Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Обычно рассеяние исследуется с яеполяризованными пучками частиц на неполяризованных мишенях, поэтому наблюдается среднее значение эффективного сечения. Поскольку в синглетном спиновом состоянии имеется одна спиновая функция, а в триплетном состоянии — три, то среднее значение эффективного сечения будет 'равно (предполагается равновероятное осуществление каждого спинового состояния) .4(а= — вЬ, + — с(п,= 1 3 4 в 4 =( — ")') 1 соз [Х 1п (яв (8/2)) ) ~ю~! ) з1п'(8/2) + сов'(8/2) в1пв(8/2)созв(8(2) )' тде АВЗВ 2' в ° * 2!зов ' Хорошее согласие формулы (!!3,5) с экспериментальными данными было получено Вильямсом (11Ц при исследовании рассеяния электронов с энергией 20 кэВ в камере Вильсона. Перейдем теперь к исследованию общего случая рассеяния одинаковых частиц спина 3 (в единицах 3).
Симметрия координатной функции относительного движения частиц зависит от симметрии спиновой функции системы по отношению к перестановкам спинов частиц. Двум частицам со спином 3 соответствует (23 + 1)' различных спиновых состояний, которые будут отличаться значениями суммарного спина системы и его проекциями. Пользуясь правилом векторного сложения ($ 41), можно пока.яать, что суммарный спин В системы, состоящей из двух' одина- $ ца ОБменные эФФекты пРи упРуГОм столкновении частиц ззз ковых частиц, будет пробегать (2з+1) различных значений 3=2з, 2э — 1, 2з — 2, ..., О. (113,6) Учитывая свойство симметрии (41,18) коэффициентов вектор- ного сложения и равенство з, = з, = з, мы убедимся, что при перестановке частиц спиновая функция Хам (1,2) изменяется по закону Хзм(1, 2)=( — 1)" ~Хам(2, 1).
(113,8) С другой стороны, в соответствии со свойствами системы тождественных частиц ($72), полная волновая функция Ф при перестановке двух частиц должна изменяться по закону Ез (1, 2)— = фзм(1, 2)Х,„(1, 2)=( — Ц"Ез (2, Ц, (113,9) т. е. эта функция симметрична, когда з — целое число, и анти- симметрична, когда з — нецелое число. Сравнивая (113,8)' и (1!3,9), мы приходим к заключению, что фзм(1, 2)=( — 1)'~Ьм(2, 1). (113, 10) Итак, координатная волновая функция системы, состоящей из двух одинаковых частиц, симметрична при четном и антисимметрична при нечетном полном спине системы, Следствием этой общей теоремы является то, что при рассеянии двух одинаковых частиц дифференциальное сечение рассеяния будет определяться формулами ГйФ+>=1А(О)+ А(п — О)!таей, если 3 четно, (1!3,! 1) йФ-~= ! А (0) — А (и — О) (тГ!Я, если В нечетно.
(113,12) При рассеянии частиц с произвольной ориентацией спиноз полный спин системы 3 не фиксируется, поэтому, если все возможные спиновые состояния равновероятны, то эффективное сечение рассеяния будет равно по = УР" (В„) Г(о~+> + В" (5„„) Г(ОГ-1, (! 13,! 3) где !Р" (5„), )у'(5„) — относительные числа спиновых состояний, соответствующих четным и нечетным значениям 5.
Из (113,6) Если спиновая функция одной частицы есть ~р, то каждому значению 8 спина всей системы будет соответствовать волновая функция Хзм(1, 2)= ~ (з,зтлГ,т,!ЯМ)~Р„„(!)ф, (2). (1137) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !Гл х!ч следует, что ь+! 2ь+!' 2ь+! ' 2ь+1' г+1 2г+! ' если з целое, если ь полуцелое; ~ (113,! 4а) )Р(Ег) = )Р(Е )= если з целое, (113,146) если з полуцелое. Из (113,1!) и (1!3,12) следует, что дифференциальное сечение рассеяния не изменяется при замене 0 на и — О. Таким образом, общим свойством дифференциального сечения рассеяния одинаковых частиц является его симметрия в системе центра инерции относительно угла рассеяния 0 = 90'.
й 114*. Общая теория неупругого рассеяния В предыдущих параграфах исследовалось только упругое рассеяние, при котором не изменяются внутренние состояния сталкивающихся частиц. Чтобы рассмотреть неупругие столкновения, необходимо учесть внутренние степени свободы сталкивающихся частиц. Предположим, что происходит рассеяние частицы массы !г на сложной системе А, совокупность внутренних степеней свободы которой будем обозначать буквой 5. Если масса частицы значительно меньше массы системы А (рассеяние электрона на атоме, рассеяние нуклона на атомном ядре и т.
д.), то начало координат системы центра инерции будет совпадать с центром тяжести системы А. Будем предполагать, что падающая частица не тождественна частицам, входящим в состав А, Если обозначить через г координату падающей частицы, то уравнение Шредингера, определяющее рассеяниеР будет иметь вид (Š— Н($)+ — 7г)Чг(г, $)=)Р'(г, $)Ч'(г, $), (114,1) где Е,— полная энергия; Н(е) — оператор Гамильтона, определяющий состояния системы А; )г'(г,$) — оператор взаимодействия частицы с системой А. Если !рь(я) и еь — собственные функции и собствепные значения оператора Н(Ц, то собственные значения и собственные функции оператора Н„= Н($)- — "' 7г (114,2) .можно записать в виде Вгяг Еьч=еь+ —.
2и (1!4,3) Ф = !р (Ц ехр(!пг). (114,4) % пв[ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ Собственные функции нормированы условием (2н) ~~ ) ф 5) ф'$')ехр(1ф(г — г'))ь(оь)= ь = б 9 — $') б (г — г'). (114,4а) Предположим, что начальное состояние («падающая волна») определяется функцией Фа — = Фоь = фо й) ехр ((йаг), -' (! 14,5) соответствующей основному состоянию системы А и относительному движению частицы и системы А с энергией б~й',/(212); при этом Е,=ео+л~й,1212. В конечной стадии рассеяния система А переходит в состояние фь, поэтому конечное состояние определяется функцией Фььь= ф, (й) ехр((йоши), соответствующей энергии Еь — — еь+й'йь/(2р), где йййь!(2р)— энергия относительного движения после рассеяния.
'В силу закона сохранения энергии при рассеянии должно выполняться равенство Е, = Еь, из которого следует, что энергия относительного движения после рассеяния определяется равенством ЬРЕ2 ь Ььа 2 а — =ео — е + — ° 2И ь 2И ° Различные конечные состояния, отличающиеся квантовыми числами Ь и, следовательно, внутренними энергиями системы А, называются каналами рассеяния. Канал рассеяния называется открытым, если начальное и конечное состояния удовлетворяют условию Еоаа 2Р ео — еь+ =» )О. В этом случае энергия относительного движения частиц после рассеяния положительна, т. е.
Они могут удаляться на бесконечность (реальный процесс рассеяния). Канал рассеяния называется закрытым, если выполняется неравенство Ь2Е2 ео — еь + — С О. 2я Нас интересуют решения уравнения (114,1), соответствующие «падающей волне» Ф, и рассеянным, уходящим от центра волнам. Для получения таких решений удобно перейти от дифференциального уравнения к соответствующему интегральному уравнению. Вычислим предварительно функцию Грина б !гл.
х>ч КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 538 оператора левой части уравнения (!14,1). По определению, эта функция должна удовлетворять уравнению (Е, — О,) 6 (г$ ! г'5') = б (2 — г') б (5 — 5'). (114,6) При этом функция Грина, соответствующая уходящим от центра волнам, определяется выражением 6>+>(г$ !г'$') = ( ) ( ) =У д>+>, (114,7) Ед — Нь+ >Ч Сй Ь где >+> 2,-2 ЬЬ( 21 ЬЬ! ~ 1,(2 ф (й) ф (й') ~~Р( ~~ — г 1 2(2>! (114 7а) ~3~2 Ь Ь,> А2 2„! (1! 4,8) Малая положительная величина 2> в (!14,7а) определяет только правило обхода полюса, поэтому после вычисления интеграла следует переходить к пределу 2>- О.
Для открытых каналов, т. е. для состояний Ь, в которых йь > О, функция Грина канала, согласно равенству (см. $ !07), 2 >2 > ' " ~ ~~'~ И'2 = — -2> — ~-~> >- >1!4,9> ч-+о ь Аь —.Ч +!Ч 4Я>г! приводится к виду а+">('В! Т)= — ея ф (В) р 6') ~~~'~,. ° (114,10) Интегральное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (114,1), цри «падающей волне» Ф„можно записать в виде Ч'."(., Ц=Ф.— —,,", ~ф.ВХ ь Х) <З> ~ф~-,=-,— ""-222> Г. > Р2>а 2'~- + ~~~ ~ д~+>(г5 !г'ф') %7(г'ф') Чп+>(г'ф') дф'>(Ьг', (114,! 1) Ь' где первая сумма соответствует всем возможным открытым каналам (рассеяние и реакции); вторая сумма по Ь' соответствует всем закрытым каналам (Ь2ь < 0).
Функции Грина закрытых ка- $ И4! ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ налов определяются непосредственно выражением (114;7а) 3нак '+ у функции Чч+1 указывает, что эта функция соответствует уходящим от центра рассеянным волнам. Уравнение (114,11) часто записывают в символической форме Ч"д '= Фд + (Ед — Од + »т!) )Р'Ч1~+1, (! 14,1! а) предложенной Липпманом и Швингером (112). Чтобы определить амплитуду рассеяния, надо найти асимптотическое значение (114,11) на больших расстояниях от центра, когда вклад в Ч"1+'(г, $) дают только открытые каналы (см.
$1!8). При больших значениях г й»)г — г'~ = Ь»г — й»г', где и»вЂ” волновой вектор в направлении радиуса-вектора г. Поэтому асимптотическое значение (114,1!) при больших г можно записать в виде Цг,» Ч"+'(г, Ю=Фд(г, И+,')~~ А»д41»6) — ',, (114,12) » где 4»д= д Ь» ~ Ч>ь®в 11 (г й !д (г О»!гг!»д= = — м (ай») (Ф» !)Р~ Ч'д~~) (114 !3) — амплитуда рассеяния из состояния Ф, (114,5) в состояние- Ф» — — »р» Я) ехр (1й»г), соответствующее переходу системы А в состояние 1р»Ц) и рас- сеянию частицы в направлении вектора Й» с энергией относи- тельного движения й'Ь»ь|2!». В частности, при Ь = а амплитуда рассеяния (114,13) соответствует упругому рассеянию.
Чтобы определить дифференциальное сечение рассеяния, со- ответствующее переходу а-РЬ, надо умножить (114,12) на функ- цию »р»" Щ и интегрировать по всем значениям внутренних пере- менных $; тогда получим для рассеянной волны выражение Р»д (г) =- -1 РА ГД» -1 ГА» е ° +г А,.е °, если Ь= О, (!14 14) если Ь чь а; 0 — угол между й, и направлением рассеяния. Следовательно, поток рассеянных частиц в единицу времени в телесный угол дй в направлении йь равен — ! А»д(0) !»11»д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
