Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ч где 11«11«4. з)п« аа г ' Значение Й = О соответствует смещению всего кристалла как целого, при этом й« вЂ” — О. Обобщенный импульс Р», соответствующий обобщенной координате А», определяется обычным путем: дь ' ! %т Р, = —. = т А» = — ~ р ех р(Жн), где р« = тх — импульс, сопряженный смещению х .
Согласно (33,8) и (33,9), энергия колебаний как функция обобщенных координат и импульсов имеет вид Е=К+ (1 = — ~~ ~ — Р,Р, + тй»А»А»~. (33,10) » !»;«о! (33,9) где х — скорость смещения. Для упрощения вычислений введем цикдические граничные условия х„= х„~.н«. (33,3) От смещений отдельных атомов удобно перейти к новым комплексным обобщенным координатам А» с помощью преобразования х = — У, А»ехр(1йп), А».— А'-», )~У сю (33,4) где суммирование выполняется по всем Ф значениям волнового вектора й = — ~„а, р=О, ~1, ~ 2, ..., +й!/2. (33,5) Обобщенные координаты характеризуют коллективные колебательные состояния всего кристалла. Учитывая (33,1) и (33,5), находим равенства — «г', ехр (ш (й — й')) = Ь»», — ~)~~ ехр (1й (и — а')) = Ь, (33,6) характеризующие унитарность преобразования (334).
Вследствие (33,6) преобразование, обратное к (33,4), имеет вид А»= — ~ х ехр( — йп). (33,7) Проведя преобразование (33,4) в выражениях (33,2), получим классическую функцию Лагранжа Е = К вЂ” У = — ~)~~ (А А» — Я~А А «), . (33,8) » »я пеедстлвление чисел з»полнения для колее»нии »томов Значений Й = 0 исключается как не соответствующее колебательному состоянию. Как известно, переход к квантовому описанию сводится к замене к„и р„операторами, удовлетворяющими йерестановочным соотношениям (Х, Д„]=1М (33, 11) Используя (33,7) и (33,9), находим, что при таком преобразовании обобщенные координаты А» и импульсы Р» следует заме-' нить операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям (33,12) [Л», Р») =136»»" Ф От операторов Ам Р» перейдем к новым операторам Ь», Ь» с помощью равенств А =у' э ~к) Р ~ф/ ь — ь)»з,вз) Чтобы выполнялись соотношения (33,!2), операторы Ь», Ь» должны уловлетворять перестановочным соотношениям (Ь„ЬЯ=Ь»»ь (Ь„Ь,)=О.
(33,14) Произведя в (33,10) с помощью (33,13) преобразования Ф Л», Р» — >А», Р» — Ь», Ь», получим оператор энергии колебаний атомов Н=Ь ~ и»~Ь»Ь»+Я. (33,15) » и»о> То же самое преобразование дает оператор смещения Х» = )~~ )/ — (Ьд+ Ь~ ~) ехр ((йп). (33,16) » [ФЩ Сравнивая (33,15) с (22,5), мы убедимся, что оператор энергии (33,15) представляет собой суммУ операторов Гамильтона (У вЂ” 1) независимых гармонических осцилляторов с частотами И». Если ввести числа фононов т» — — О, 1, ..., т.
е. числа заполнений квантовых состояний каждою одциллятора, то в представлении чисел заполнения функции колебательного состояния кристалла имеют вид (33,17) б», с. дави»ов >эх >ГЛ. Р ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Операторы Ь», Ь» определены на множестве функций (33,17). Введем краткое обозначение )'Р») ) О, О, ..., О, Рм О, ..., О), тогда действие операторов Ь>ь Ь» в соответствии с правиламн коммутации (33,14) будет определяться правилами Ь») т») )/т + 1 ) т»+ 1), (33,18) Ь»! та) = Ут»! т» — 1). Оператор Ь» увеличивает, а оператор Ьа уменьшает число фоно- нов т» на единицу. С помощью (33,18) находим уравнение Ь»Ь» ) т») = т» ) т»).
из которого следует, что ~ункции (т») являются собственными функциями оператора ЬаЬ», соответствующими собственным значениям т». Поэтому оператор Ь»Ь» можно назвать операто- ром числа фононов типа й. Основное состояние кристалла (все т» = 0) описывается функцией )0). В этом состоянии энергия кристалла (нулевая энергия) .Ео (0)Н)0)= э ~~йй». (33,19) Функция )т») состояния с т» фононами с волновым вектором й может быть получена путем последовательного применения оператора рождения фононов Ь» к функции нулевого (ваа куумного) состояния )0) ) т») = (т»1) '* (Ь») ) О). В состоянии (т») энергия кристалла Е„= Ео+ т»311».
(33,20) В том же состоянии среднее смещение и-го атома (т»)х >т») равно нулю, а среднее значение квадрата смещения не зависит от номера атома Ьт» Ь (т» )х' )т») = аа + Х я идти »>>»о> ГЛАВА У1 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ й 34. Общие особенное~и движения частицы в поле сферической симметрии Стационарные состояния частицы, движущейся в сферически симметричном поле, описываются уравнением Шредингера с опе- ратором Гамильтона- 2 И= — — ~э+и(г), 2н и =гз+Р+а — р~ н ию р . у симметрию поля, решение уравнения Шредингера следует искать в сферической системе координат. Используя результаты 5 16, можно написать 2~ д I д 1 д~й И=-= — 1" — 1 - — +и(г), (34,2) 2яы дг 1 дг 1 2НР где оператор Л определен (16,18).
Из (34,2) следует, что оператор квадрата углового момента Ез = — АзЛ (34„3) (34, 1) и оператор проекции момента на произвольно направленную ось а д '" д (34,4) коммутируют с О. Следовательно, системы, описываемые оператором Гамильтона (34,2), могут находиться в стационарных состояниях с определенной энергией, определенным значением квадрата углового момента и определенным значением проекции углового момента. Волновые функции этих состояний являются одновременно собственными функциями всех трех вышеперечисленных операторов. Временная зависимость волновых функций стационарных состояний характеризуется множителем ГЕ ехр~ — — 1), где Š— энергия системы. Поэтому мы будем далее з интересоваться только зависимостью волновых функций отг,б, ф.
Зависимость волновых функций от углов 8, ~р целиком определяется значениями Тз и Е„так как эти функции должны щ4 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 1ГЛ. Ч! совпадать с. собственными функциями Уь„операторов АР и Е„ соответствующими (см. 9 8) собственным значениям л.г=йз1(1+1), 1=0, 1, 2..., 7., йт, т=О, «-1, (34,5) (34,6) Квантовое число 1 называют орбитальным квантовым числом, а квантовое число т называют магнптным квантовым числом. Итак, волновая функция стационарных состояний движения частицы с определенными значениями 7з, Е, в произвольном поле сферической симметрии. может быть записана в виде фе.е.(г, 8, р)=~, (г)У.(8. ф), (34,7) где ~м(г) — радиальная волновая функция, вид которой зависит от энергии Е, значения А,э (или 1) и потенциальной энергии (/(г). Поскольку в поле сферической симметрии нет выделенных направлений в пространстве, то радиальная функция Дг) не может зависеть от значения квантового числа и.
Подставляя (34,7) в уравнение Шредингера с оператором (34,2), находим уравнение для функции Я(г) = «1 (г) определяющее энергию системы. Поскольку функция Дг) при г = 0 должна быть конечной, то функция Й(г). должна равняться кулю при г = О. Каждое из стационарных состояний с определенным значением 1 будет 21+ 1-кратно вырождено соответственно 2(+ 1 значениям т. Состояния, относящиеся к разным значениям 1= О, 1, 2, ..., принято обозначать соответственно малыми латинскими буквами з, р, 4(, 1, д и далее в порядке обычного латинского алфавита. Так, например, состояния с нулевым орбитальным момйнтом (1= 0) называют з-состояниями, состояния с 1= 1 называют р-состояниями и т.
д.' Оператор Гамильтона (34,2) коммутирует с оператором пространственной инверсии Ф (см. 9 18), имеющим два собственных значения ~1. В связи с этим стационарные состояния рассматриваемых систем могут быть разделены на четные и -нечетные состояния, При операции инверсии координата г не меняется, а угловые переменные преобразуются по закону 8- и — 9, <р -+ ~р + и, поэтому РУ,„,(8, ~р) У~„,(п — 8, ~р+и)=( — !) Уьь(9, <р). (34,9) Из (34,9) следует, что сферические функции являются собственными функциями оператора инверсии. Все состояния с четными 1 ЧАСТИЦА В ПОЛЕ СфЕРИЧЕСКОй СИММЕТРИИ 165 относятся к четным состояниям, состояния с нечетными 1 являются нечетными состояниями.
Собственные значения энергии системы и радиальные волновые функции определяются видом потенциальной энергии (1(г). В следующих параграфах будут рассмотрены системы с конкретными выражениями для (1(г). Теперь же исследуем некоторые общие свойства решений уравнения (34,8). Если потенциальная энергия 0(г) везде положительна и обращается в нуль при г- аа, то средняя энергия частицы положительна во всех состояниях движения, так как среднее значение (У) ) О, а среднее значение кинетической энергии всегда положительно. В этом случае частица может удаляться от центра на бесконечное расстояние, где она движется свободно (потенциальная энергия равна нулю) и ее энергия не квантуется (см.
2 39). Если 0(г) ( 0 и У(аа) = О, то возможно движение в ограниченном объеме пространства с дискретными значениями энергии Е ~ О. В этом случае и'(оа) = 0 и (34,10) Умножая обе части уравнения (34,8) на Й и интегрируя по г, находим, используя равенство (34,10), среднее значение энергии в состоянии и' (Е) = — ~ ~ ( — ) + [ ( + 1 + ф у (г)1 яз ~ й . (34,11) Пусть )с отлично от нуля только в малой области г ( а. При этом 0(г) = — А/г", где А и п — положительные величины. ~И Тогда можно положить — ° — и заменить (34 11) приближенаа а Ф ным выражением (34,12) Из (34,12) следует, что при п ) 2 минимум средней энергии осуществляется при «падении» частицы в центр (когда а = 0). Если л «- 2, то минимум средней энергии соответствует конечному значению а, т.
е. «падения» частицы в центр не происходит. В этом случае дискретный спектр энергии стационарных состояний начинается с некоторого конечного отрицательного значения. При этом наименьшее значение энергии будет относиться к з-состояниям (1 = 0).
Отметим, что в классической механике «падение» частицы в центр возможно при любом значении п ) О. щв двнжвннв частицы в полв цвнтглльных снл 1гл. чт 2 35. Свободное движение с определенным значением орбитального момента Простейшим случаем уравнения (34,8) является уравнение для свободного (О = 0) движения частицы с определенным значением орбитального момента, т.
е. уравнение й2 Н2Р(г) + Вч(1+ 1) ) Е 2И Иг' 2яг~ (35,1) Прн свободном движении энергия может быть только положительной. Умножая (35,1) на 21т/лз н вводя й = — '"'>о, й' (35,2) получаем — — + й~~ Р1 (г) = О. (35,3) имеет внд (см. мат. дополн. А) Иг) =~/-„' "",". (35,4а) Прн исследовании общего случая, включающего 1 ча О, удобнее в (35,3) использовать полную волновую функцию 1(г) = 1 = — Р(г), тогда ~ — „, + — — „+ (йз — +, )11 ) (г) = О. (35,5) Переходя к безразмерной переменной $=Ь, (35,6) Рассмотрим вначале частный случай з-состояний, которые определяются уравнением ~ — „,г+й'~ Ро(г)=0. Общее решение уравнения (35,4) можно записать в виде Ро (г) = А з(п Ь + В соз Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
