Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Если точка г лежит на действительной оси и функция 1(г) не имеет полюсов на действительной оси и убывает достаточно быстро при г- Оо в верхней полуплоскости, то при соответствующем выборе контура интегрирования последнее равенство можно преобразовать к виду Ю У ~, — 1п~ (г) = 2Н1 ~~)~~ р . (123,26) Здесь знак У указывает, что интеграл следует вычислить в смысле главного значения в точке г = г'.
Из (123,26) непосредственно следует связь менарду мнимой и действительной частями функции 1(е) на действительной оси йе) (е) = — У ~, — 2 (те ~~~~ рьь (123,27) Если взаимодействие между частицами обладает конечным радиусом действия, то амплитуда рассеяния вперед при й- ОО стремится к конечному действительному пределу А„(СО). Следовательно, функция 1(й) = АР(й) — Аа(ОО) будет стремиться к КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ,1гл, хгч 592 нулю при й — оо и к ней можно применить соотношение (123,27); тогда получим Йе Ао(я) — А0(сс) = — У ~ А, пя' — 2йе ~„р~, (123,28) где р — вычеты функции АВ(й), соответствующие связанным состояниям.
При рассеянии медленных частиц 31чь 1 только для 1= 0, поэтому, согласно (123,23), имеем Ао = — ''(1 — Зо). 2А Если выразить ЗА через длину рассеяния а согласно (123;22), то получим Ао())) =,~+1 (! 23,29) Из этого равенства следует, что при з-рассеянии АА(оо) = О. Действительная часть амплитуды рассеяния является четной функцией й, а мнимая часть нечетной функцией. В частном случае это утверждение следует непосредственно из (123,29». В общем случае в этом легко убедиться, если выразить с помощью равенства О1 ='ехр (2(б1) амплитуду рассеяния вперед через фазовые смешения А0= — ') ' (сов 8,з(пб1+(з)п'61) (21+ 1), 1 г 0 н учесть, что, согласно (199,23), фазовые смещения являются нечетными функциями й (Ь| — я"+'). В общем случае такая нечетность фазовых смещений следует из (123,14), если учесть, что 3(я) = ехр[216(й)1.
Учитывая нечетность 1т'АА(й), можно написать — -' ' ° 1тА0(А')НА' ( 'А'1гпл~(А')ВА' — (А') — А* Используя далее связь (118,31) между мнимой частью ампли- туды рассеяния вперед и полным сечением 1 А,(й)=",("), 4 Вя! МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ КЗ3 можно преобразовать (123,28) к виду ОЗ ААе Ао(//) — Ло( ) = — „, У ~ (,, „, — 2 йе~ р .
(123,30) ! Г (А'Рп(/г')/(А' 0 м Равенства (123,28) и (123,30) называются дисперснонными соот- ношениями для амплитуды рассеяния вперед. В $123 было показано, что аналитическое продолжение матрниы рассеяния с вещественной оси волновых чисел я = /)/ в комплексную плосность // = д, + !/!э позволяет связать ряд важных свойств квантовых систем с особенностями матрицы рассеяния в комплексной плоскости й.
В центрально-симметричном поле матрица рассеяния зависит как от волнового числа й, так и от квантового числа 1, определяющего орбитальный момент. Поэтому интересно исследовать поведение матрицы рассеяния при ее аналитическом продолжении в комплексную плоскость 1, В этой плоскости только целочисленные значения 1= 0, 1, 2, ... соответствуют реапьным орбитальным моментам системы.
При исследовании аналитических свойств матрицы рассеянна в плоскости комплексных значений 1 удобно ввести величину Л = 1 + 'Й. Тогда реальным моментам будут соответствовать значения Л ='Гм А(м ... При этом уравнение (!09,5) для радиальной функции Й/(г) преобразуется к виду /~2 Лй // — „, +йэ —, ' — 0(г)~й(й, Л;г)= О, (!24,1) где функция )((й, Л; г) удовлетворяет граничному условию (124,2) г-Ао г +/* Рассмотрим вначале э-состояние. Тогда уравнение (!24,1) и условие (124,2) принимают вид ~ —,"; +й' — и(г)1Я(~, ф; г) =О, )т(я, 'ГА; 0)=0.
(124;3) (124,4) Если на бесконечности 'потенциал спадает быстрее гэ, то уравнение (124,3) имеет два независимых решения )(й, '/А, г) и 1( — Я, //А, 'г), удовлетворяюших граничным условиям )~~ е, —; г/! -~е™, илн 1(шеА/А')р й, —; г) =1. (124,5) ! / ! 2' ,.+ш * 2' г+э $124А. Матрица рассеяния в плоскости комплексных моментов 594 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !гл. хпг Такие решения называются решениями Йоста, Они удовлетво- ряют интегральному уравнению )(й, —; г)=е '"'+ — „~ з(пй(г' — г)(7(г'))(й, —; г')дг'. (124,6) Из решений Йоста можно составить линейную комбинацию, образующую функцию 17 (й, —,'; г) = „( ',1, [И вЂ” й)) (й, —,'; г) — Цй) ~( — й, —,'; г)1, (124,7) удовлетворяющую граничному условию (124,4), если )(л) — 7 (Я, '1х; О) и )( — й) — 1( — й, Чх, О).
(124,8) Функции (124,8) называются функциями Йоста. Учитывая (!24,6), мы убедимся, что при г — со функция (124,7) принимает асимптотический вид о(й ° г) ' ~е-юи " езь~ Сравнив это выражение с (109,7) при 1= 0, находим, что функции Йоста (124,8) связаны с матрицей з-рассеяния соотношением 0()= 11"'и. (124,9) Учитывая равенство 1( — й) =1*(я) и связьЗА(я)=емз <А> матрицы рассеяния с фазой рассеяния, находим ЬА(й) = агд ~(й), т. е, 64 — — ~р(л), если 1(Уг) =Я 7Я) !е'Рп1.
Решения Йоста для общего уравнения (!24,1) обозначим через 1(~й, Х; г). Онн должны удовлетворять граничным условиям !ппеА'А')(ч- й, А; г)=1. (124,10) Решение уравнения (124,1), удовлетворяющее граничному условию (124,2), можно выразить через решения Йоста А+у 1~(й, Х; )= ц Д( — й, Х))(й, ),; ) — ~(й, Х))( — й, А; )), (124, 11) где )'(~ й, А) = — 1(-+. й, Х; О) — фннкции Йоста. Асимптотическое значение (124,11) при г- со в соответствии с (124,10) принимает вид Р, (я, Х; г) = — (г е 'А' — — — ' — ~- е'Аг 1~.
(124,11а) г"+ь г ~, 1(А, ц 2я $ 1( — А Х! Сравнивая это выражение с (109,7), находим связь матрицы рассеяния с функциями Йоста гя Я(Х, я)=е Р( — дх! ' (124,12) Предположим теперь, что А принимает произвольные комплексные значения, и исследуем поведение полученных выше выражений на комплексной плоскостнА. Можно показать, что функция Йоста ((я, Ц является аналитической функцией в полуплоскостн 1(е Х ) 0 и удовлетворяет равенству ! (й, Я,) = !' ( — я', А'). (124,13) Из равенства (124,13) и выражения (124,12) следует условие комплексной унитарности матрицы рассеяния Я'(Я', А')= Я (й, х). Согласно (124,12), прн фиксированном я матрицы рассеяния имеют полюсы при значениях 2!(й), удовлетворяющих уравнению )( — й, Х) =О.
(124, 14) Эти полюсы называются полюсами Редже. Если уравнение (124,14) имеет одно решение для каждого вещественного яз, то функция )н(й) изображает на комплексной плоскости А кривую, которую называют траекторией Редже. При наличии нескольких решений уравнения (124,14) каждому решению соответствует своя траектория Редже. Если функция 2,(я) вещественна прн йз(0, то ее полуцелым положительным значениям будут соответствовать связанные состояния системы.
Комплексным значениям А(й) при йз ) О, вещественная часть которых близка к полуцелым значениям, а мнимая мала, соответствуют резонансы в системе. Если й = — щ, то значения д<'>, удовлетворяющие равенсгву ~,.(Ч',) — —,=!. 1=0,1,2 ..., 1 будут определять связанные состояния с энергией Е = — йз(д')'(2(А и орбитальным моментом, соответствующим квантовому числу!. 4 1ьц мАтРицА РАссняния В плОскОсти комплексных моментов нж !гл. хат квантовая- теория рассеяния В качестве примера рассмотрим траектории Редже для частицы, движущейся в кулоновском поле р'(г) = — Лез/г. Как было показано в $1! 1, фаза 6!()с) кулоновского рассеяния определяется формулой (1!1,21), следовательно, матрица рассеяния выражается формулой иа ач Г((+.!+'!ьа) Г,((+ ! — !О!) ' (124,15) где г н ййа (124, 16) Если аналитически продолжить выражение (124,15) на область комплексных значений ! — 1(А), то' полюсы Я-матрнцы будут ! соответствовать' таким значениям ! = !(Й), при которых аргумент гамма-функции Г(!+ 1+ Ц) равен нулю или целому отрицательному числу, т.
е. -Р» ! (ыь) + 1 + (еьа = — т, т= О, 1, 2, ... (124,17) витя рт +тнГ / рьи41 и энергию в атомных единицах 1-ит' ! йсИ сне~!г-' ет лн 1 (!т 7 З(т+(+!)т' т=О, 1, 2 ... (124,18) Сравнивая (124,18) с (38,14), мы убедимся, что эти выражения совпадают и число т является радиальным квантовым числом л„ определяющим число узлов радиальной волновой функции стационарных состояний водородоподобного атома. На рис 25 изображены две первые траектории Редже для значений т = О и т=1, Каждому значению т будет соответствовать своя траек- -Д! тория Редже. Те места этой траектории, в которых !(я) Рис. 26.
дае первые траектории Реаже лли Прниныаст ЦЕЛЫЕ Зиаисиня воиоиоиното ато КРРвж на «Рн ы«иао- ! О, 1, ... будут соотбражвют реальные состоинии. ветствовать связанным состояниям. Согласно (124,16) и (124,17), такие состояния имеют волновое число ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ й !25. Потенциальное и резонансное рассеяние В 3 123 было показано, что процессам распада квазистационарных состояний отвечают нули матрицы рассеяния при комплексных значения йо — — д! — Й)г, д! ) О, дг) О, которым соответствуют энергии Е= Ео — — Гм 2 о (125,1) где (Й~ г) Г 2а ~~Й Исследуем более подробно вид матрицы рассеяния для энергий, близких к Ео.
Согласно (124,!2) и (124,13), при фиксированном вещественном 1 матрица рассеяния как функция волнового числа й выражается через функции Йоста 3(й)=(-!)' ""' =(-0'!"! . !( — А) Г(А) ' (125,3) Волновое число Й, распадающихся состояний удовлетворяет уравнению ((йо) = О, поэтому, разлагая функцию Йоста в области значений Йо и ограничиваясь учетом только линейных членов, получаем )(Й)= а(й — Йо) =О(й — ), +й)г).
Следовательно, при Й ж Йо матрица рассеяния (!25,3) принимает вид 3 (Й) ( .)~ а(А — Ч~+ !Чг) а' (А — Ч1 — гог) (!25,4) Введем обозначения Е= —, Е = — ', Г = — — ', е ~ =( — 1) —,. (125,6) Йгйг агйч, 2Й'чгй яо (о) г а 2И ' ' 2Н ' а' ' Тогда выражение (125,4) преобразуется к виду 3,(й)а— в е' =аг '' 1 — Г", . (125,6) Š— Е,+ — Г г Второе слагаемое в (125,5) имеет резонансный характер.
Величины Е„и Г, называют, соответственно, энергией и шириной резонанса. Сравнивая (125,5) и (125,2), мы убедимся, что при аг а~ а, они свЯзаны с энеРгией и шиРиной квазистационаРного уровня соотношениями й А Ег= Ео и Г,= — Г,. ч1 Из (125,6) следует, что при Š— Е„» Г, фазовое смешение. 6~ = 6~(О). Следовательно, 6|(О) определяет фазовое смещение КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЙ )гл. хгч вдали от резонанса. В окрестности резонансного уровня, используя равенство ',."„+ — — ехр (2( агс!и к), Первое слагаемое в (125,8) описывает потенциальное рассеяние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
