Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Рассеяиие медленных нейтронов атомными ядрами Эффективные сечения рассеяния нейтронов на атомных ядрах определяются ядерными силами и зависят от свойств ядер и энергии относительного движения нейтрона н ядра. Точное вычислйнне эффективных сечений рассеяния в настоящее время невыполнимо из-за плохого знания волновых функций, определяющих основное и возбужденные состояния атомных ядер; н больших математических трудностей. Приходится прибегать к некоторым упрощениям.
Одно из таких упрощений базируется на малом радиусе ( 10 'ь-см) действия ядерных сил. Область взаимодействия нейтрона с ядром практически совпадает с объемом цдра. Если обозначить наименьший радиус, при котором еще не проявляются ядерные силы, буквой 1!. то при энергии относительного движения аьйь/(2р), соответствующей неравенству й)т « 1, в рассеянии участвуют только з-волны (1= О). Неравенство М ~ 1 выполняется в сравнительно широком интервале энергий (Π— 5 МэВ). Нейтроны таких энергий называют медленными нейгронали.
Если в первом приближении не учитывать спинов нейтрона н ядра, то вне области действия сил (г л 1г) волновая функция относительного движения нейтрона и ядра в з-состоянии может быть записана в виде гф(г)=е — оье, Зь 8 -Ь ТА еь (120,1) Эта функция нормирована на поток падающих частиц, числениц равный скорости относительного движения. Согласно (1!8,29) и КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !Гл.
хю -'570 (118,27), в этом случае полное сечение реакции и сечение упру.гого рассеяния выражаются через 52 простыми формулами о,= а, (1 — ! 52!2), (120,2) о,= —,! 1 — 52 !"". (120,3) Злемент матрицы рассеяния 52 можно выразить через безразА2ерную логарифмическую производную функции (120,1) при ,г= 12 зх ЗА ( дЕ )В Е ~, дЕ )И Е (120,7) кде х= Й!г. Выделим в логарифмической производНой вещественную н мнимую части, положив )(Е) = !2 — Й; тогда, разрешая преды.дущее равенство относительно 52, находим 5 = — е-"'1 5,= — е-'„+ +, Подставляя это значение в (120,2) и (120,3), получаем а2 ( ! А)2 ! (2' (120,6) 4я! х !2 ~,= — 2!,( +„) +е'".Я~ (120,6) Так как функция г2р н ее производная должны быть непрерывны, то значение !(Е) при г = !г полностью определяется условиями во внутренней области г < Л.
Величины !2 и !2 являются функциями энергии относительного движения. Если й = О, то ! = )2, !52!2 = 1, о, = О, т. е. имеется только упругое рассеяние, не сопровождающееся какими-либо реакциями. Значение энергии Е„при которой (2(Е,) = О, называют резонансной энергиеК При резонансной энергии сечения реакции (120,6) и упругого рассеяния (120,6) достигают максимальных (резонансных) значений.
Разложим !2(Е) вблизи одной из резонансных энергий в ряд по степеням разности Š— Е„~ тогда 222 (Е) = (дЕ ) (Š— Ег) + г Ограничившись первым членом разложения и введя обозначения 4 1яз РАссеяние медленных иентРОиов Атомными ядРАми 5т! можно преобразовать сечение реакции (120,5) к виду г,г. (120,8) Аа (И вЂ” Е )а+ Га14 ' где Г = Г,'+ Г,. В тех же обозначениях сечение упругого рассеяния имеет вид а,=4 ! АРМ+ А„!г, (120,9) где А г.1е Реа А а и — Š— Г а ° я (120,10) называется амплитудой резонансного или внутреннего рассеяния, А„= —, е'" э!и х 1 (120,! 1т о,= 4и( Аа,„(е= — ", з!и'(М) 4ИЮ (120,12) Если бы ядро представляло абсолютно отражающую сферу радиуса )т, то при г = тг волновая функция обращалась бы в нуль.
В этом случае АР, —— О, и сечение рассеяния определялось бы только формулой (!20,12). Разделение амплитуды упругого рассеяния на две части: амплитуду резонансного и амплитуду потенциального рассеяния— зависит от выбора значения )т и является некоторым формальным пуиемом. На опыте измеРЯетсЯ только сУмма АРеа+ Апет. Подставляя (120,10) и (120,!!) в (120„9), находим сечение упругого рассеяния 1 Уе + еега з!и (Щ е — и,— — г е (120,! 3) Введем обозначение 2 (Š— Е,)= Гс!яб, (120, 14) называется амплитудой внгиенгго или потенциального рассеяния,.
так как эта часть амплитуды рассеянии зависит только от радиуса К и от энергии относительного движения. Ийогда А„„называют амплитудой рассеяния на непроницаемой сфере. Это название связано с тем, что сечение рассеяния, обусловленное только этой частью амплитуды, равно [гл. Япг кВАИТОВАя'теоРия РАссеяния тогда 1 Гв ! - Г в з!и бам У Е Ег Г 2 и (120,13) принимает симметричный вид о,=-р"-~ — 'и!лбе А+э!п(нй)е'Аа~ . (120,16) Фззовое смещение 6, определяемое формулой (120,14), является ункцией энергии. В случае изолированного резонанса прн «Е„фазовое смещение 6 ж 0; при приближении Е к резонансной энергии фазовое смещение б-+я/2; при переходе Е через резонансное значение Е, фазовое смещение скачком изменяется до '— 'я/2 и при дальнейшем уменьшении 'энергии фазовое смещение снова стремится к нулю.
Полученные формулы (120,8) и (120,13) описывают рассеяние при энергиях, находящихся вблизи резонанса Е,. В области, мало отличающейся от Е„амплитуда резонансного рассеяния значнтезьно больше амплитуды потенциального рассеяния, поэтому сечение упругого рассеяния при Е ж Е, приближенно выражается только через квадрат модуля амплитуды резонансного рассеяния я Г~~ (ов)рвв Ав !вв Е )в ! Гв/4 ° '(120,16) Формулы (120,8), (120,13) н (120,16) называются формулами Брейта — Вагнера или дисперсионными формулами для изолированного резонансного уровня.и 1, равного нулю, Из (!20,8) и (120,16) следует, что при значении !Š— Е,1= = Г/2 эффективное сечение уменьшается в два раза по сравнению с максимальным значением; следовательно, Г равно ширине резонансной кривой (изображающей зависимость сечения от энергии) при значении сечения, равном половине максиьгального, Величину Г часто называют шириной резонансного уровня, Величину Г, называют-частичной шириной, отвечающей упругому рассеянию нейтронов во входном канале, так как она определяет вероятность упругого рассеяния (120,16).
Величину Г, на зывают частичной шириной, отвечающей реакции, Рассмотрим теперь простейшие случаи, при которых можно вычислить логарифмическую производную (120,4). При энергии нейтронов, заключенной в интервале .от нескольких МэВ до 40 МэВ, столкновение нейтрона с ядрами со средним и большим атомным весом сопровождается почти полным поглощением нейтронов,т. е.ядро можно рассматривать для таких нейтронов как абсолютно черное тело. Если в грубом приближении представить 4 ~ях пхссвянне медленных низал онов атомными ядпхмн зтз движение нейтрона внутри ядра функцией ~р(г), то условие полного поглощения нейтронов ядром математически выразится предположением, что волновая функция ф внутри ядра.описывается только сходящейся сферической волной, т. е.
гчр=сопз!е 'к', (120,17) где К = Й + Кз — волновое число нуклона внутри ядра; Кз « 2 2 2 1Ом см -' — волновое число внутри ядра при нулевой энергии падающих частиц. В рассматриваемой модели ядра (черное тело) внутренние свойства ядра характеризуютйя двумя параметрами: Ко и К. Значение логарифмической производной волновой функции (120,17) на поверхности ядра равно ) = — (Х, (120,18) где Х = КК. Следовательно; в этом случае логарифмическая производная является чисто мнимой: !4 — — О, 6 = Х. Подставляя эти значения, в (120,5), находим 4яхХ 4лК И(х+ Х)~ а !з+ К)~ ' При й ЖК получаем приближенное выражение 4и сопз! о ак Р"Г ' В противоположном предельном случае, когда возможно только упругое рассеяние, волновую функцию нейтрона внутри ядра следует рассматривать как суперпозицию сходящейся и расходящейся, сдвинутой по фазе на некоторую величину 2~, волн, т.
е. гч, =е ~кг ) ем~а'+м! В этом случае логарифмическая производная ) имеет только действительное значение )=6= Х!й(Х+0. (120,19) Аргумент тангенса Х+ь Х(Е) является функцией энергии относительного движения нейтрона и ядра, Резонансные значения энергии Е„определяются условием Х(Е,) = пи, где л — целое число, В окрестност1! одной 'из резонансных энергий можно написать Х(Е)=в (Е Е) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл. хпе 574 где — = |†~ . Следовательно, в области г-го резонанса ло- l де 1 В дп~е е -е гарнфмнческая производная Ь = — КИЕН (Š— Е,Ф В малой области изменения Е можно пренебречь зависимостью .К от Е, тогда из (120,7) получим ширину Г, для упругого рассеяния ЯА1Э е ~у.
Прн этЬм сечение упругого рассеяния вблизи резонансной энергии, согласно (120,16), примет вид 4яЮ (~е)рее еде(д д Р 1 Аеое й 12!. Рассеяние поляризованных нуклоиов и поляризация иуклоиов при рассеянии на ядрах нулевого спина В теории атомного ядра (см., например, [73)) показывается, что упругое рассеяние нуклонов ядрами можно описать, введя комплексный потенциал со спин-орбитальным взаимодействнел1 Ъ'(г, О)= — (1+(Ь) Р'(г)+ — — ОХ,, (121,1) где 7. = — 41РХ'Р1, а — постоянная, имеющая размерность квадрата длины.
Мнимая часть потенциала ~~У(г) учитывает поглощение нуклонов ядром. Исследуем упругое рассеяние нуклонов на таком потенциале. Уравнение Шредингера, определяющее процесс рассеяния, имеет внд (%э+ я') Ч" = —,, Р (г, о) Ч', (121,2) где и — приведенная масса нуклона и ядра: аэят/(2р) — энергия 1 ф, (г) 1 их относительного движения; Ч'=~ ~ч ()l' Функция Грина оператора левой части уравнения (121,2),' соответствующая расходящимся сферическим волнам, как показано в 5 107, имеет вид 6'+'= — (4и) ' схр ' 1 е — г' Э 1хя РАССЕЯНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ НУКЛОНОВ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 575 поэтому общее решение уравнения (121,2), соответствующее начальному состоянию, определяемому функцией Ф.
(Г, а) =Егв "Х,Г„° (121,3) можно записать в виде 1 В)=в — д! — П гг')ч'ИВ". (1214) — спиновая функция, на которую действует векторная спи. 'йгв. новая матрица Паули а. При этом )(,, =~0/, )(А, =~ (. На больших расстояниях от ядра й ! г — г' ! йг — йвг', й = й —, поэтому асимптотическое значение (121,4) можно запиг ' сать в виде +, ехр (айаг) в шв (121,5) где амплитуда рассеяния Р, определяется интегралом Г„,, = — —— ,в ~ ехр ( — Рйвг') )г (г'а) Ч" (г') е(вг'. (121,6) Для вычисления Г надо знать решение интегрального уравнения (121,4). При достаточно больших энергиях относительного движения можно ограничиться первым борновским приближением.
Подставляя в (121,6) значение (121,1) и Ч" ж Ф„получим г' =(А (О) + апВ (О)) )(, (121,7) где А(О) Н( +! ) ~ )г(г)ег(вв вв)гг(хг ЭН( +д) ~ )Г(г))о(4г)глДг (121,6) д= ! й, — йв! = 2й з!и (О/2); )в(йг) — сферическая функция Бесселя; В(О) =— На ( 1 РУ -Иг Гвг З зле'(ае) ) г Лг ) — — е в (а,(,) е в в(г= =! — Ет" — ~ з!пО ~ 1, (!)г) — г~е(г.; ° (121,9) (121, 10) и — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости рассеяния, определяемый равенством !й, )( й ) = пй' зш О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
