Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В табл. 7 приведены явные выражения нескольких радиаль ных функций стационарных состояний осцилляторной ямы. Согласно табл. б, стационарные состояния, начиная со второго, многократно вырождены. Например; 'уровень- энергии поэтому Л = О, 1, 2, ... можно назвать главным квантовым числом. Каждое значение Л н 2 может осуществляться несколькими комбинациями значений и и /, следовательно, энергетические уровни (37,11) со значениями Л) 2 являются вырожденными. Для обозначения стационарных сосгояний в сферической осцилляторной яме ' используются буквенные обозначения з, р, г/, ..., соответствующие значениям / = О, 1, ...
Перед буквой ставится число, превышающее на единицу значение и, определяющее степень многочлена г относительно переменной $а. Так, например, состоянию 1з соответствуют л = / = О, состоянию 1р соответствуют и О, 1 = 1 и т. д. В табл. 6 приведены значения энергии первых стационарных состояний в сферической осцилляторной яме и соответствующие квантовые числа. 174 движение чхстицы в поле центРАльных сил [Гл, м! Таблица 7 Радиальные волновые функцвн сферического осцнллнтора 7 Е,= — лм шестикратно вырожден. В одном из этих шести со- 2 стояний угловой момент равен нулю (з-состояние), остальные пять состояний относятся и с1-состояниям. Они различаются между собой значениями проекций углового момента. Пятикратное вырождение с)-состояний является результатом сферической симметрии потенциального поля.
Вырождение, благодаря которому з-состояние имеет энергию, совпадающую с д-состояниями, является «случайным». Оно обусловлено не симметрией задачи, а квадратичной зависимостью потенциальной энергии (37,1) от радиуса. Если потенциальная энергия отличается от (37,1), на. пример, членом 6»4, то вырождение, связанное со сферической симметрией, сохранится, а случайное вырождение будет отсутствовать„ л!и л <н ! $ ч! Состояние (ч + !! ! 2 ехр ( — Еа)2) — 5 ехр( — $е/2) 3 ) — ! $! — — 7! ехр (-$х/2) 3'! 2! — 1! е хр ( — ех)2) !а В уравнении Шредингера с потенциальной энергией (37,15) пе- ременные разделяются и задача сводится и трем независимым осцилляторам. Если ввести безразмерные переменные $ )/ — х, т) ~/ "~~ р, Ь= )/фа, го, используя результаты $26, легко показатц что энергия системы выражается формулой 3) Е„„= йсо (ал + пе + и + 2 ) (37,16) Систему с потенциальной энергией (37,1) можно рассматривать кан трехмерный гармонический осциллятор (7(г) =В~ = — Я2"' (х'+ р'+ ').
ф зи яма с квхдглтичнои зависимостью от гхдигсл 175 где и„, а„, п,=О, 1, 2, ..., а волновые функции 4 „л„з,(хИ) =фл„6) Ч „(Ч) ф,,й). (37,17) Сравнивая (37,16) с (37,11), мы убедимся, что энергии совпадают при Л 2а+1= пв+ пи+ п~ О, 1, 2, ... Волновые функции, соответствующие каждой тройке чисел и, п, п„имеющих сумму, равную Л, относятся к одному энергетическому уров 7 ню. В частности, уровню с Л = 2 (Š— Ьм) соответствуют 2 шесть различных состояний (37,17), которые характеризуются наборами квантовых чисел п~2 0 0 1 1 0 па~О 2 0 1 0 1 я~~О О 2 О 1 1 В общем случае кратность вырождения уровня с определен- ным значением 1 равна Чз(Л+ 1) (Л+ 2).
Вырождение уровней с разным 1 («случайное вырождениеъ) в трехмерном гармоническом осцилляторе связано с тем, что уравнение Шредингера (37,2) допускает разделение переменных как в прямоугольной, так и в сферической системе координат, следовательно, оно инвариантно относительно группы преобра- зований, более широкой, нежели группа трехмерных вращений. В этом легко убедиться, если записать уравнение Шредингера с потенциалом (37,15) в представлении чисел заполнения Н=ЬО(:»; п,щ+з(, (37, 18) М ! где а~ и а~ — операторы рождения и 'уничтожения возбужде- Ф ний, удовлетворяющие перестановочным соотношениям )а~ а~г1=би.
(аь а4 О. Гамильтониан (37,18) инвариантен относительно преобразования операторов 3 з аЮ=~а;= ~ ииаи Х ициЦ Ьп,' / ! г~! осуществляемого унитарными матрицами (ии) третьего порядка (группа У(3)). Обычная группа вращений — группа 30(3)— содержится в У(3) в качестве подгруппы. [78 движение чАстицы В пОле центРАльных.сил [гл. т! $ 38. Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр Эта задача имеет большое значение в теории атон!а водорода (л = 1) и других многократно ионизированных атомов (Не+, !.!++ и т. д.), содержащих один электрон, так как потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром может быть представлена формулой вида (38,1) для всех расстояний, превышающих радиус ядра. На меньших расстояниях (внутри ядра) энергия взаимодействия электрона с ядром не выражается кулоновским законом (38,1), е стремится к конечному пределу при г О.
Вследствие малости радиуса ядра по сравнению с размерами атома отличие реальной энергии взаимодействия ог (38,1) можно в первом приближении не учитывать. В этом параграфе мы исследуем движение электрона в поле (38,1) без учета релятивистских эффектов. Они будут рассмотрены в гл. У!!!. Стационарные состояния движения электрона в кулоновском поле с определенным значением орбитального момента определяются уравнением Шредингера *) для радиальной волновой функции !т(г) г!(г) л'й + ~ 2ре + 2пе [([+ П ~ Удобно в уравнении (38,2) перейти к безразмерным перемен.
ным. Для этого введем атомную единицу длины — боровский радиус а = †, = 5,292 10 см, 82 -9 (38,3) и атомную единицу энергии е' ре' Е„= — = !', = 27,21 эВ. (38,4) Переходя к безразмерным величинам г Е р= —, в= —, о' Ев (38,5) ') Уравнение (88,2) написано в предположении, что ядро атома является неподвижным. В действительности н влектрон н ядро атома двнжутся вокруг нх общего центра ннерцнн. Чтобы учесть движение ядра атома, достаточно в уравненнн (38,2) заменять массу влектрона р приведенной массой Мр и' где М вЂ” масса ядра атома, М+и' Исследуем движение электрона в кулоновском поле с потенциальной энергией Лет Е/ (г) = — — —.
(38,1) движение в келоновском пола, днскувтныи спвхте ~тт преобразуем уравнение (38,2) к виду Поскольку потенциальная энергия (38,1) выбрана так, что она равна нулю на бесконечном расстоянии, связанные состояния будут соответствовать отрицательным значениям полной энергии.
При з О удобно ввести положительную величину а такую, чтобы (38,6) аз =. — 2е ) О. (38,Т) Тогда уравнение (38,6) принимает вид ~ — „, — а'+ — — —,— ~ Р(р) =О. (38,8) 2 2 ~(~+ 1) Исследуем решение уравнения (38,8) для больших значений р. При р -+ оо в уравнении (38,8) можно пренебречь двумя последними слагаемыми. Таким образом, асимптотическое решение (38,8) при р- оо должно иметь вид Я(р) Ае 'Р+Ве Р, р-~оо. где функцию Р(р) представим в виде степенного ряда 1 (Р) =Р Х ВъР".
(38,10) Для определения асимптотического поведения Р(р) при малых р подставим (38,9) в уравнение (38,8), сохраняя члены с наименьшими степенями р. Тогда получим уравнение, определяющее у, у (у — 1) =1(1+ 1), из которого следует 1+1, у= Чтобы Я(р) стремилось к нулю при р-+О, надо взять только одно решение у = 1+ 1. Итак, решение, удовлетворяющее граничным условиям в нуле и в бесконечности, можно искать в виде в В (р) = е-'ерч ы Х 6,р . (38,11) у з Поскольку волновая функция на бесконечных расстояниях не может стремиться к бесконечности,. надо положить В = О. Следовательно, решение уравнения (38,8) можно искать в виде й(р) е '~'Р(р), (38,9) 178 движение чАстицы в поле центтальных сил (гл.
Ч! Подставляя (38,11) в уравнение (38,8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получим рекуррентное соот. ношение 2 [а (ч + 1+ 1) — 21 [)чы (и+1+2)( +1+1) — 1(1+1) рч, (38,12) позволяющее выразить последовательно все коэффициенты степенного ряда (38,10) через значение ре, которое определится из условия нормировки функции. Условие, чтобы степенной ряд (38,10) обрывался ') на члене с ч = па согласно (38,12), сводится к требованию а (п, + [+ 1) = л. (38, 13) Вспоминая определение (38,7), находим значение энергии в атомных единицах аг г 2 2(~~+ 1+ 1)~ (38,14) Величина п = и, + 1+ 1 называется главньгм квантовым числом, так как она определяет значение энергии стационарных состояний е= — —,.
(38,15) Поскольку Л„1= О, 1, 2, ..., то главное квантовое число пробегает положительные значения, начиная с 1. Энергия зависит только от главного квантового числа, т. е. от суммы кванговых чисел л„ и й Состояния с определенной энергией и определенным моментом обозначаются кратко через п[, при этом вместо числа 1 пишется соответствующая латинская буква (см. ~ 34). При п = 1 имеется одно состояние 1з; при й = 2 имеется два состояния 2з и 2р, из которых второе трехкратно вырождено по значению магнитного квантового числа'„при п = 3 имеются состояния Зз, Зр, Зг[ и т. д, В общем случае каждому уровню с главным квантовым числом и соответствует п состояний, различающихся квантовыми числами 1= 0, 1, 2, ..., (п — 1).
Такое вырождение имеется только в кулоновском поле. Каждое состояние с определенным 1 вырождено 21+ 1 раз по значению ") Если бы мы ие ограиичипали число членов е ряду (38,11), то при больших ч, согласно (38,12), еьшолнялось бы соотношение 2а (2а)"+' и+1+ 2 " (и+1+ 2)! определяющее коеффициенты разложения е ряд експоиенциальной функции рее~. понтону прн больших рР(р) ешо н функции )с(р) е сор +'ьлпо при р-ь оо стремилась бы к бесконечности. О ЗЯ ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ, ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР 1Я т = О, ~.'-.1, .Ь2, ..., поэтому общая кратность вырождения стационарного состояния с квантовым числом л будет равна о-1 ~ (И+ 1) = л'. с о Случайное вырождение в кулоновском поле является следствием дополнительной симметрии гамильтониана кроме сферичесной.
Такая симметрия допускает разделение переменных в уравнении Шредингера как в сферической, так и в параболической системах координат. Уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом инвариантно относительно группы четырехмерных вращений 0(4). Всякое отклонение от кулоновского потенциала снимает «случайное» вырождение. Например, если в (38,8) заменить кулоновсний потенциал 2Е/р на — (1+ 9р), то получим 22 уравнение ( — „, — ао+ — — +, ) 1'1 (р) =О, (38,16) где величина 1! теперь уже не целое число и связана с орбитальным квантовым числом 1 соотношением 1'(1'+ 1) =1(1+ 1) —.2лр. Уравнение (38,16) по форме совпадает с (38,8), поэтому оно определяет энергию в атомных единицах х х 2м'~!''! !!' и +!! ! !!!' ' которая зависит как от главного квантового числа л = л, + 1+.
+ 1, так и от орбитального й В табл. 8 указан явный вид (для случая х, = Г) первых радиальных функций 1(р) = )г(р)/р, нормированных условием ) 1з(р)р'4 -1. о В об1цем случае для произвольного Состояния нормированная радиальная волновая функция выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию формулой )ю (р) = О'„, ( — ) Г ( — л + 1+ 1, 21 + 2, — с.) где 1 Т (а+ 1)! )Ъ(22)Ч! '= (я+ Ц~ (2 (а — г — Ц~! 1а / ' Квантовое число л,=л — 1 — 1 186 двнжанни частицы в поли цантвдльных снл (гл. 21 определяет число узлов волновой функции, т. е. число пересечений этой функцией оси р (иснлючая значение р = О).
Таблица 8 Радиальные функции атома водорода Састояеае /о) о 2е 1а 1 =(1 — р/2)е е/ У2 ре Рд 1 21' 6 2 / 2 2 р 1. рт) е-е/а 3 3~ 3 27 ,.'-.1 --') " 4 — р'е 81У 30 2р зр (38, 17б) (38,17г) Для ряда приложений полезно знать средние значения некоторых степеней р в стационарных состояниях п(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
