Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 77
Текст из файла (страница 77)
д 1 д Дифференцируя уравнение (92,13) по параметру Нс н вычисляя матричные элементы на функциях ср (е, Нс), получим равенство (и ( —,( т) = (и ) ®-1 т) (з — гл) (92,17) Решая уравнение (92,6) при начальном условии (92;15) меуодом последовательных приближений, получим, при учете ,'(92,17), в первом приближении ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ 443 где йт(н! — 10) ан а,(нт)- а,(н,) ' (92, 19) По условию ев(Лс) Ф ве(Л~) (уровни не пересекаются). Пусть функция Ф(г) имеет только один полюс прн г = 1о — й, тогда при адиабатическом изменении гамильтоннана в„„' к.
Т, где Т вЂ” время, в течение которого существенно меняется гамильтониан, интервал интегрирования (О, Т) в (92,18) можно заменить на ( — оо, со). Следовательно, вероятность перехода из состояния фе в состояние ф„ за время Т будет экспоненциально мала, так как 1 а,ю (Т) (2 ехр ( — ве„б). Бслн при некотором Я, функция Ф(1) имеет полюс на вещественной оси, то имеется вырождение (т. е.
уровни пересекаются). В этом случае решение уравнения Шредингера надо искать в виде суперпозиции состояний, соответствующих пересекающимся уровням. 9 93. Вероятность перехода в единицу времени Особенно простой вид имеет вероятность перехода (90,14) в случае, когда оператор возмущения тг(1) имеет постоянное значение %'между моментами включения и выключения взаимодействия и скачком изменяется до нуля вне этого интервала. В этом случае говорят о переходах под действием постоянного возмущения е).
Поскольку матричный элемент' (1()Р')() не зависит от времени, то интеграл в (90,14) вычисляется просто. Получаем Йд -1 е Ц()Р'(1)ехр(ынг)Ж= ' . ()1)Р')1), и вероятность перехода за время действия возмущения выражается формулой БН (т) = — з ( () ! )у'1 1) (т Е (Еà — Е,), (93, 1) *) В некоторйх случаях включение и выключение взаимодействия осуществляется специальным выбором начальных и конечных октояний. Например, в системе с оператором Гамильтона Н в момент времени г' = О условиями эксперимента может быть выделено состояние, соответствующее волновой функции, являющейся собственной функцией некоторого оператора Н,. Дальнейшее изменение втой функции будет-определяться оператором Н, позтому можно сказать, что в момент т =, О произошло включение взаимодействия йг.
и — и.. 4И ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ !Гл. Х!! где 1 — сО5~ (РЛ вЂ” Е!)— й! Р(Еà — Е!) = (Е! Е!)2 й-2 При Е! = Е! функция Г(Е! — Е!) имеет максимальное значение, 2пй 4яй равное т2!2. При!Е! — Е!(= —, —, ... эта функция обращается в нуль. При малых значениях т (< й!Е„вероятность перехода пропорциональна т2. При достаточно больших т по сравнению с характерными периодами й/Е в системе функция Г(Ег — Е!) может быть выражена через дельта-функцию Р (Е! — Е!) = тя!йб (Е! — Е!). Таким образом, формула вероятности перехода (93,!) может быть приведена к виду ййм(т) = — '„"(Ц()Р) () ~2тб(Е,— Е,).
(93,2) Вероятность перехода оказывается пропорциональной времени т действия возмущения, следовательно, можно определить вероятность перехода, отнесенную к единице времени (скорость перехода или число переходов В секунду): Рм —— — „! Ц! йг! () Рб (Е! — Е,). (93,3) При выводе выражения (93,2) мы использовали формулу (90,!4), которая справедлива только для времен т, значительно меньших времени жизни Т состояния )(). Таким образом, выражение (93,2) и представление о вероятности переходов в единицу времени (93,3) оправдываются только для времен т, удовлетворяющих неравенствам ЙЕ! ~ т ч.
Т. (93,3а) Практически во всех физических системах либо конечные, либо начальные состояния принадлежат непрерывной (или почти непрерывной) группе состояний. Измерения сводятся к определчнию полной вероятности перехода во все состояния ~, обладающие почти одинаковой энергией н одинаковыми матричными элементами Ц! )у')(). Для получения такой вероятности надо просуммировать (93,3) по всем состояниям (, обладающим такими свойствами, и усреднить по начальным состояниям (, обладающим одинаковыми матричными элементами (Д В'~(). Этим оправдывается использование выражения (93,3), содержащего б-функцию.
Если обозначить число конечных состояний данною типа, приходящихся на единичный интервал энергии Еь через р(Е!), 4 9Я ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ 445 то полная вероятность перехода в единицу времени будет определяться выражением, которое получило название «золотого правила Ферми»: Р, = ~ Рдр (Е1) ЙЕ1 —— — ! (!' ! )р ! () ~ р(Е1) (93 4) при условии Ег —— Еь Это условие выражает закон сохранения энергии при квантовом переходе.
Рассмотрим теперь случай, когда оператор возмущения )р(1) зависит от времени периодически между моментами включения и выключения: )рь (1) = вь ехр (-~- ЙВ1), (93,5) н скачком изменяется до нуля вне этого интервала. В этом слу. чае с помощью формулы (90,14) находим М(т)= й !(1!)Р!()(Вт б(Е1 — Е~-ьйв) (93,6) и вероятность перехода в единицу времени будет определяться формулой Р~( = й ! (1 (ю~ ! 1) (2 б (Е1 — Е, ь йв), (93,7) где знаки '+ и — соответствуют знакам, с которыми входит частота о> внешнего возмущения в экспоненциальный множитель (93,5).
Таким образом, при возмущении, периодически зависящем от времени, переходы происходят в состояния, обладающие энергией Еь удовлетворяющей условию Е1 — — Е, ~ йв. (93,8) Следовательно, при возмущении )Р+(1) = в4вям при квантовом переходе система теряет энергию йы, так как Ег — — Е~ — йы, а при возмущении )Р' (1) = и е-'"' система приобретает энергию йы, так как Ег = Е, + йн. Потеря и приобретение энергии йы рассматриваемой системой (будем называть ее системой 1) происходят за счет изменения энергии системы 11, которая взаимодействует с первой.
Суммарная энергия полной системы, состоящей из обеих взаимодействующих систем, при квантовом переходе системы ! из состояния 1 в состояние ) остается неизменной. Предположим, что системой П„взаимодействующей с системой 1, является система фотонов с энергией йн, тогда вероятность перехода в единицу времени (93,7) нз определенного начального !нач) в определенное конечное )кон) состояние можно записать в виде 2я А Р«РИ нвч= ! (кон )и ь! нач) ! 6(Е„,„— Е„,), (93,9) 446 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ !ГЛ.
ХП где Е„,„=Е, + Ьв, Е „=ЕГ (поглощение фотона), Е+,„=Еь Е~„=ЕГ+ йв (непускание фотона). 9 94. Взаимодействие квантовой системы с электромагнитным излучением Взаимодействие бесспиновой частицы массы р и заряда е, входящей в состав атома (молекулы), с электромагнитным полем, описываемым векторным потенциалом А, определяется (см. $58) оператором В" (1) — — Ар + ~ АВ, ив т4~В2 > (94,1) где А — оператор векторного потенциала, р — оператор импульса частицы. При вычислении методом теории возмущений вероятностей перехода, последние, согласно-$90, представляются степенным рядом по оператору взаимодействия )Р"'(1).
Безразмерным параметром малости в этом ряду при взаимодействии (94,1) будет постоянная тонкой структуры а- ЕЧйс (137)-'. Малость этой величины позволяет во многих случаях учитывать только первое приближение теории возмущений. В этом случае в (94,1) можно сохранить только первое слагаемое, т. е. поло- жить е )Р' (1) = — — Ар. (94,2) Без учета взаимодействйя (94,2) гамильтониан полной системы представляет собой сумму гамильтонианов атома НВ и электромагнитного поля Не, Предположим, что мы знаем решение уравнения Шредингера для атома (Н.— Е,) р,-о Нф ~, ~а+,а~,+ф). Тогда '1пя,) — его собственные- функции при ля,-фотонов.
Состояния полной системы: атом модействия (94,2) характеризуются функциями 1 "яа)%. наличии в поле и поле без взаи- (94,3) Гамильтониан поля выберем в представлении вторичного кван- тования (80,15), т. е. положим а 94! КВА!Г10ВАЯ СИСТЕМА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ,ИУ Если в (94,2) подставить оператор поля (80,14), то оператор взаимодействия примет вид )Р'(!) = — — ) „' '( — ) е1о'(еа Щ) рЯОо„(!) + ат „(!)), (94,4) О,а где, согласно $80, ао, (1) = аоа ехР ( — Йво!) — гайзенберговское представление оператора уничтожения фотона ща); ат~„(() — соответствуюший оператор рождения того же фотона. Таким образом, каждое слагаемое оператора взаимодействия характеризует процесс поглощения (уннчтожения) или испускания (рождения) фотона атомной системой.
Рассмотрим часть оператора (94,4), соответствующую испусканию фотона Яа). В соответствии с 3 93 ее можно записать в виде Гв+ ехр ( — йао!), где Гв+ — ( ™)'в1о~(еаЯ)р)пта, 1Э=Яс. (945) Если начальное состояние полной системы (без взаимодействия) характеризуется функцией !Иач) = !Но )1р» то оператор (94,5) переведет систему в состояние с функцией ! кон) = !по» + 1)1рн При этом, учитывая действие операторов рождения фотонов по,~ оа)='г'поа+! ~по,+ 1), получим (кон ! Гв+ ! нач) = — — ( ~ ) )~по«+ 1 (е„(я) (1р ! е-1о'р ( 1р,)). (94,6) Таким образом, в соответствии с (93,4) н (93,9) вероятность испускания фотона атомной системой в единицу времени определится формулой Р)1'1 — 1(кон !Гв+!нач) ! р(Е<+Д, (94,7) где р(Е„„~ — плотность числа конечных состояний. В случае (+11 атомных систем волновые функции дискретных состояний отличны от нуля только в области размеров атома.
Следовательно, интегрирование в (1р! !е1о'р! 1р,) =-(! !е1о'р! 1) существенно только для г ~ а, где а !О-а см (радиус атома). Длина волны видимого н ультрафиолетового света значительно больше размеров атома Яа= — !О 2па -з А 449 пеиеходы НОд Влиянием ВнешнеГО ВОзмущения 1Гл.
хп Такое же соотношение выполняется и для многих типов у-излучений атомных ядер (для ядер а 10 'з см). Следовательно, в этих случаях, разлагая в матричном элементе экспоненциальный множитель в ряд ехр ( — !(ег) = ! — Тчег + 1 + ( — 19г)з (94,8) 10 гОΠ— Озг — р. )ь Теперь, если вычислить матричные злемеиты от обеих сторон этого равенства, используя собственные функции оператора О„то получаем искомое соотно- шение 19 (1 ! Р ! 1) = (1 1г до - Ног 11) = ам„(! ! г ! 1). Р Таким же образом можно убедиться в справедливости (94,10) для системы, состоящей из любого числа взаимодействующих частиц, если р= ~и~', р и г 1 =Х,, Подставляя (94,10) в (94,6), находим матричный элемент дипольного электрического перехода в длинноволновом приближении 1 2па (лоа + 1) Ра (кон )то+! нач) = — !ш), ~ / (еод),), (94,11) где вектор дн — — е(у)г! 1) (94;12) называется дипольным электрическим моментом перехода ! — 1, Электромагнитное излучение, обусловленное отличным от нуля матричным элементом (94,!2), называется дипольным электрическим излучением и кратко обозначается Е1.
можно учесть только первый член ряда, т. е. положить (С ! Евяг)В! !) ы (, (р ! !) (94,9) Такое упрощение называется длинноволноеым приблизкением. Если матричный элемент (94,9) оказывается равным нулю, то надо учесть следующий член в разложении (94,8). Матричный элемент от оператора импульса (94,9) можно заменить матричным элементом от оператора координаты с помощью соотношения (Цр(!) =1)ьвм Ц )г! !) Ьш)1=Е1 — Еь (9410 Доказательство равенства (94,10) легко провести в общем виде. Пусть 1 оператор Гамилшона гг'з — — — р'+ 11 (г). Тогда, используя перестановоч.- 2и иые соотношения между оператором импульса и координаты, легко получить операторное равенство % 941 КВАНТОВАЯ СИСТЕМА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 44Э Для окончательного вычисления (94,7), т.
е. вероятности излучения кванта йм в единицу времени, надо еще определить ПЛОтНОСтЬ ЧИСЛа КОНЕЧНЫХ СОСтсяНИй р(с1,е,'). ЧИСЛО. КОНЕЧНЫХ состояний системы, состоящей из атома и внешнего электромагнитного поля, при переходе атома в дискретное состояние определяется числом степеней свободы электромагнитного поля. Если учесть квантовые свойства этого поля, то каждый фотон энергии е = аы имеет импульс р = е/с. Поэтому число состояний поля в объеме У' с определенной поляризацией фотона и импульсом фотона в телесном угле 1!й с абсолютной величиной, лежащей в интервале р, р + с(р, определяется выражением !'ре ер сИ 'е'ее Ер ~И Р (2ЕЦе се (2па)е ер Поскольку — = —, то соответствующая плотность числа сове с' стояний на единичный интервал энергии равна дус уве ец се (2ес)ее ' (94,13) Подставляя (94,!!) и (94,13) в (94,7)„находим вероятность испускания фотона в единицу времени а телесном угле 011 с поляризацией ее ((г) и частотой со = еэф (94,14) Вектор поляризации е„перпендикулярен вектору распространения света (;1, поэтому, если обозначить угол между 41 и направлением днпольного электрического момента перехода 1(п через 8, то ! Ее1(Ы (е=! 1(П (ез(п'9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
