Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 28
Текст из файла (страница 28)
элементАРнхя теОРия НРедстхвяеннй 1гЛ. н В представлении чисел заполнения легко вычислять средние значения в состояниях [и) любых функций от координат и импульсов. Например, учитывая равенства ( д )А(й.~+й) й,(1идм)А(й имеем (и ) Х ) и) = (и ) ~,! и) = О, (и [йх [и) = ~ — „) (и [ йРй + йй" [ = —" (и'Фх[и)=шЕп' Ею=им(и+ 2)' (и [Х")и)=3 ( — ) [1+2и(и+ 1)) и т. д. Из этих равенств, в частности, следует (и [(йх)А [и) (и [(Лр„)А [и) = (и + — ) —. Уже в первой работе по квантованию электромагнитного поля Дирак [13) предложил ввести для операторов рождения а" и уничтожения а представление фазовой переменной с помощью преобразования а=а*" [Я, аг= ~ЛЕ-"~, (32,12) где й=аРа — эрмитов оператор числа частиц.
Здесь и далее значок над операторами а и аР опускается. ф — эрмитов оператор фазы. Однако, как показали Сусскинд и Глостер [14), введение эрмитова оператора ф приводит к противоречию. Действительно, если верно (32,12), то должно выполняться соотношение [е'Р, й) =е"', или [й, ф) =ю'.
(32,!3) Тогда следовало бы (см. 5 13) соотношение неопределенностей 4 ((Лф)х) ((Ьи)А) » )1. (32,14) Легко, однако, убедиться, что соотношение (32,13) приводит к противоречию. Возьмем от (32,13) матричный элемент на функциях [и) оператора Й, тогда (и' — и) (и'! ф! и) = 1бФ . Следовательно, при и'Фи (и'[ф[и) = О, т. е.
оператор ф диагонален одновременно с й, но тогда они коммутируют, что противоречит (32,13). Это противоречие связано с тем, что эрмитов оператор ф не существует. Оператор числа частиц й в представлении фазовой переменной имеет вид й=1 —.
Он действует дф ' 4 М1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА Щ в пространстве функцрй, удовлетворяющих условию периодич- ности ф (ф) =ф(ф+2 ). (32,15) и имеет собственныефункции ф„(ф) = (2н)-че-1"я и собственные значения О, 2, 3, ... Оператор ф = ф ие определен на простран. стае функций (32,15), так как его умножение на ф(ф) приводит к функциям, не удовлетворяющим условию (32,15). В простпанстве функций (32,!5) определены, например, операторы Ф= =ехр((ф) и Ф~=ехр( — 1ф). Однако они не унитарны.
В самом деле, если записать (32,12) в виде а=Ф 3lг1, а"=.)ЯФ, то можно показать (15), что ! л — 1), если л чь О, О, если а=О. 11 - . д О =пм !л+ з) =тга1.„1-А= — 13 А а оператор числа частиц 1 й=1Š— —. 2' (32, 16) Оба оператора определены на пространстве функций, удовлетворяющих условию ф(ф) = — ф(ф+2П), и имеют собственные функции ф А —— (2я) ехр1551Л+ — 1ф~,' (ф„„=Лф„м Л=~1. Из (32,!6) находим (( .) ) =(( .) ) — (.> =(е.) — (( >+О. Учитывая равенство ((ь(Я =(٠— (А.,), имеем ((и.,)~) 1 12 =((Ьл) >+ !(П) + ~) — (5,)э.
Подставив это значение в соотношение неопределенностей (13,8), получаем соотношение неопределенностей для числа частиц и фазы «йф)') Г«")>+1(">+,) ('>1- 4 Г! — „, «ф)'>1 ° Следовательно, (О)Ф~Ф10) = О, что противоречит условию унитарности. В работе, Файна (16) отмечается, что в переменных п, ф энергия осциллятора вырождена по знаку ф, поэтому его состояние следует характеризовать ие только значением энергии, но и знаком ф (знаком вращения).
Знаку вращения сопоставляется оператор 1 (Р = 1), коммутирующий с гамильтонианом. Тогда гамильтониан следует выбрать в виде ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [гл. и Перейдем к исследованию так называемых коиерентных состоинай осциллиторае) [18). В этих состояниях соотношение неопределенностеи для координаты и импульса имеет наименьшее значение, равное н94. Как было показано в 5 !3, такие состояния в координатном представлении характеризуются функцией ф. (х)=(2я(Рх))) ~е р1 4([Ах)т) + ~~А ~. (32,17) Найдем разложение (32,17) по собственным функциям стационарных состояний осциллятора ф„(х) (х) = Х Аотр„(х), (32,18) тогда (см.
118)) [ А„р = — "'„,, где а =. — '',„~до+ о'хот11 — среднее число фононов в состоянии (32,17). Когерентные состояния можно также определить [Щ как собственные состояния неэрмитового оператора уничтожения фононов, т. е. Еак решения уравнения а! Р) = [! [Й (32,!9) где р — некоторое 'комплексное число. Если ввести унитарный оператор Уф) = [тт( — р) =ехр(ра" — р а), (32,20) то собственные функции уравнения (32,19) определяются равен- ством ) Р) =ив))0). Действительно, учитывая тождество аиЕ)=ив(а+()), (32, 21) (32,22) имеем тогда А.=(п) [1) =(а [иа [0) = — "„", ехр1- з [р[') При вычислении А„мы использовали выражение уф) =ехр( — з [ р [т)ехрфа") ехрф*а), *) Когерентные состояния впервые рассматривались Шредингером [17). а[р) =аУ(р) [О).
У(р)(а+р) [0)=р)()). Разложим когерентное состояние [[!) по собственным функциям осциллятора, т. е. положим ) [!) =:.~ А„)л), (32,23) которое следует из тождества Вейля*) 119) — (А, В1 1 ехр(А+В)=е в ' ехрА*ехрВ, (32,24) справедливого для любых операторов, удовлетворяюп(их равен- ствам (А, (А, В)) =(В, (А, В)) =О. легко убедиться, что (32,23) совпадает е найденным ранее (32,18) выражением функции когерентного состояния, если л =Ю'. (32,25) Вычисление средних значений в когерентных состояниях (32,21) ет любых операторов, п~едставленных в виде упорядоченных полиномов операторов а и а (операторы рождения должны стоять слева от операторов уничтожения), сводится к простой замене оператора а на р и оператора ат на [)'. Например, ([) [«[[)) =)/ — ([1 [от+ а [р) =1/ — (р'+ р), Ф!рк[Р7=1'1/ 2 В[а' — а[и)=11/ 2 ([)' — Р).
(~(+2) ') Простое доказательство тождества Вейля предложил Глаубер Пусть А н  — операторы, удовлетворяющие условию [А, [А, ВЦ=[В, [А, ВЦ=О. (а) Рассмотрим функпню г" (х) е е ". Имеем — = (А+ ел"Ве А("1) г" (х). о'х Учитывая (а), получим [В, А") = лА" ' [В, А), (о) (в) следовательно, ха [В, е Ах) 'т ( ) [В Ал] е-Ак [В А[ х я( н дифференциальное уравнение (в) принимает внд — =(А+ В+ [А, В) х) Р(х). о'г" ох Его реюенне, прн учете (а) н условия Е (0) = 1, Р(х) ехр[(А+ В) х]ехр 1 — [А, В1 хх). 71 12 Из (г) прн х=1 получаем тождество (32,24) (г) з 321 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 157 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ~гл.
ч Из последнего равенства следует, что средняя энергия в ко- герентных состояниях может принимать произвольное значение, так как ) р) з — любое положительное число. Далее, 6)АЭ!Р) з [Ф + Р)~+ 1) ° Следовательно, ((бх)') = Ф Ф ) [1) — Ф) х) [1)' иглы. (32,26) Таким же образом получаем ((4 )') (32,27) С помощью (32,26) и (32,27) находим соотношение неопределенностей для когерентных состояний (Рх) )кот Ырх)т)т = 3 ~4. Как было показано Глаубером [20), Сударшаном и Мета [21, 22[, когерентные состояния очень удобны при квантовомеханическом описании когерентных источников света.
Эти состояния также использовались для описания сверхпроводимости и сверхтекучести [23) и для описания фононов в кристаллах [24). Когерентные состояния )[1) как собственные функции неэрмитового оператора уничтожения фононов не ортогональны друг другу, однако они обладают условием полноты, т. е. произвольное состояние можно разложить по состояниям [р) (подробнее об этом см. [25, 26)). Весьма интересно, что, в то время как оператор уничтожения имеет собственные функции, у оператора рождения а" таких функций нет. Доказательство этого важного утверждения можно провести от противного.
Допустим, что имеет место равенство а"! у) =у)у). (32,28) Тогда с помощью собственных функций )л) осциллятора можно образовать систему уравнений (л ) а+ [у) = у(п ) у), из которых следует О=у(0)у), (32,29) (а — 1 ) у) = у (л ) у), если л чь О. (32,30) Если у = О, то из (32,30) находим. (а [у) = 0 при всех л. Если у чь О, то из (32,29) следует (0)у) = О, поэтому равенство (3230) дает (л[у) = 0 при л = 1, 2, ... Таким .образом, показано, что в (32,28) [у) — = О.
В заключение покажем, как выражается когерентное состояние осциллятора через матрицу плотности. Для гармонического 4 ЗЗ1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ КОЛЕБАНИИ АТОМОВ 1ХЕ осциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии с термостатом нри температуре 6 = йТ, матрица плотности в координатном представлении, согласно (14,18), имеет вид р(х, х') = ~ 1(г„~р„(х) ф (х'), где ехр ( — — ") ехр ( — — ) )р'— (32,31) ( Ее) 1 — ехр( — — ) Следовательно, статистический оператор можно записать в виде р= 2'.~ йг,)п)(п ~. Чистое состояние )и) осциллятора получается из (32,32) при )(7„= б„„.
Когерентное состояние осциллятора определяется формулой (32,32), если )Р' задано распределением Пуассона, т. е. )Р'„=й"е.-х(п1) . Тогда среднее число фононов в когерентном состоянии (Д) = Вр (др) = й. (32,32) й 33". Представление чисел заполнения для колебаний атомов -в одномерном кристалле а=па, п=1, 2, ..., У. (33,1) Направим ось х вдоль вектора а и обозначим через х смещение из равновесного положения атома, занимающего узел и.
При учете взаимодействия только соседних атомов потенциальная н кинетическая энергии колебаний атомов имеют вид У=~~ ~~(хе — хе )', К з,'у'х„', е В (33,2) Исследование квантовых систем в представлении чисел заполнения часто называют методом вторичного квантования. В действительности, как увидим ниже, никакого вторичного квантования не происходит и это название следует понимать в условном смысле. Для более полного знакомства с представлением чисел заполнения рассмотрим колебания атомов в одномерном кристалле. Пусть кристалл состоит из одинаковых нейтральных атомов массы гп, равновесные положения которых определяются век- тором элемент«РНАЯ теогия пгедстхвлений 1ао !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
