Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Теперь выражение (94,И) можно переписать в виде Гв(к р дРп+! = (пч, + 1) ~', з(п'8 дй. (94,14а) Интенсивность испускаемого в секунду излучения в элемент телесного угла с(1) получается путем умножения (94,!4а) на энергию аая Ср 1Е,Р ВГ ВШЕ. (пяе+ 1) е' (94, 14б) Из этих выражений следует, что вероятность испускания фотона отлична от нуля н в том случае, когда в начальном состоянии не было фотонов (аое 0). Такое излучение называют спонтанным излучением. Часть излучения, интенсивность которого 450 ПЕРЕХОДЫ ПОП ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ !ГЛ. ХИ пропорциональна числу ао фотонов в начальном состоянии, называют вынужденным излучением. Процессы вынужденного излучения широко используются в квантовых генераторах света— 'лазерах. Интенсивность спонтанного излучения (94,14б) совпадает со средней по времени энергией, излучаемой в единицу времени в телесный угол п(1 электрическим диполем: д(!) = 2 )~Я~~ !~ совы!. Интегрируя (94,14а) при ПО = О по всем направлениям из.
лучения, получим полную вероятность спонтанного излучения в секунду с испусканием одного фотона згмл ( м ~='3 !,РР 1( с ) Для оценки порядка величины вероятности (94,15) полоЖим Гп — а, где а — линейные РазмеРы квантовой системы, тогда Рп -й — ( — ~) — ~ — ~) . (94,16) Для систем с кулоновским взаимодействием а = е9ВМ, поэтому Рм м а ° 137 (94,16а) Из (94,16а) следует, что для излучения оптических частот (а — 1ОМ с ') порядок величины вероятности перехода в одну секунду равен 1ОВ с-'. Для излучения у-частот (ы 1ОМ с-') Ря 1ОМ с '.
Повторяя предыдущие рассуждения для оператора щ е '"~, где ш = ГВ+, можно определить вероятность поглощения в одну секунду фотона при переходе атомной системы из состояния ! в состояние 1. Если свет поляризации е„поглощается из телесного угла дй, то соответствующая вероятность поглощения в,одну секунду равна ЗВ 0Р)! ' = —,„' ! е 4~ !2дй. (94,17) Если в начальном состоянии электромагнитное излучение на* ходится в равновесии с черным телом при температуре Т, то число фотонов пв„в формулах (94,14) и (94,17) должно быть заменено на среднее значение, числа фотонов прн данной.температуре у (ез мт !)-~ В этом случае направление излучения и поляризации произвольны, поэтому в формулах (94,14) и (94,15) надо провести соответствующие суммирования, чтобы перейти к 'вероятностям, от- ээя квантовая систвмх и влвктвомлгнитнов нзлгчвннв 4х1 песенным к единице времени полного вынужденного испускания и полного поглощения фотона частоты вх Эйнштейн показал, еще до развития квантовой теории излучения, что статистическое равновесие между излучением и веществом возможно только в том случае, когда наряду с вынужденным испусканием, пропорциональным плотности излучения, имеется спонтанное излучение, происходящее и в отсутствие внешнего излучения.
Спонтанное излучение обусловлено взаимодействием атомной системы с нулевыми колебаниями электромагнитного поля. В предыдуших формулах мы рассматривали изменение состояния одного электрона в атомной системе. Если атомная система содержит не один, а несколько электронов, то надо заменить матричный элемент дипольного перехода электрона на матричный элемент дипольного электрического пеоехода всех электронов, т. е. провести замену с(я- Х Ая (!), / 1 где 2 — число электронов в системе. Матричный элемент на функциях ~р! полного оператора взаимодействия (94,!) бесспиновой частицы массы р и заряда е с электромагнитным полем, характеризуемым векторным потенциалом А, может быть записан в виде -()! ф'(() !!) — ~ ф1~ е Ар ) Ае~ф лзг ~Уя1(э 1сс 21ссе Входящую в этот интеграл родынтегральную функцию 1<ей ее е Юм= — —,~ — „„. А~фу,— фаей — —,, А Ф можно назвать оператором плотности матричного элемента пе- рехода.
При этом величина образует й-ую составляюшую плотности электрического тока перехода !-+ ~. При 1 = ! выражение (94,! 8) переходит (см. (58,6) ) в Й-ую компоненту плотности электрического тока в состоянии !. 16е 452 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУШЕНИЯ 1ГЛ, ХН Из (94,!8) следует, что плотность матричного элемента перехода з 1 ъ-~ н=-с,ь~~()н). ' ~=~ о Запись матричного элемента в виде выражения (94,19) удобна потому, что она сохраняет свой вид и в случае частиц, обладающих олином, если подставлять в (94,19) вектор плотности тока для соответствующих частиц. Так, например, для частиц со спином '(н в нерелятивистском приближении вектор плотности тока перехода должен быть выбран в виде (см.
(63,13)) 1В = — ', ~ф~грф, — (ффг) ф,~ — — „, ~фИ, — ~„Ифгпф,) Х ~], (94,28) где ф — двухкомпонентные функции. Следовательно, матричный элемент (94,19), соответствующий только спиновому взаимодействию, будет иметь вид (11П'спнн!() = 2НП ()! П(У Х А1 (1). (94,21) 8 98. Правила отбора для испускания и поглощения света.
- Мультипольное излучение Согласно (94,11) и (94,17), вероятность поглощения и испускания дипольного электрического излучения в единицу времени пропорциональна квадрату проекции матричного элемента дипольного момента на направление поляризации фотона еднп — е (Ь! ег! а). Численное значение этого матричного элемента зависят от вида волновых функций квантовой системы, в которой совершаются переходы. Для систем с центрально-симметричным полем зависимость волновых функций начального и конечного состояний от угловых переменных характеризуется сферическими функциями, т.
е. ~ а) = гоп(г) Ую (8, ф), 3 Ь)=К,(г) Ую (8, ф), (95,2) где 1, т„1ы ть — квантовые числа, определяющие квадрат момента количества движения и его проекцию на ось е соответственно для начального а и конечного Ь состояний. При отсутствии спин-орбитального взаимодействия спиновое состояние при дипольном электрическом переходе не меняется, поэтому спиновые функцин при определении состояний )а) н 1Ь) не выписаны. Простая угловая зависимость волновых функций (95,2) позволяет в общем виде указать состояния,'переходы между кото- 4 ОЯ ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ИСПУСКАНИЯ И ПОГЛОШБНИЯ СВБТА рымн соответствуют отличным от нуля матричным элементам (95,1).
Условия, определяющие возможность испускания и поглощения дипольною электрического излучения„носят название правил отбора дипольного электрического излучения. Перейдем к выводу этих правил отбора. Рассмотрим случай, когда единичный вектор е поляризации фотона направлен вдоль оси г, тогда е г=х=г у' з 1 ьо(6 Ф) Гля Подставляя это значение и (95,2) в (95,! ), имеем е,ао = ~/ з ~ Колото аг ~ У1о'"оУьой,, ~лай.
(95,3) Используя свойства ортоюнальности сферических функций и равенство 'УьоУ~„,,=АУ~,+ь л+ВУ~,-ьт,> где 4 и  — коэффициенты, зависящие от 1», гп„мы убедимся, что (95,3) отлично от нуля только при выполнении условий (правил отбора) (95,4) Вместо раздельного исследования двух других случаев направления вектора поляризации в и еу удобно рассмотреть две их линейные комбинации е„~ тек, соответствующие двум возможным круговым поляризациям фотонов. Учитывая, что Гвп (в„+ ову) г = х+ ту = — ~/ з Уь ь lа (е„— (е„)г=х — ту=г у з Уь-ь (95,5) мы убедимся, что правила отбора для излучения и поглощения фотонов, поляризованных по кругу, можно представить следующими равенствами: (о=(а ~ 1 що=поа ~ 1 ° (95,6) Если правила отбора (95,4) или (95,6) не выполняются, то дипольное электрическое излучение невозможно.
В этом случае переход из состояния а в состояние Ь может осуществляться путем испускания излучения более общего типа, когда в матричном элементе (94,9) учитываются следующие члены разложения (94,8). Так, например, если учесть второй член разложения (94,8), то матричный элемент (94,9) будет пропорционален М = (Ь | Щг) (ер)! а). 4«4 ПВЬВХОДЫ ПОД ВЛНЯНИВМ ВНВШНВГО ВОЗМЗЗПВННЯ ИГЛ.
«И Для друтнх направлений е и Я таким же образом находим Маня — 1«й(Ь!у — ! а)= д И Ф = — — ьт, Н (Ь ! у» ! а) + — (Ь ! 1.„! а), Мь 1«й(Ь !» д ! а) д — ьь р (Ь !»х ! а) +' ф (Ь ! 1.ь ! а). (95,8) Выражая произведения ху, у» и»х через сферические функции, можно показать, что матричные элементы (Ь !ху! а), (Ь !»у1 а) и (Ь !»х! а) отличны от нуля при вынолненни правил отбора: 1ь=1а !1а~21, если 1а~Оэ 1ь=2э если 1,'=О, пьь — пь = О,,~- 1, ь 2, четность сохраняется. (95,9) Излучение, испускаемое квантовой системой при выполнении правил отбора (95,9), называется кеадрунольньиа злектрическша излучением, Если направить ось у координатной системы вдоль вектора е, а ось х — вдоль вектора Д, то матричный элемент М можно преобразовать к виду М = — 1йй (Ь !х — ! а) = д ду — — йй~(Ь!х — +у — 1а)+ (Ь !х — — у — ! аф Ь С д д д д 2 ( ду дк ду д« Если !а) и 1Ь) — собственные функции оператора Нь, то, учитывая операторное равенство «ьт д д1 хуН вЂ” Нху= — (х — + у — ).
и ~ ду д«)' можно найти связь между матричными элементами (ь ! х ~ + У д„! а) = ь, (е, — еь) (ь1«У ! а). д д 1 Учитывая равенство — 1й(« — — у — )=1. преобразуем ду д«) матричный элемент М, к виду И а М = — — ьь р(Ь1«у! а) + т (Ь )Т. ! а). з гп ПРАВИЛА ОТВОРА ДЛя иснусКАИИЛ И ПОГЛОЩЕНия сВеТА 4ЗЗ (95,13) Излучение, испускаемое квантовой системой при переходах, Обусловленных матричными элементами (Ь |Е,,! а), (Ь !АР! а) и (Ь!Е„! а), носит название магнитного дилольного излучения. В квантовых системах с центрально-симметричным потенциалом начальное и конечное состояния характеризуются собственными волновыми функциями оператора Е,.
Поэтому при |Ь) чь |а) имеем (Ь|Е,[а) = О. Операторы Е„н Еу, не меняя радиальной функции и квантового числа 1, изменяют (см. $40) квантовое число т на '~!. Однако поскольку в центрально-симметричном поле состояния, отличающиеся только значениями т, имеют одинаковую энергию, то переходы между ними не связаны с испусканием или поглощением энергии. Если атом находится во внешнем магнитном поле, то энергия уровней будет зависеть от магнитного квантового числа т. В этом случае возможны М1-переходы между двумя зеемановскими компонентами уровней тонкой структуры (И = О, ат = +1).
Эти переходы можно использовать для измерения энергии зеемановского расщепления. В квантовой системе с нецентральным потенциалом орбитальный момент не является интегралом движения, поэтому матричные элементы (95,10) могут быть отличны от нуля. В системах с большим спин-орбитальным взаимодействием (атомные ядра) матричные элементы (95,10) также могут играть роль в М1-переходах..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
