Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ниже приводятся некоторые из них; (р/ = — (Зла — 1(1+ 1)], (рт/= —,(5па+ 1 — 31(1+ 1)). 9==' 9>= ( —,')= (38,17д) ( 2) Из (38,17в) в частности, следует, что при учете (38,15) среднее значение потенциальной энергии электрона в нулоновсиом поле равно удвоенному значению полной энергии (я атомных единицах) ~и~ ~ 2~ Я Еа р и' эзя двнжанна в кэлоиовском пола„напгаэывныи спвктэ 1щ й 39.
Движение в кулоновском поле. 1(епрерывный спектр Перейдем к исследованию стационарных состояний движения электрона в кулоновском поле (38,1) при положительной энергии Фз=2е~О, (39,1) тогда уравнение (38,8) для функции В(р) примет вид Асимптотическое значение при р-+ со функции Р(р) Ае'~+ Ве ма остается конечным при любых значениях й и отличных от нуля значениях Л и В. Следовательно, собственные значения энергии при а ~ О соответствуют непрерывному спектру. Асимптотическое значение Я(р) при р- О должно определяться так же, как и в случае отрицательных энергий В(р) = рн' Таким образом, решение (39,2) можно искать в виде Р(р) =е=~~ррыл Х й,р . (39,3) (39,2) Подставляя (39,3) в (39,2) и приравнивая нулю коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях р, находим рекуррентное соотношение хВ( +1+Па — г) р.
с +ю+ п +ю+ 1 — 1(г+ ) р"' (394) При больших значениях ч 2И (2ии) + Р+и= (т+14.Э) р (т4 Г4-Х)~ рэ. Следовательно, ряд (39,3) всегда сходится. Преобразуем (39,4) к виду . 2И [т+ 1+ ! — —. хт и) ' ~~+~ 1 + ~)( + э1+ тогда, подставляя это значение в (39,3), можно выразить функцию Я(р) через вырожденную гипергеомегрическую функцию Яы(р) =а*'~р'+Т(1+ 1 ~ —, 21+ 2, т- 21йр);- (39,5) 2 Полученные результаты легко обобщить на случай движения в кулоновском поле отталкивания, например для движения 182 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 1ГЛ, У! позитрона в поле ядра.
В этом случае полная энергия частицы может быть только положительной. Стационарные состояния движения с определенной 1 2 энергией е= — й2 (в атомных единицах) и определенным орбитальным моментом выражаются линейной комбинацией волновых функций, радиальные части которых выражаются формулой й22(р) =е™р'+'Г [1+ 1 т- —, 21+ 2, т 21йр), (39,6) которая получается из (39,5) изменением знака у Я.
Радиальные 'функции (39,6) можно использовать и для описания движения'протона с энергией Е и определенным орбитальным моментом 1 в поле ядра, если положить Ме2 и /2Е (39,7) где М вЂ” масса протона. 9 40е. Оператор момента количества движения В предыдущих параграфах этой главы мы видели, что во всех центрапьно-симметричных полях стационарные состояния можно характеризовать определенными значениями квадрата момента количества движения и его проекции на одно из направлений в пространстве. В связи с этим представляет интерес исследовать более подробно свойства этих операторов. В общем случае оператором момента количества движения, или, кратко, оператором момента называется вектор Х, декартовы коордйнаты которого Х2(ю' = х, у, е или 1, 2, 3) являются эрмитовыми операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям [Х„, Ху) = 1ЕХе, [Ху, Х,) = 1ЕХ„, [Х„Х„! = аХР.
(40,1) Частным случаем оператора момента Х является оператор ор. битального или углового момента Х=Х-[тХр). В дальнейшем мы познакомимся с операторами моментов, не выражающимися непосредственно через операторы координат и импульсов. Введем оператор квадрата момента 2 2 2 2 = Хе+ Ху+ Хе. (40,2) ОПЕРАТОР МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 183 % 401 (40,4) ~Р1,„=) ХЛ1), то, следовательно, должны удовлетворяться уравнения Х~) Хт) = Х1) рп), Х ) Хт) = Ьт) Хт).
Введем вспомогательный неэрмитов оператор Х.„= —. (Х„+ ХХ ),' Х+ = =-(Մ— ХХ,,). (40,5) (40,6) (40,7) Тогда из (40,1) и (40,3) следуют перестановочные соотношения (Р, Х+)=О, (40,8) (Х„Х,) =Ы+, (40,9) [Х„ХЦ =3Х,. (40, 10) Из (40,5) — (40,10) следует, что операторы (40,7) имеют диагональные матричные элементы по квантовому числу Х. Оператор ХР увеличивает, а оператор Х+ уменьшает квантовое число гп на единицу.
Квантовые числа, определяющие собственные значения оператора Х, в уравнении (40,6) пробегают отличающиеся на единицу значения, лежащие в интервале — Х((т ~~Х. (40,11) Неравенство (40,11) для чисел т, отличающихся друг от друга на 1, будет выполняться при условии, что 21 является целым положительным числом. Следовательно, возможные значения определяются либо целыми положительными числами, либо полуцелыми положительными числами, т. е. Х О, 1, 2, ..., (40,12) либо (40,13) 1 3 5 2' 2* 3' Тогда, используя (40,1), находим, что (Хз, Х1)=0, )=х, у, е. (40,3) Из перестановочйых соотношений (40,1) и (40,3) следует, что одновременно определенные значения могут иметь квадрат момента и одна из его проекций.
Примем в качестве этой проекции Х,. Волновые функции таких состояний являются одновременно собственными функциями операторов Хз и Х,, Если обозначить эти функции через 184 движение частицы в поле центехльных сил 1гл, ш л Отличными от нуля матричными элементами операторов Х+ "Ф и Х+ являются (у,т+1)Х )у )=(у )Х"+и +1)- = — ф~(у — т) Д+ т+ 1). (40,14) Зная отличные от нуля матричные элементы (40,14), легко вычислить и матричные элементы операторов Х„, Х„. Используя равенства Х„= = (Х+ + Х +), Х„= (Х~+ — Х+), (40,15) находим (у, т ~ 1) Х, ! Хту = — (у Ф т) (у ~ т+ 1), (40,16) (у, т ~ 1 ) Х„) Хт) — ~- — ')Х(у ч- и) (у ~ т+ 1). Матричные элементы '(40,14) и (40,16) определены с точностью до фазового множителя.
Эта неопределенность не сказывается на физических результатах в силу. ннвариангностн физических следствий квантовой теории относительно фазового преобразования функций и операторов (см. $ 30). Согласно (40,2) и (40,7), имеем Х =Х, +(Х+Х++ Х+Х+). Поэтому, учитывая (40,6) и (40,!4), находим + 2 ну )~+ + )+ +(у — и+ 1)0+ и))~=й'у(у+1), Таким образом, собственные значения оператора квадрата момента определяются квантовыми числами у с помощью формулы Х,'= Д'У(У+ !).
(40, !У) Приведенные выше формулы применимы ко всем операторам моментов, удовлетворяющим перестановочным соотношениям (40,1) независимо от явного вида операторов. В частном случае оператора орбитального (или углового) момента, определяемого через операторы координаты и импульса формулой Х=Х =(г Хр), собственные значения квадрата оператора (см. $8) выражаются через значения орбитального квантового числа У, пробегающего сложение дВух моментоВ кОличестВА движения !8$ $4!! только целые значения О, 1, ..., т.
е. реализуется случай Х.з=йз((1+1), 1=0, 1, 2, ... В этом случае собственные функции оператора углового момента в координатном представлении совпадают со сферическими функциями от полярных углов р, =!!т)=у,„(Е, р). В последующих главах мы познакомимся с другими операторами моментов, для которых 1 принимает только полуцелые значения, т. е.
реализуется случай (40,13). з 41. Векторное сложение двух моментов количества движения Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, состояние которых определяется соответственно моментами Х(1) и Х(2). Допустим далее, что операторы проекций этих моменгов коммутируют, т. е.
[Х4(1), ХА(2)]=0, 1, й= 1, 2, 3. (41,1) и их проекции на одну из осей координат, которую мы примем за ось вт Х,(1) = йти Х,(2) = йт . (41,3) Такие состояния опиСываются волновыми функциями (У,т,йтт)=!),т,)! 1зт,), (41,4) представляющими произведение собственных функций каждого из операторов в отдельности. При фиксированных 14 и 1з имеется (214 + 1) (21х + 1) различных функций (41,4), отличающихся значениями пары чисел т4 и тр, Определим теперь оператор Х=Х(1)+Х(2).
(41,5) Поскольку проекции каждого из операторов правой части (41,5) удовлетворяют пересгановочным соотношениям (40,1), то легко убедиться, что тем же перестановочным соотношениям удовлетворяют и проекции оператора (41,5). Будем называть оператор (41,5) оператором полного момента системы. Тогда полная система может находиться в состояниях, в которых одновременно имеют определенное значение квадраты моментов Хз(1) = йз1~ (1~ + 1), Хз(2) = й4)1()~+ 1) (41,2) !86 двищниа частицы в поле цвитильных сил [гл.
гл Легко убедиться, что волновые функции (41,4) являются собственными функциями оператора проекции полного момента Х, = Х, (1) + Х, (2), (41,6) соответствующими собственному значению Х, = йт = й (т ~ + тз). (41,7) Оператор квадрата полного момента Ха=Ха(1) + Хк(2) + 2Х(1) Х(2) (41,8) коммутнрует с операторами хз(!) н ха(2, следовательно, квадрат полного момента может иметь определенное значение одновременно с квадратами моментов каждой из подсистем. Однако функции (41,4) не являются собственными функциями оператора (41,8), так как третье слагаемое в (41,8) будет смешивать состояния, отличающиеся по тг и та на единицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
