантовой системы можно описать '(независимо от выбора представления) некоторой величиной, которая называется «неть-вектором и обозначается символом ~а). Вследствие принципа суперпозиции ($3) «кет»-веиторы можно складывать. и умножать на комплексные.скалярные величины и получать новые «неть-векторы. Совокупность всех возможных «иет»-венторов образует абстрактное комплексное векторное пространство бесконечного числа измерений, которое называют гильбертовым пространством.
«тп РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 125 ! Ь) =Р! а), (Ь ! = (Р ! а)) = (а ! Рт = (а ! Р. то Названия «бра» и «кет» соответствуют двум частям английского слова Ьгаске1 †скоб, так как скалярное произведение двух «кет»-векторов !а) и !Ь) обозначается скобкой (Ь)а). Оно образуется путем умножения «кет»-вектора )а) на «бра»-вектор, дуальный к «кет»-вектору !Ь). Скалярное произведение (Ь|а) является обычным комплексным числом и удовлетворяет равенству (Ь|а) = (а!Ь) *. Вследствие принципа суперпозиции состояние квантовой системы характеризуется только направлением вектора !а) в гильбертовом пространстве, а не его величиной. Поэтому обычно векторы состояний нормируются к единице *) условием (а!а) = 1. Последнее условие определяет вектор состояния с точностью до фазового множителя ехр(щ) с вещественным ~р, так как векторы !а) и )а)ехр(1тр) имеют одну и ту же длину.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
