Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 18
Текст из файла (страница 18)
изменение длины волны на расстоянии 2л Вх ' — должно быть значительно меньше самой длины волны. Если х 2л обозначить через а характеристические размеры системы, то «В к — —, и неравенство (21,10) переходит в неравенство Х ч," а. 94 сВязь ХВАнтОВОЙ мехАники с клАссическОЙ мехАникоя 1гл. И1 Если условия квазиклассического приближения (21р9) выполняются, то последующие члены в атом ряду значительно меньше предыдущих, и при решении уравнйния (21,5) можно использовать метод последовательных приближений. Подставляя (22,2) в уравнение (21,5) и приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях а, получаем систему связанных уравнений (7оо)Я + 2р (О (г) — Е] = О, 7о( 1((оо + — 'Роо = О, 1 (7о()'+ 27о<7о, + (Рто( О, (22,3) Решая первое уравнение из системы (22,3), можно определить оа(г), затем из второго уравнения определяют о( и т. д.
Обычно ограничиваются учетом оа и оь Для иллюстрации метода вычислений рассмотрим одномерный случай. Тогда систему уравнений (22,3) можно переписать, используя значок штрих для обозначения производной по х, в следующем виде: (о')Я = р~(х), оо ОВ рр рр о, +о, 2о' =— 1 (22,4) 2о' =— г р аВ Таким образом, последовательные приближения о'„о', ...
получаются из нулевого приближения о' *р(х) = ч- 3/21((Š— У (х)) .ь дй (х) (22,5) простым дифференцированием. Из второго уравнения (22,4), в частности, следует о, = — !и у'р+1НС. (22,6) Интегрируя (22,5) по х, определим оо, затем, учитывая (22,6), (22,2) и (22,1), можно написать волновую функцию в квази- классическом приближении, удовлетворяющую уравнению Шредингера с точностью до членов порядка а~, КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Область, где Е ~ (/(х), называется классически допустимой областью движений. В этой области й(х) — действительная функция и вй(х) является импульсом частицы, выраженным функцией от координат.
В этой области волновую функцию (22,7) можно всегда записать в виде волновой функции, зависящей от двух постоянных: .в ф(х) = = з(п " Ф'(х') дх'+ а )Гр (22,7а) (22,8) или Й Х ! х — хь ! ~ — = —, 2Р 4Я ' где Х вЂ” длина волны, соответствующая значению импульса в точке х. Область, где Е в/(х), называется классически недогфстимой областью движений. В этой области й(х) является мнимой Фв в в. и в(*В=вв( ), в»В В=в \ЛрТоя — ц 1 Амплитуда волновой функции (22, 7а) пропорциональна 1/'1~р.
Следовательно, вероятность обнаружения частицы в малом алев менте объема в основном пропорциональна 1/р, т. е. обратно пропорциональна скорости классической частицы. Этот результат отражает закон сохранения вероятности, так как в нашем приближении поток вероятности 1А (х) 1зр(х) = сопз1. Значения хь при которых Е = 0(хв), называются точкани поворота. Они соответствуют тем точкам пространства, в которых классическая частица останавливается, р(хв)= О, а затем движется обратно. Волновая функция (22,7) в области точек поворота становится бесконечной. Эта расходимость связана с тем обстоятельством, что при малых значениях импульса, согласно (21,11), квазиклассическое приближение становится неприменимым.
Пусть хв — точка поворота. Определим расстояние 1х — ха(, на котором еще можно пользоваться квазиклассическим приближением. Разлагая потенциальную энергию в точке х = ха в ряд, можно написать р'=21в(Š— (/(х)) = 2р! — „~ !~ х — ха~. лу Подставляя это значение в (21,11), находим, что квазиклассическое приближение применимо для расстояний от точки поворота, удовлетворяющих неравенству ВВ сВязь кВАнтоВОЙ мехАники с кЛАссическОЙ мехАникон [Гл.!н является уже действительной функцией, можно переписать (22т 1) в виде х а х тр(х)== ехр — [ и(х') дх')+ ' ехр 1 н(х') дх' (22,10) Первое слагаемое в (22, 10) при возрастании х экспоненциально убывает, а второе слагаемое экспоненциально возрастает. Практическое использование этих квазиклассических функций возможно лишь в том случае, когда известна связь осдиллирующего решения с экспоненциальным при переходе через точки пово- Ь' 'lа рота.
В малой области (а,Ь) с протяжением ( „, охватывающей точку поворота, нельзя пользоваться квазиклассичесхим приближением и необходимо решить точное одномерное уравнение Шредингера. Связь между осциллирующим и экспоненциальным решением находится из условий непрерывности перехода экспоненциального решения в точное при х = а и точного решения в осциллирующее пр[[ х = Ь. Примеры использования квазиклассического метода будут даны в двух следующих параграфах.
Рис. 3. даижеиие частицы и одиомериой потеи циаиьиой име. й 23", Правила квантования Бора — Зоммерфельда Вычислим квазиклассическим методом уровни энергии н волновую функцию частицы массы [А, движущейся в одномерной потенциальной яме, вид которой изображен на рис. 3. Потенциальная энергия т Е У(х) такова, что при любой энергии Е ) 11(х)„име- 1 1 ! 1 111 ются только две точки по- УУ ворота, определяемые услои, Ь, Ьа аи х вием У(х,) =0(Х4= Е. Около точки поворота хт выделим область Ьь аь а около точки поворота хг — область Ь„ай, где неприменимо квазиклас'- сическое приближение.
Эти области заштрихованы на рис, 3. В областях Т и П! можно использовать функции квазиклассического приближения (22,!О). Ф рз1 пРАВилА квхнтОВАния ВОРА зоммеРФельдА зт Экспоненциально убывающие в этих областях функции при удалении от точек поворота будут соответственно иметь вид р,[*з р) — 1 з*'~р '). *<,. (зз,В С, 'г'! Ф к рч,(з==,р) — (,[Орр'), >„. рзззр С )г~ И Осциллирующее решение с двумя произвольными постоянными А и а, согласно (22, Уа), можно написать в виде Ф рр= ю (азиз 'з- ), з,(*~ь р2ззр А Как было Указано выше, в областЯх аь Ь| и ам Ьр квазиклассическое приближение неприменимо и надо решать уравнение Шредингера, которое можно записать в виде -„-ф+Ф'ф=О, где йз= Ьнз 1Š— У(х)].
(23,4) Рассмотрим уравнение (23,4) в малой области (аь Ьр). В этой области потенциальную энергию можно разложить в ряд и сохранить только два первых члена разложения 0 (х) = Š— Р (х — хр). Р = ~ ( — „„) з хы Подставляя это выражение в уравнение (23,4), получим уравнение ~ — — „„, + Р(х — х,)1 ф (х — хр) = О. (23,5) Как показано.в З 28, ненормированное решение этого уравнения выражается через функцию Эйри Ф(В): ф(.—.р)-ф(~), где $=( — ") (хр — х).
(23,6) Согласно (22,8), границы области, в которой надо использовать решение уравнения (23, 5), определяются неравенством ~х — х,1~ — ( — г-„— ) ', или ~$~~1. Нас интересуют решения (23,5) только на границах этой области. Следовательно, функцию ф на границах области модно йз сВязь кВАнтоВои мехАники с классииескогг мехАиикой [гл. И! выразить через асимптотические значения функции Эйри при ~1 Ц .2 1. Учитывая (28, 18) и асимптотические значения функций есселя при больших значениях аргумента (см. Мат. дополн, Г), находим ~() -ч, )2 Е я1 (23,У) )$~ пз(п1 — ~ в~я+ ~1, если е 4, — !.
13 41' При х~х~ й(х) "у —,, (Š— 0(х)] = ~, — (х — х,), /гн / гнР следовательно, 2 т', 2 / гии з14) з1/ з' (х й) ) ЬЫ (у х, При х(х, и(х) гг,Г г. ((У (х) — В) = ~ — ( ) 2я / гнр следовательно, — $ ' = — -х 4х/ — (Х, — Х)т = ) И(Р) ЙЦ. 2 ч, 2 /2ИВ з = У з х Итак, решение уравнения (23,5) на границах интервала аь Ь| можно записать в виде  —...(-~.(,;~ 2~/~ р1 — з1п й (у) 4(у + — у границы Ьо 4 $(х) = (23,8) Решение уравнения (23,4) на границах интервала ЬВ ах у второй точки поворота можно получить непосредственно из 423,8), если изменить направление оси х иа обратное и в каче- Сравнивая (23,8) с (23,1) и (23,3), мы видим, что волновая ункция из области ( будет непрерывно переходить в область (, если В А, 2С~=А и а 4' (23,9) = р( — ~ ир'1(.
р р р рр о 2 г'1 р~ — з(п ! й (х') ((х'+ — у границы Ьг. (23,10) Учитывая (23,9), перепишец решение (23,3) в виде х р)ри(х) = — з(п~ „~ й(х')((х'+ —" в ( рь Мр — 8(п .Й(х)'((х + 4 + й(х) р(х' . (23,11) Теперь видно, что решения (23,10) обеспечат плавный переход волновой фчнкции (23, 11) из области П в функцию (23,2) области Ш, если выполняются условия 0=2С=( — 1)аы А й(х')((х' — з =пи, где п=0, 1, 2, рь Если ввести фазовый интеграл фр((ХР=2 ~ р((х по пути от точки хр до хз и обратно'от хр до хь т. е.
интеграл по целому периоду классического движения, то последнее равенство можно переписать в виде ф р((Х=2М(и + — ). (23,12) Равенство (23, 12) определяет В квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу квактования Бора — Зоммерфельда. Вне интервала хь хз функция р)р экспоненциально затухает, внутри же зтого интервала функция (23,13) 4Р 4'йя ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ ВОРА ЗОИМВРФВЛЬДА 99 стае фиксированного предела в интеграле взять хз.
Таким образом, получим ШО связь квлнтовои мвханики с кллссичаскон махкникоп 1гл. пг .~()'4 осциллирует. При этом фаза функции синуса 2 'Й х, Г Если учесть, что р ) — = — есть время прохождения частир 2 цей отрезка хт — хь то можно ввести циклическую частоту периодического движения частицы о = 2п/Т. .Выражая й через эту частоту, находим из (23,13) нормированную функцию квазиклассического движения ф(х)= ь — з!п — ) рбх+— l 2~ив . 1 Г Я яр т( в,) л В качестве простейшего применения квазиклассического метода для определения энергии стационарных состояний рассмотрим гармонический осциллятор, т. е.
систему с потенциальной энеРгией 0(х) =Реьтхз/2. Если обозначить точки повоРота при изменении х от х, до ~~ изменяется, согласно (23, 12), от и/4 до (а+а/4)п, следовательно, функция ф обращается и раз в нуль на этом интервале. Таким образом, квантовое число п в формуле (23,12) определяет число узлов волновой функции в области между точками поворота.
Согласно (22,9), квазиклассическое приближение'справедливо лишь на расстоянии нескольких длин волн от каждой из точек поворота. Поэтому решение (23,13) является хорошим приближением только в том случае, когда между точками поворота укладывается достаточно много длин волн, т, е, Х ~ ха — х,, Другими словами, пользоваться квазиклассическим приближением можно лишь для состояниб, характеризующихся большими значениями' квантового числа и. Интеграл в (23,12) определяет площадь, охватываемую в фазовом пространстве классической траекторией. Из равенства (23,12) следует, что одному состоянию в фазовом пространстве сбответствует площадь 2пе. Поскольку кннзиклассическая функция (23, 13) является быстроосциллирующей функцией, то при определении постоянной й щ условия нормировки функции на отрезке хп хт можно заменить квадрат синуса его средним значением, равным '/т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
