Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Здесь мы рассмотрим элементарную теорию внутренней конверсии, в которой волновые функции испускаемых электронов выбираются в виде плоских волн и используется нерелятивнстское приближение. Итак, начальное состояние электрона будет описываться функцией фо(г) = (по ) ехр ( а ) ' и его (100 1) а конечное состояние в волновой функцией ф (г) = $» ьехр(юйг). (100,2) 10)=ф,(г)»р (ч) н )ЙЬ)=фз(г)ч» (ч).
(100,3) Вероятность внутренней конверсии в единицу времени для электрона в состоянии 1з будет определяться общим выражением г(Р,з — — -й — ~ (йЬ! )Р' !О) РИр, (100,4) где г(р= — в — ИЯ вЂ” число конечных состояний электронов на 'г'вйь — "~~Цв единичный интервал энергии, испускаемых в телесный угол гЯ. Если длина волны, соответствующая энергии возбуждения атомного ядра, значительно превышает а, то эффекты запаздывания взаимодействия малы и оператор )г' сводится Если обозначить волновые функции нйчального и конечного состояния ядра соответственно ~рч(у) и»рь(»у), то волновые функции .начального и конечного состояний всей системы будут иметь вид $!О1) ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И 3-МАТРИЦА 077 Подставляя это значение в (100,8), а затем (100,7) в (!00,4), находим при интегрировании по угловым переменным испускае- мого электрона (учитывая ортонормированность сферических функций) вероятность внутренней конверсии (на одном элек- троне) в единицу времени ер %ч эм-з (г (~-~ 1 ьь= 64п (йа)0 Ь~ В 3 б ° (9)+ !))0~~))~,у) 4а» 1м(йа 9~а)~0/ ° зм а (100,9) Квадрат матричного элемента, входящего в (!00,9), пропор- ционален приведенной вероятности ядерного перехода, соответ- ствующего электромагнитному излучению типа Е1 (см.
173)). На- помним, что формула (100,9) выведена при условиях: и/с'~ 1 и ЕэзГ(йо) ((1. и 10!Я. Вероятность квантовых переходов и 3-матрица В Э 90 было найдено общее выражение (90,11) для матрич- ного элемента аяш(1), определяющего переход под влиянием воз- мущения»)У из состояния (гп) в'состояние (и). Пусть состояния (пт) и (и) и нх энергии Е и Е„являются собственными функ- циями и собственными значениями оператора Гамильтона Н, двух подсистем, оператор взаимодействия цу между которыми обусловливает переходы. В представлении Шредингера оператор »Р' НЕ ЗаВИСИт От ВРЕМЕНИ Я).
В случае, когда начальное время берегся равным — сю, а ко- нечное время ! = оо, матричные элементы и (оо) обозначаются через (п(О!т) и назь)ваются матричными элементами Б-матри- г(ы. Следовательно, <,~з~ >=( )0.*0( — т) яяа)) ). н01.н Г— 5= Рехр — — ) йУ (1) с(1 й .) 00 00 Ъ = !+,' ~»Р(1)((+Я-)' ~ (1, ~ (1,»(У(1,)»)У((,)+ 00 00 00 и +(Ой-) ~ Ж ~ с((з Д с((з»Р(1~)йт((з)»(~((з)+ ° ', (!0! Х) ОО 00 00 »)Уф= ехр(-~ Не(~»(Уехр ( — Но(~ ° (!01 3) *) В $ 90 рассматривался случай, когда оператор йт относился только к одной подсистеме (например, к атому). Тогда йт было внешним возмуше- нием с соответствующей временной зависимостью (например, световая волна). %АОЦ ВЕРОЯтнОСТь КЕАнтОВЫХ ПеРЕХодоВ И 3-мАТРица 4тз Следовательно, и е Ф (п~Е<м~т> 1~( 1ж!П(1~9'~ 1 " ("-.-ч)А„ Га ~,~ Е,„=Е1+~Ч ФО = — 2п(б(Еп — Е ) ч ("! !Н (1 $™ (101 6) е~ — ег+ щ Таким же образом можно преобразовать матричные элементы следующих порядков.
В дальнейшем мы будем рассматривать только переходы, в которых конечное. состояние отличается от начального. Тогда (п~т) =О. Итак, учитывая (101,5) "и (101,6) и проведя аналогичные преобразования других слагаемых (101;4), можно записать матричные элементы 5-матрицы в виде (п! Е 1т) = — 2Ыб (ń— Е ) (я! Т 1 т), (! 01,7) где ( ~Т) >=(1(Р~ >+',)', ' ~ ~'п(Н ~ '+ + ~ч)~~ (и( аг ) 1) (11 аг ! Р) йн 1 ат! ы) + ьр (е — е, + ьф~ (е„— ен + щ) Матричный элемент (п~Т(т) называется матричным элементом перехода на энергетической поверхности. Функции (1) промежуточных состояйий являются собственными функциями оператора Н„позтому (101,8) допускает простое преобразование. Например, отдельныеслагаемые, входящие во вторую сумму (101,8)-, можно записать в виде Следовательно, энергетические знаменатели, входящие в (101,8), можно рассматривать как средние значения оператора (Š— Но+ й))-' в соответствующих промежуточных состояниях.
Таким образом, равенство (101,8) можно записать в операторной форме Т=Ф'+%'(Š— Нз+ й)) 'В'+ + ЧР (Š— Нв+ (п) % (ń— Нз+ й)) 1И7+-.. 480 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ !ГЛ. ХП Полученное операторное равенство можно рассматривать как решение методом последовательных приближений операторного уравнения Т = В" + Я7 (Š— 04 + и!)м Т.
(101,9) Из (101,7) следует, что вероятность перехода за бесконечно большое время определяется равенством И„Р (ОО) = ! (п ! 5 ! т) Р = 4пзбз (ń— Е ) ! (п ! Т ! т) ~, Если преобразовать квадрат дельта-функции к виду бз(ЕР— Е,) = г г Ит ~ е " "й(= "„в Ит й(, е(н„— д ) . ! це„-В ! — , 'Е(н„— и ) то вероятность перехода в единицу времени можно записать в виде Р„= И ( 1 = 2 б(ń— Е )!(П1Т)ги)!2.
(101,!О) нш г.ь -г В первом порядке теории возмущений Т =' )Р' и (Р31;10) совпадает с (93,3). Если оператор )Р' мал, то (!Ля вероятности перехода можно получить хорошее приближение, взяв в ряду (!01,8) несколько первых не равных нулю слагаемых. Прн больших значениях )Р' необходимо использовать много членов бесконечного ряда (101,8) или решить интегральное уравнение, соответствующее операторному уравнению (101,9). Матричные элементы различного порядка, входящие в (101,8), принято обозначать графически с помощью графиков или диаграмм Фейнмана [9У!. Если )Р является внешним постоянным полем, действующим на частицу, то матрйчному элементу первого порядка будет соответствовать диаграмма 1 И~ ! ! иа которой начальное и конечное состояния изображаются прямыми линиями, а внешнее поле )Р' — штриховой линией.
Такая диаграмма изображает процесс рассеяния частицы внешним полем. $1ЮЦ ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И З.МАТРИДА 48! Матричному элементу второго порядка в 1101,8) будет соответствовать диаграмма И~' 1 ! 11у 1 1 <Ф'1~Е' -/ф+ьр) ~1Ф''ъ~ изображающая процесс двукратного рассеяния частицы внешним полем. Таким же образом можно изобразить процессы рассеянии большей кратности. 16 А С.
дАВВААВ Г Л А В А ХП1. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПРОЦЕССОВ РЕЛАКСАЦИИ й 102. Статистический оператор динамической подсистемы Если квантовая система с гамипьтонианом Н является замкнутой, то изменение средних значений физических величин Л, характеризующих ее состояние, определяется в общем случае формулой (Р(!)) =Бр(р Ф л), где р(!) — статистический оператор (или матрица плотности р, (!)).
удовлетворяющий уравнению Лиувилля д1 (102,1) Часто интересующая нас система с конечным числом степеней свободы, которую мы будем называть динамической системой, ие является замкнутой, а находится в контакте со своим окружением, обмениваясь с ннм энергией, частицами и т. д. Такие динамические системы называются открытыми системами, В открытых системах, обменивающихся с окружением знергией и частицами, состояния термодинамического равновесия описываются (см. $14) статистическим оператором р=ехр(р(П вЂ” Н+РФ)), 0=— (йт) ', (!02,2) где р=(йТ) ', П= — — !пЕр(ехр(0(нЖ вЂ” Н))) — термодинамический потенциал системы.
Если система обменивается с окружением только энергией, то статистический оператор равновесных состояний определен выражением р= ехр (0(Р— Н)), (102,2а) где г = — — !п Зр(ехр( — !!Н)) 1 р — свободная знергия системы. Если в начальный момент времени открытая система находилась в неравновесном состоянии, то с течением времени она Д 1Щ СТАТИСТИЧЕСКИИ ОПЕРАТОР ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОДСИС дМЫ Авз будет переходить в равновесное состояние, определяемое внешними условиями (температурой и т.
д.). Процессы приближения квантовой системы к равновесному состоянию называются процессами релаксацыи. В этой главе мы рассмотрим некоторые методы исследования процессов релаксации в простейших кванто-' вых системах. Пусть Н,— гамильтоннан динамической системы, Нг — гамильтониан диссипативной системы, взаимодействующей с динамической.
Если оператор взаимодействия Н ь то полный оператор Н= На + Нг+ Нее1 (102,3) (п,л ! А,1т т )=Ь т(л,пг1А 1л лт'), поэтому (!02,4) можно преобразовать к виду (Ад) = Зра. (рдА), где ра = Вртраг — статистический оператор динамической подсистемы. (!02,5) (!02,6) !6е будет описывать замкнутую систему с помощью статистического оператора р„т, удовлетворяющего уравнению (!02,!). В соответствии с теоремой Фока — Крылова ($ з6) диссипативная система и, следовательно, полная система должны иметь бесконечное число степеней свободы и непрерывный спектр, чтобы состояние стремилось с течением времени к Гавновесному пределу. Конечно, приписывание диссипативной системе бесконечного чи-. сла степеней свободы есть идеализация, однако такая идеализация вполне оправдана, так как диссипативной системой является макроскопическое тело„ с числом степеней свободы !0е1 †!Оы в каждом куб.
сантиметре, и излучение в свободном пространстве. Пусть некоторый оператор А, зависящий от всех переменных полной системы, задан в виде матрицы (папт1А1глттд), образованной на полной системе ортонормированных функций 1п„пт)- полной системы. Введем сокращенные обозначения Яра (А) м Х (палг ! А ! глтла), Ь рг (А) = Х (лалг ! А ! лгта). д аг Основной задачей квантового описания открытой динамической системы является отыскание возможности вычисления различных средних (А,), относящихся только к этой системе. По общему правилу такие средние определяются выражениями (А )= Зр Ьрг(р ТА). (!02,4) Если оператор А, зависит только от переменных динамической системы, то КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 1гл„х1 и Таким образом, для вычисления изменения с течением времени средних значений величин, относящихся к динамической подсистеме, надо знать уравнения, определяющие изменение во времени статистического оператора р„.
Вообще говоря, это изменение зависит от состояния днссипативной системы. Однако если диссипативная система очень велика, а ее взаимодействие с динамической системой мало, то 'можно пренебречь обратным влиянием динамической системы на диссипативную, т. е. можно предположить, что диссипативная система все время находится в одном состоянии и все средние, относящиеся к этой системе, не зависят от времени. Таким образом, если до включения взаимодействия (1 = 0) между динамической и диссипативными системами статистический оператор изображался в виде произведения р (о)=р.(о)р„(о), то и после включения взаимодействия оператор рг(0) остается тем же, т.
е. раг (1)=Р (г) рг(0). (! 02,7) Это приближение можно назвать основным приближением необратимости. В этом приближении уравнения, определяющие изменение р, во времени, будут содержать помимо операторов динамической подсистемы только средние значения величин, относящихся к диссипативной подсистеме. Такие уравнения называются кинетическими уравнениями для статистического оператора р,. Следовательно, кинетическое уравнение должно иметь вид += 2'(в, р...
(Ь(1))г. " ). где Я' — функция, зависящая от операторов динамической системы, р, и средних значений (Ь(1))т величин, относящихся к диссипативной системе. В этой главе мы исследуем кинетические уравнения для не- кото ых моделей квантовых систем. К ервые исследования проблемы затухания в квантовой механике, по-видимому, были проведены Ландау [99]. Метод кинетического уравнения в теории необратимых процессов развивался в работах Боголюбова [ЮО), Кирквуда [1ОЦ, Бориа и Грина [Ю21 Ван Хова [ЮЗ) и ряде других [89, 104 — 105). й 1ОЗ. Простейшая модель квантовой системы, взаимодействующей с термостатом Рассмотрим квантовую двухуровневую систему а с энергией возбуждения Е, взаимодействующую, начиная с момента 1=0, с термостатом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
