Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 14
Текст из файла (страница 14)
П (16,1) является оператором энергии. Волновые функции фе(Е) соответствуют состояниям системы, в которых энергия имеет определенное значение. Решение уравнения (16,6) может быть записано в явном виде: А (с) = ех р ~ — [Е-з1 . (16,6) В квантовой механике состояния, имеющие определенную энергию, Пазываются стационарными состояниями, Согласно (16,2), (16,4) и (16,6), волновая функция стационарных состояний имеет вид ф(й, г) =фа(е) ехр( — 1Е) (16,7) (Р) ) ф'($, [) Рф 5, [) с[5 = сопз1. Сами физические величины могут иметь определенное значение в стационарных состояниях в тех случаях, когда их операторы коммутируют с О.
г) Вероятность обнаружения определенного значения любой физической величины в стационарном состоянии не зависит от времени. Действительно, вероятность обнаружения значения РА физической величины Р в состоянии ф(е, 1) определяется квад[)атом модуля коэффициента разложения ф по собственным функциям фм Следовательно, 1[7 (РА) =) аз )з = ~ 1 $ ($, г) ф', (ь) аь ~ = сопз1. В силу линейности урайнения Шредингера (!6,1) его общие решения для операторов Й с дискретным спектром могут быть представлены в виде ч, ф (з) -[еэцз В (16,8) Стационарные состояния в квантовой механике обладают рядом особенностей: а) Зависимость волновых функций стационарных состояний системы от времени (16,7) однозначно определяется значением энергии в этом состоянии. б) В стационарных состояниях плотность вероятности и плотность тока вероятности не зависят от времени.
в) В стационарных состояниях среднее значение любой физической величины, оператор которой явно не завысит от времени, является постоянным стхционагныв состояния Если оператор Н имеет непрерывный спектр собственных значений, то Фа б=)ъе %ЩИ.
(16,9) Состояния (16,8) и (16,9) не обладают определенной энергией и не являются поэтому стационарными. Среднее значение энергии в этих состояниях не зависит от времени. Например, в состоянии (16,8) (Е> = ~ ф'а, !) Нф (й, !) (й = '~,') С„) Е„. л Однако плотность вероятности зависит от времени: р($. !)=ф И,()фВ !)= = Х С'„С ф'„Щ ф ($) ехр(Цń— Е )ЦЯ~.
Если неопределенность энергии системы мала по сравнению с ее средним значением, то говорят о квазистационарном состоянии системы. Исследуем времейное изменение квазистационарных систем. Пусть при ! = 0 состояние характеризуется функцией Ч Я, О) = )' Сафа $) г(Е. (16,10) Собственные функции фв(Ц оператора энергии нормированы условием ) тю(з)'л (в) "а й(Е Е)' поэтому величина ) Св)ЯЕ определяет вероятность того, что система имеет энергию, заключенную в интервале Е, Е+ оЕ. Предположим далее, что 1с 1=.~хгтзг4, )1с ~Бе — !, з619 а Параметр а определяет средний разброс энергии около значения Ео ~ е.
Согласно (!6,9), к моменту временй ! волновая функция (16,!О) примет вид Ч'(в, 1) = ) Сифа ($) е-'айЯИЕ. (16,12) Вероятность того, что к моменту времени ! система все еще наХодится в начальном состояния, определяется величиной Яг (~) -) (Ч (й, !) Ч" (й. О)) )'. 72 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЯ О ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. П Подставив значения (16,10) и (16,12), находим )Р'(Т) = ) (Се сГе-сесСАс(Е ехр( — з ). (16,13) При Т = е/е вероятность начального состояния уменьшается в 2,7 раза, поэтому время Т=— (16, 14) называют ерелсенелс жизни начального состояния. В квазистационарном состоянии (е т. Еь) время жизни значительно больше характерного времени системы, равного ЦЕь Из (16,14) следует, что время жизни связано с неопределенностью энергии ЛЕ = е начального состояния простым соотношением ТЛЕ=6.
(!6,15) Если гамильтониан содержит часть, зависящую от времени, напРимеР, Н= Но+ У(Г), то общее решение уравнения (15,1) можно выразить через линейную комбинацию стационарных состояний ф,(Ц оператора Нь с помощью формулы Чс (Е, Т) = ~~'., а„(Т) ср„я). Подставив это выражение в (15,1), находим систему уравнений .сйс) = ~(Е б „+)с (с)),а„, из котоРой, в пРостейшем слУчае К, „= 1сябя, а (О) = С„б следует В заключение этого параграфа рассмотрим вид уравнения Шредингера в различных системах координат. Оператор энергии (гамильтониан) представляет собой сумму операторов потенциальной и кинетической энергии частиц системы. Вид оператора потенциальной энергии системы частиц записывается просто в системах координат, явно отражающих свойства симметрии системы. Удобно и оператор кинетической энергии )~~ ~ ~— — ч й' с 1 — — чс) записать в той же системе координат.
Для этого 2В достаточно знать вид оператора Лапласа одной частицы ~и†= д(ч йтас( в произвольной системе криволинейных координат. Из курса дифференциальной геометрии известно, что если стАционАРныв сОстОяния З м1 73 квадрат элемента длины в такой системе выражается формулой пз = Х Риаз ~ЧН А.Т где Рм — — Рм — произвольные функции дм то оператор Лапласа имеет вид з .-~ ~~~т~ д (РР-! д ) кс (16,16) т(зз = ~ Рзт й)з поэтому (16,17) Частным случаем (16,17) являются дг де д~ — + — + — — декартова система координат, дкг да~ даз — — ~гз †) + — — сферическая система координат, 1 д г д1 А гз дг ~ дг1 гт где 1 в~ м (з)п8 м)+ 1 е д ' 1* В задачах с аксиальной осью симметрии удобно использовать параболические координаты $, ть ~р, определяемые уравне- ниями 1 х = 3/$71 соз ф, у = )/$71 З(п ~р„а = — ($ — 71).
Обратные преобразования имеют вид $=г+ г, 71=г — г, ~р=атс(п ~, г= 1гха+ уз+ гз. Квадрат элементарного отрезка определяется выражением ТЬз = — Ч т(зз + — 11 г(71з + $71 тйрз. Следовательно, оператор Лапласа приобретает вид ~= ~+ ~а ($ д )+ (Ч )1+ д (1616) где 6 — квадратный корень из детерминанта матрицы Рм; РАТ'— элементы матрицы, обратной матрице Ркт. В случае произвольной ортогональной системы координат Рм = Ркбаь б = Р1РТРз, Ркт =Ьм)Рты Следовательно, 74 изменение кВАнтОВых состОянии с течением Вгемени !Ел.
и й 17. Изменение средних значений физических величин с течением времени В предыдущем параграфе было указано, что средние значения физических величин в стационарных состояниях не зависят от времени. Определим, как изменяются средние значения в произвольных состояниях. По определению Следовательно, — ( — = ~~ ф — ф+-~ — Рф+ ф*Р— ~Ж. (17,1) Подставляя из уравйения Шредингера (!5,1) значения производных и используя эрмитовость оператора Н, преобразуем (17,!) к виду = ~ ф" ~ — + —,„(Р, Й) ~ ф (Ц, (17,2) где (Р, Н) = РН вЂ” НР.
вг" Если ввести оператор —, определяемый соотношеннем В1 — = ) ф' — 1фйв в(Р) Г, вр (17,3) то, учитывая (17,2), получаем операторное равенство (!7,4) Из (17,4) следует, что если оператор Р явно не зависит ог времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее значение физической величины Р не изменяется с течением времени в любом состоянии.
Такая величина носит название интеграла квантовых уравнений движения. Применим полученные выше соотношения к координате и импульсу. Для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль оси х. Импульс р, = р и координата х не зависят явно от времени, поэтому производные от операторов, соответствующих этим величинам, согласно (17,4), имеют вид в1 ~71 1р Н1 1н 1й (й' Н1' (17,5) 5 пп изменение сРедних значении с течением ЕРемени 75 Предположим, что состояние движения частицы определяется оператором Гамильтона В' д2 Н= — — + У (х), ЕН дх2 тогда из (17,5) следуют операторные равенства дд дб да д2 дх * дт и (17 6) Ф Взяв производную по времени от обеих частей второго уравнения (17,6) и использовав затем первое уравнение, находим й~Х дО 11 йс= Из этого операторного равенства следует равенство для средних значений: ~„) 2Р'хф2(~= — ) 2Р' — ф х(х.
(17,7) Если волновая функция 2р(х) отлична от нуля в небольшой области пространства около х = (х), то (17,7) допускает упрощение. Вводя новую переменную 5, определяемую равенством . д22 х = х+ $, можно в этом случае разложить производную дх в ряд д0 И/(к) + дЧI (х) + 1 дЧУ (х) з + дх дх дх2 2 'дх' (17,8) где использованы обозначения ==) 1 и т. д. дг2(х) г д22 (х + е)т дх ) д$ Подставляя (17,8) в (!7,7), получаем д д ди(Е) ) д'и (х) — — „. ((бх)~+ ... Если выполняется условие (17,10) то (17,8) сводится к классическому уравнению Ньютона для движения центра волнового пакета, если предположить, что в нем сосредоточена вся масса частицы. Неравенство (17,10) выполняется тем лучше, чем более плавно изменяется потенциал при изменении х и чем меньше пространственное протяжение волнового пакета.
Однако малые значения ((Ьх)з) из-за соотношения неопределенностей приводят к большим неопределенностям в значении импульса, т. е. к существенному нарушению классического понятия импульса и кинетической энергии 78 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИИ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 1ГЛ. Н частицы. Для приближенной применимости классических представлений о движении частицы необходимо, чтобы наряду с неравенством (17,10) выполнялось равенство (17,!! ) Чтобы выполнялось (17,!1).
необходимо выполнение неравенства ((Р)' ((АР) ) В (! 7,12) 2м 2н вм ((Ьх)~) Одновременное выполнение неравенств (17,10) и (17,12) возможно при движении частиц с большими импульсами в плавно меняющихся внешних полях. Уравнение (17,4) позволяет найти весьма общую связь между средними значениями кинетической и потенциальной энергии частицы, движущейся в ограниченном объеме пространства. Действительно, для движения, ограниченного некоторой областью пространства, производная по времени от среднего значения скалярного произведения (гр) должна равняться нулю, т. е. — ((гр)) = О.
(17,13) Пусть Н=-'~-+ У(г), тогда, согласно (17,4), имеем операторное 2м равенство З-(гр) = — „1(гр), Й]= 2Т вЂ” (гйтад У), где Т= — — оператор кинетической энергии. Полученное опе- Р' 2м раторное равенство соответствует, согласно (17,3), равенству средних значений 1 ((гр)) = 2 (Т;1 — ((г втаб У)). Учитывая (17,13), имеем окончательно 2 (Т) = ((г пгад Ъ')). (17,14) Если потенциальная энергия пропорциональна г", то (г пгад У) = л(Р') и равенство (17,!4) принимает простой вид 2 (Т) = и (Ъ'). (17,15) Соотношения (!7,!4) и (17,15) можно назвать квантовой вириальной теоремой, так как оно по форме совпадает с вириальной теоремой классической механики, определяющей соотношение между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергии системы.
$ Щ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 77 5 18*. Интегралы движения и условия симметрии Как было показано в ~ 16, интегралом движения, т. е. величиной,среднеезначение которой не меняется с течением времени в любом состоянии, является физическая величина, оператор которой явно не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона данной системы. Напомним, что в классической механике интегралом уравнений движения принято называть такую функцию координат и импульсов, которая остается постоянной при любых начальных условиях. Знание интегралов движения позволяет сформулировать соответствующие законы сохранения, имеющие большое значение для понимания физических свойств изучаемых явлений.
Покажем, что наличие интегралов движения и соответствующих законов сохранения тесно связано со свойствами симметрии квантовомеханических систем, т. е. с инвариантностью оператора Гамильтона относительно тех или иных преобразований координат. Прежде чем переходить к рассмотрению отдельных примеров, исследуем, хан преобразуются волновые фуннции квантовой механики при преобразованиях координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
