Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Можно показать, что из функций (41,4) можно образовать такие линейные комбинации, которые будут собственными функциями и оператора Ха. В силу линейности оператора Х, эти линейные комбинации будут одновременно н собственными функциями оператора Х,. Таким образом, состояние системы, соответствующее определенным значениям квадрата полного момента, проекции полного момента и квадратам моментов Х~ и Хз, можно записать в виде ) 11)тут) = ~~'.~ (йузт,т,) 1т)) (,т,)) узлтя). (41,9) Здесь (Цят~тз)(т) — коэффициенты, определяющие вклад различных функций (41,4) в (41,9).
Они называются коэффициентами векторного сложениц или коэффициентами Клебша — Гордана. Фазовые множители у функций (41,9) выбираются так, чтобы коэффициенты векторного сложения были действительны. Коэффициенты векторного сложения определены для целых и полуцелых значений квантовых чисел 1гут11 Таблицы этих коэффициентов можно найти в специальных руководствах *).
*) Эначення коэффнцнентов венторного сложения для )т~2 даны в кинге Кондона н Шортлн 127). Прн этом следует учесть, что обозначення Кондона н Шортлн несколько отлнчаются от обозначеннй, нспользуемык в этой книге. Укажем нанболее унотребнтельныо обозначения коэффнцнентов вектор. ного сложення (11Ынггна ~ Гнг7~ (1Алгг'нт! йй)яг) Сьмигяч см. также 128 — 301. слОжение двух мОментОЕ количествА движения 187 ! 4п Из (41,9) следует, что коэффициенты векторного сложения являются матрицами преобразования от представления, в котором заданы проекции моментов подсистем, к представлению, в котором задан полный момент системы и его проекция.
Коэффициенты векторного сложения играют большую роль в приложениях квантовой механики, поэтому мы укажем основные свойства этих коэффициентов, чтобы облегчить их использование для практических целей. Коэффициенты векторного сиожения отличны от нуля только при условии 1П = Ы! + П1м (41,10) поэтому в сумме (41,9) суммирование по одному из индексов носит формальный характер. Так как и, = гп — тм то при заданном т в (41,9) можно вести суммирование только по гпв При заданных !1 и !э квантовое число ! может пробегать последовательность отличающихся на единицу значений, удовлетворяющих неравенству ! 1~ 1г!<!(!1+1м (41,11) Каждому значению ! соответствует (2!+1) значении т = ~1, ~(! — 1), ..., поэтому общее число состояний со всеми воз- можными значениями ! будет равно ььь Х (2!+ 1) =(2! + 1) (21.+ 1), 1=1 Ь Ь1 т.
е. совпадает с общим числом состояний, описываемых функциями (41,4). Неравенство (41,11) можно интерпретировать на геометрическом языке как неравенство, которому удовлетворяют три стороны треугольника. В связи с этим неравенство (41,1!) часто называют соотношением треугольника и кратко записывают в виде (41,13) ~ Иэ1). Числа !ь 1э и ! входят в условие треугольника (41,11) симметричным образом. Если условие треугольника (41,1!) не выполнено, то коэффициенты векторного сложения автоматически равны нулю. Коэффициенты векторного сложения (Ць гл — те, тэ)!гн) можно представить в виде матрицы, строки которой нумеруются числом 1, а столбцы — 'числом тв В таком виде обычно приводятся коэффициенты векторного сложения в таблицах. Если !а является наименьшим из значений !ь и !в то число строк и столбцов равно 2!э+ 1.
з88 движанив частицы в пола цвнтгхльных сил [гл. чз Коэффипиенты векторного. сложения удовлетворяют следую!дни соотношениям ортогональности и нормировки: Х (1!Ьзт!тз ~ !тЯ!!зт!тз ~ !т) = б б, (41,14) см ! 'зз"Ъ Х (!Ат!тз! )т) (1!1зт!и!з!!т) = бп 6 . (41,15) узы Эти соотношения ортогональности выражают унитарный характер преобразования (41,9). Поскольку коэффициенты векторного сложения действительны, то обратное к (41,9) преобразование осушествляется теми же функциями преобразования, т. е.
! !зт!) ! Упз) = Х (1!(зт!тз! 1т) ! )~Цт). (41,!6) !и Свойство ортогональности коэффициентов векторного сложения можно выразить также равенством Х" 21+ ! (1~!~т~т~)1т)(1~1з~!~з~ !т) 2~+ ! б! ! бм ~ . (41,17) УИ~И3 Симметрии условия 'треугольников (41,13) относительно квантовых чисел Яз! соответствуют простые соотношения между коэффициентами векторного сложения для сложения моментов в разном порядке. Эти соотношения называют условиями силзлзегрии. Например, (Изт!тз!1т)=( — 1) '+!' ~(Ц!пззт!!1т). (41,18) Из (41,18) непосредственно следует соотношение между волновыми функциями ! !!1мт) = ( — 1)!'+!* ! ! 1з1!!т). (41,! 9) В некоторых случаях вместо коэффициентов векторного сложения удобнее пользоваться 31-символали Вагнера, которые определяются через коэффициенты векторного сложения формулой < !! 1з !з ! ( — ! / /= — ((!1зт!ззз! !з» вЂ” тз) (41 20) т! и!з тз 29+ ! Удобство 31-символов Вигнера заключается в их высокой степени симметрии.
Они отличны от нуля, только если выполняются условия т!+ тз+ тз= 9, ~). (ИИз) Значение 31-символа Вигнера остается неизменным при четном числе перестановок столбцов символа. При нечетном числе перестановок столбцов надо умножить символ на ( — !)!'+!*+!'„ 4 зя СЛОЖЕНИЕ ТРЕХ МОМЕНТОВ. КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА 189 Имеет место также равенство В силу ортогональности коэффициентов векторного сложения 31-символы также удовлетворяют условиям ортогональности (41,21) (41,22) й 42*.
Векторное сложение трех моментов. Коэффициенты Рака Рассмотрим три коммутирующих между собой оператора Х(1), Х(2), Х(3), которым соответствуют собственные функции !)1М, !)зтз). ))зтз), описывающие состояния трех подсистем некоторой сложной квантовой системы. Оператор Х = Х (1) + Х (2) + Х (3) (42, 1) также будет оператором момента. Этот оператор называют оиератором полного момента системы.
Последовательно применяя результаты предыдущего параграфа, можно из функций ))1т1), !!зтз), !)зтз) для состояний подсистем С определенными значениями !ь !з и !з построить волновые функции, являющиеся собственными функциями операторов Хз и У соответствующие собственным значениям Хз=йз(((+1) и Х,=йт. (42,2) Такое построение можно осуществить двумя путями: а) вначале сложить Х(1) и Х(2) и к их сумме прибавить Х(3); б) вначале сложить Х(2) и Х(3) и к их сумме прибавить Х(1). Рассмотрим вначале случай а).' Для суммы Х(1) и Х(2) имеем ) Л!з)ззтю)= Х ) Лт~)) !зтз)(Ь!зт1тз! !ыт1з) тм= ~%+ ты зчзч теперь, складывая Х(12) и Х(3), находим ) ()1)з) ! )т) = =:Е ! )1т )! )зтз)! )з .) ()з(зт1тз! !из тг+ т.) Х зчФифир Х()~з)з т;+ тм тз! )т).
(42,3) [90 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [Гл. Щ В случае сложения моментов по способу б) имеем 111(113)1 1т)= Х !!>т~)! 1зтз)! 1зтз) (1з1зтзтз) 1зз >из+ тз) Х »а»аа»»а Х (1>1ззтн т, + тз) 1т). (42„4) Чтобы упростить дальнейшую запись, введем следующие обозначения: 11=а, !з=Ь 1з=с, 1=з( 1>з — — е, 1м-1 т> о" тз р тз=у» т=б» тогда (42,3) и (42,4) примут соответственно вид ) (аЬ)есг(Ь) ~ ) аа)) Ь)))) су)(аЬай) е, а+6)(ес, а+6, у(з(Ь), а. З, т (42,3а) ) а (Ьс) 1М) = ~ ) аа) ) ЬЬ) ) су) (Ьсбу) 1, 6+ у) (а1а, 6+ у) [(Ь).
»»,з,т (42,4а) Функции (42,3а) и (42,4а) ' являются двумя возможными представлениями состояния полной системы, соответствующего собственным значениям (42,2), поэтому онн связаны между собой с помощью унитарного преобразования ) (аЬ) ест) = ~ ((аЬ) ест а (Ьс) 1д) ) а (Ьс) 1[(б). (42,5) Матричные элементы унитарного преобразования ((аЬ)есд) )а(Ьс)1с[) не зависят от магнитного квантового числа Ь. Онн могут быть выражены через произведения четырех коэффициентов векторного сложения. Чтобы найти это выражение, обратим (42,4а): ) аа)[ Ьб)) су)=).",) а(Ьс) 1а[Ь)(Ьсйу) 1, 6+у)(а1а, 6+у) дб). (42 6) Подставляя (42,6) в (42,3а), находим ) (аЬ) ест) = = Х (аЬа6) е, а+ (>) (ес, а+ 6, у) з[Ь) (Ьсбу) 1, 6+ у) Х вн Х (а1а, 6+ у) а['Ь) ) а (Ьс) 1д'Ь). (42,7) Поскольку состояния, отличающиеся квантовыми числами полного момента с[, являются линейно независимыми, в (42,7) в сумме по г(' отличен от нуля только один член с[ = У.
Сравнивая далее (42,7) и (42,5), находим ((аЬ) есс[) а (Ьс) Щ = ~(аЬО6) е„а + ()) (ес, а + 6, у) дб) Х аа Х(Ьс(>у) 1, ()+ у) (а1а, ()+ у! дб). (42,7а) 6 4Я сложвние ттвх ИОментОВ. коэеенциенты РАКА 19! Коэффициенты векторного сложения действительны, поэтому действительны и матричные элементы унитарного преобразования (42,7а). Вместо этих матричных элементов обычно используют в приложениях коэффициенты Рака Ю(абсс); е)), которые определяются через (42,7а) с помощью соотношения Ж'(абс); е)) = (аь) еси) а (ьс)(а) (42,8) (2е+ 1) (21+ 1) Из действительности и унитарности коэффициентов преобразования (42,7а) непосредственно следует, что коэффициенты Рака удовлетворяют следующему условию ортогональности: ~(2е+ 1) (2)+ 1))е" (абсй; е)))е (абсс(; ей) б) .
(42,9) е Из определений (42,8) и (42,7а) вытекает, что коэффициенты Рака отличны от нуля только в том случае, когда выполняются соотношения треугольников 5 (аЬе), й (есс(), й (Ьс)), сх (а~И). Из свойств симметрии коэффициентов векторного сложения сле- дуют свойства симметрии коэффициентов Рака И" (абсс(; е)) =)(У(бас)с; е)) =)е' (сс)аб; е)) = =МУ(с(сба; е() =Ю(сас(б; )е) = ее (Ыас; )е) = В'(с)бса; 1е) =%'(асбс$; )е), ( — 1)'+1 ~ ~))Г(абсс(; е)) =Ъе'(ае)с(; Ьс), ( — 1)'+1 ' )с'(абсс)„.е)) = )е (Ье)".»; ас().
(42,10) (абай) еа+ 8) (ес)а + бб ) са+ 8+ 6) Х $/(2е + 1) (21 + 1) (Ьс(бб) ~8 -(- Ь) Я Х (араб+ б ) са + р+ Ь) ЯУ (абсс(; е)) (42,11) Если один из шести параметров коэффициента Рака равен нулю, то с помощью свойств симметрии (42,10) ои может быть сведен к коэффициентам 1 А+с-1З (е (абЫ; о)) = $~(2е+ 1) (2с + 1) бе1асе В'(абсо; е)) = )с(2е+ 1) (21+ 1) Из определений (42,7в) и (42,8) можно получить полезное со- отношение 192 движение чхстицы В пОле центРАльных сил 1гл. у! Более полное изложение свойств коэффициентов Рана и их численные значения можно найти в обзорах 'Биденхарна, Блатта и Роуза (31], А.
Эдмондса (32) и в книге Любарского (29). В ряде работ вместо коэффициентов Рака используют введенные Вигнером 61-символы, которые определяются через коэффициенты Рака соотношением ( а Ь е1 ~ = ( — 1)'+ +'+" (Р (аЫс; ЕД. (42„12) с й 61-символы Вигнера обладают очень простыми свойствами симметрии. В них можно любым образом переставлять столбцы без изменения значения 61ьсимвола. Значение символа не меняется также при перестановке любых двух элементов верхней строки с двумя элементами, расположенными в нижней строке непосредственно под ними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
