Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Состояния остальных фермионов остаются при этом неизменными. Поэтому слабо возбужденные состояния системы неззаимодейстзующих фермионов можно характеризовать указанием состояний частиц с энергией з. ) Зе и освободившихся состояний — «дырок» при з, ( зе. Такое описание системы одинаковых фермионов называют «дырочным-Представлением». В дырочном представлении состояние Фе (86,15) называют «ва уумным состоянием». Вакуумное состояние обладает нулевой энергией Ез (86,17), от которой можно отсчитывать энергию возбуждения.
Возбуждение системы соответствует рождению пары частиц — частицы в состоянии з (е„> зе) и «дырки» в состоянии з'(зе-..з„).Другие состояния возбуждения характеризуются рождением нескольких пар частиц. Переход системы из состояний большей энергии з состояния меньшей энергии соответствует «аннигиляции» пар. Чтобы описать такие процессы, введем наряду с ферми-операторами а», а, (при з, ) е„) новые операторы й», р, (з,(~е„)рождения и уничтожения «дырок» в состоянии з.
Пусть состояние з характеризуется импульсом р и проекцией спина О, тогда уничтожение частицы в состоянии з эквивалентно рождению дырки в состоянии — р, — О, которые мы будем кратко обозначать « — з». Следовательно, операторы рождения н уничтожения дырок связаны с операторами частиц соотношениями (!о ВТОРичное кВАнтОВАние систем из Фврмионов (гл, х( Естественно, что операторы р, и (1« удовлетворяют перестано. вочным соотношениям (~,. Щ=бн, антикоммутаторы между другими комбинациями операторов р. и между операторами р, и операторами а, равны нулю. Вакуумное состояние в дырочном представлении определяется условиямн а,Ф«=О (если В, > ар); (),Ф«= О (если а, ер). Операторы поля (86,12) в дырочном представлении принимают вид (энергия одночастичных состояний отсчитывается от ВР) Ч'(е, !) = ~с'.~ а ф е (и ~+ в» фр е ~, (86,19) в(>Р) в (<Р) где первое суммирование выполняется по всем состояниям с е, > ВР, а второе — по всем состояниям с В, (ВР,' ) В,— ар, ЕСЛИ а,>Е„; 1)И, = Вр — а„если В, (~ ар.
Подставляя (86,19) в (86,13) и учитывая перестановочные соотношения для операторов р„ находим Л(= ~~, а«а,— '~, ((٠— 1). в(>Р) в(~Р) Принимая во внимание, что ~~ 1=У, преобразуем получен- в(~Р) нос равенство к виду а~'а, = ~'.~ фф,. в(>Р) Б(~Р) Следовательно, в дырочном представлении число частиц всегда равно числу «дырок», Другими словами, частицы и «дырки» рождаются и исчезают парами.
Чтобы определить оператор энергии в дырочном представлении, подставим (86,19) в (86,!!) и учтем равенства Н ($) фв = (ар + Ы,) (р„если В, > ар, Н ($) (р, = (ар — 8!А,) ф„если е, ( ар. Тогда получаем Н= ~~ (и!1,+ее)а(а,+ ~~ (йй,— «)р)Д~~(~,+Ем Если учесть, что частица и «дырка» всегда рождаются парами и отсчитывать энергию системы от энергии Ез ее основного со- $ гбао пРедстАВление чисВл ВАполнения для систем ФеРмионоВ 4 ) 1 стояния, то оператор энергии можно преобразовать к виду Х Ща,а,+ Х Щ0,6, (86,20) МЬР) В(~Ю ъ"~ В%' Н=т — а~ а 21 2гп Ач Аа' э,ч Оператор числа частиц У=Х ,'...
Ф,ч (86,21) (86,22) Состояние системы с постоянным числом частиц описывается только собственными функциями оператора Й, соответствующими собственному значению Н, т. е. собственными функциями, которые удовлетворяют уравнению ФФ= ~~'.~ а~ а„~Ф. Ач Чтобы не вводить дополнительного условия (86,23), можновоспользоваться известным приемом статистической физики и ввести параметр и, имеющий размерность энергии и играющий роль химического потенциала.
Тогда вместо оператора (86,21) следует рассматривать оператор Н'- Н вЂ” рй = ~ ( —,„— р) а+,а„. Ма Переход к новому оператору Н' эквивалентен тому, что все (86,23) Следовательно, рождение пары — частицы в состоянии з и «дырки» в состоянии з' — увеличиваег энергию системы на величину й(а,+а,).
Все формулы этого параграфа сохраняют свой Вид, если считать, что операторы НЯ и функции ~р.($) заданы в импульсном представлении. Тогда э определяет компоненты импульса частицы и спииовую переменную. Импульсное представление удобно, если собственные функции одночастичного оператора Гамильтона изображаются плоскими волнами. Предыдущие формулы относились к случаю, когда одночастичные состояния определялись движением фермионов во внешнем поле (поле ядра и т.
д,). Рассмотрим теперь частный случай, когда оператор Н($) имеет собственныа значения В,= = Эта(2гп) и собственные функции ф,=<рэ = К ье' 'тч, где у — спиновая функция; о — проекция спина. В этом случае состояние системы характеризуется значениями й и о. Оператор Гамильтона системы в представлении чисел, заполнения тогда имеет вид 412 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ„Х! одночастичные энергии отсчитываются от значения р.
Химический потенциал определяется нз условия (й) Н. Для невзанмодействующих электронов химический потенциал равен энергии Ферми. й 87". Системы фермионов, взаимодействующих парными силами. Каноническое преобразование Боголюбова Рассмотренный в $ 86 случай систем невзаимодействующих фермионов представляет только методический интерес, так как свойства реальных систем определяются взаимодействием фермионов между собой и внешними полями, порождаемыми другими частицами. Поэтому представляет интерес исследование систем фермионов, взаимодействующих между собой.
Предположим что взаимодействие между фермионами определяется парными, силами, тогда оператор Гамильтона систем Н фермионов можно записать в виде Н61 Вн)=Х Н(В~)+ Х (Р'(Ык). 1 1 !<7 Переход к представлению вторичного квантования соответствует замене оператора Н(е1 .. 3н) оператором Н- ~Ч'а) НЕЧ" аж+ + ~ ~ Чт (в) Ч" (е') К Я') Ч' (е') ту Я) г(е ~ф', (87,1) где операторы поля удовлетворяют перестановочным соотношениям (Ч" (9, Ч'й'))=('Р'Я), Ч"'(Д) =О, (87,2) ФВ Ч" В'М=б( — В').
Переход к представлению чисел заполнения состоит в разложении операторов поля Ф($) по полной ортонормированной системе функций ~р,(~). Если Ч" (е) =.Ха,ф (е)* (87,3) то операторы а, удовлетворяют перестановочным соотношениям (а,, аЦ = бгп антикоммутаторы остальных комбинаций а, н ат равны нулю. В качестве ортонормированной системы функций ф,Я) удобно взять собственные функции оператора Н($). Если [Й(в) — з ]~ъ(е) = О, то, подставляя (873) в (87,1), находим оператор Гамильтона в представлении чисел заполнения Н ~з,а+а, + — ~)~~ атата и (а1~87~рЧ), (87,4) Р .
ТГРТ эю~ еввмионьь взхимодвпствгющнв пхвными силамн 4д где (зцЮРч) = )' ~Р,(9Ч', (з') |г (вэ') ~р (е') <р (в) Н$Щ'. (87,4а) Оператор суммарного числа частиц в системе определяется равенством Ж ~ Ф~ Я) Ф Я) ф~= ~~)~~ аза,. б (87,5) В системах, состоящих из устойчивых частиц (электроны, протоны и т. д.), полное число частиц в системе должно быть постоянным.
Чтобы не вводить дополнительного условия постоянства числа частицН= ~'„ага,, введем химический потенз циал )г. Добавляя в оператор (87,4) член - у~~а~'а,, мы получим новый оператор Н=)~~~(е,— н)а~а,+ — ~)~~~а~~ага а (зЦЯГ~рд). (87,6) Я вЮРа Химический потенциал р определяется из условия у=(~~~'.,ага,~). ~р .= ~р = = а'*'у„ 1 з аа )/'~, где 7 — спиновая функция. Индекс о принимает два значения -~'/,. Предположим далее, что взаимодействие между двумя фермионами зависит только от расстояния между ними, не зависит от ориентации их спинов и обладает малым радиусом действия, т.
е. положим (г'($, $') = йг()г1 — гв1). Матричные элементы, входящие в (87,6) тогда будут равны (з'з'~йг~з з,)= — б б Л(й' — Й +Й; — й,), (877) (~а',-а,~) В основном состоянии системы при отсутствии взаимодействия ((р = 0) все одночастичные состояния с энергией в. (вг заполнены, а состояния в, ) вг свободны, н химический потенциал р = а;, где. в1 — энергия Ферми. Для большей конкретности предположим, что система состоит нз ферми-частиц, имеющих спин '6 и оператор Н($), определяющий одночастнчные состояния, имеет собственные значения авй9(2гл).
Тогда одночастичные состояния определяются волновыми функциями 414 ВтОРичное кВАнтоВАние систем из ФВР»!ионов 1гл. х! а где функция Л, определенная (85,4), учитывает закон сохранения импульса. Она отлична от нуля только прий +й!= й'+ й; т»» =т(й!' — й!)=, 1 В'(р)рз!НЦЙ! — й1~р)!(р (87,8) 1! !!о — действительная функция, зависящая от абсолютной величины вектора й! — йь Эта функция является фурье-представлением энергии взаимодействия двух фермионов. Знак в (87,8) выбран так, чтобы притяжению соответствовали положительные значения т»». Учитывая (87,7), находим явное выражение оператора Гамильтона для случая, когда силы взаимодействия не зависят от спиноз »а 1"2+ ! 2+ !) (87,9) Во второй сумме суммирование выполняется по оь О2 и по всем значениям й,, ..., Й2, удовлетворяющим закону сохранения импульсов, указанному в скобках под суммой. Если 2р' имеет конечный радиус действия, меньший средней длины волны относительного движения пары фермионов, то это взаимодействие проявляется только между фермионами с анти- параллельными спинами.
Фермноны с параллельными спинами не будут сближаться до расстояний, где проявляется взаимодействие. В этом случае в (87,9) надо положить О2 = — О!. Выделим далее во второй сумме (879) члены й2+й,=К+ й!= О. Тогда можно написать Н= Н,+ Н', где Н' содержит все произведения четырех ферми-операторов для которых й2+й! —— й22+ й!ФО; Нв ~ е (й) а»ае»а еь ~ т»»,а»'аа-», ае-», -а"»а »а »»'а в%2 здесь е(й) = — — р; т»» — фурье-представление энергии взаимодействия двух фермионов. Слагаемые, отличающиеся только значениями О, дают одинаковый вклад в суммы оператора На, поэтому можно написать 1 Сч Н = 2 ~~~ е(й) а»», г!», — —, ат т»»,а»»„а»»,, и „, и», (87,10) 5 зл ФвРмионы, ВЗАимодеиствующие ЙАРными силАми 41з Для исследования спектра собственных значений оператора (87,10) проведем каноническое преобразование ферми-операторов, предложенное Боголюбовым: Ф поо иАААо + оАА и „, =иААМ оАА (87,11) где ио и оо — вещественные функции, симметричные относительно преобразования й -+ — й и удовлетворяющие соотношению и'+ о'=1 (87,12) где 2 Е,= 2~~~~ е(й) о'„— —, ~ то„и„,оо,иооо (87,14) — постоянное слагаемое, не зависящее от ферми-операторов и соответствующее энергии основного состояния; Но= ~) ~е(й) ~и2„— ооо)+ — „„)(л л .~-лил ) (87,15) — диагональная часть оператора Гамильтона; о,-у12 [л)ц .— ф~ ',— зу „, „)(льлол.л.л) (87,16) — недиагональная часть оператора Гамильтона, содержащая произведения только двух ферми-операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
