Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 103

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 103)

Если бв(0) к, 1, то сечение потенциального рассеяния а 4Я(в(+ !) бо(0) Ав (125,9) В случае е-рассеяния на бесконечно высоком потенциальном барьере радиуса )т, согласно э 110, фазовое смещение бо(0) = = — Щ следовательно, сечение потенциальною рассеяния аког = 4яяо о совпадает с поперечным сечением барьера. Третье слагаемое в (125,8) описывает резонансное рассеяние. При резонансной энергии Е = Е, оно достигает максимального значении 4я(М+ !) А квкс Ав При Е = Ег~ Г/2 сечение резонансного рассеяния равняется половине максимального значения (125,10). Согласно (125,7), при резонансе фаза резонансною рассеяния (125,10) ( 2) где а — положительное или отрицательное целое число.

Второе слагаемое в (125,8) описывает интерференцию между резонансным и потенциальным рассеянием, нз выражения (125,6) получаем бо — — б~(0) — агс(й Я(е 'е ) . (125,7) ( г) Это равенство указывает, что возрастание Е при переходе через значение Е, сопровождается изменением бв на а. Первое слагаемое в (125,7) называется фазой потенциального, а второе — резонансного рассеяния (см. также $120). Зная элемент матрицы рассеяния, можно с помощью (109,13) вычислить сечение упругою парциального рассеяния ао= — (2/+1)(1 — Е~(о=, ~~1 — е''~~(! + Š— Ег -1- — !' г $ вв! КогеРентнбй и некогеРентное РАссеяние неитРОНОЕ яэ $ 126.

Когереитное и некогерентное рассеяние . медленных нейтронов Если нейтроны (или другие частицы) рассеиваются аешь ством с упорядоченной структурой и длина волны сравнима с расстоянием между ядрами, то в рассеянии наблюдаются интер ференционные эффекты. Поскольку расстояние между ядрамх в твердых и жидких телах порядка — 10-з см, то указаннн~ выше условия выполняются для нейтронов с энергией, не пре вышающей 0,025 эВ (что соответствует длине волны 1,8)( ;к', 1О-з см).

Такие нейтроны называют тепловьикы нейтроналк Для тепловых нейтронов' безусловно выполняется неравен. ство еа я;. 1, где а — размер атомного ядра. Поэтому тепловыми нейтроны являются медленными нейтронами и их рассеяние ни отдельном ядре возможно только в состояниях, описываемьп парциальными волнами с 1= 0. Следовательно, рассеяние теп. ловых нейтронов сферически симметрично. Для данной энергнх относительного движения и определенного спинового состояния рассеяние характеризуется матрицей рассеяния с одним отлич. ным от единицы матричным элементом Ом так что соответствую шая волновая функция задачи рассеяния может быть запнсани в виде ф (г) = — (е-'~ — Я,е'~').

(126, 1) Чтобы найти связь между элементом матрицы рассеяния Я, и амплитудой рассеяния, выделим из асимптотического значеннз волновой функции задачи рассеяния ф — е!йл + е!ы А парцнальную з-волну, которую обозначим через фм Учитывая, что при больших значениях е еРА~ '1)1 (21+ 1) ч мп !Ь' — !Я/2) г-и находим ф0 = '!е-1ь (1 + 21ЕА) э~Ай) Сравнивая (126,2) с (126,1), получаем искомое соотношение Яо= 1+ 21еА. (126,3) Это соотношение следует непосредственно и из (109,10). Амплнтуда рассеяния А является комплексным числом. Полага~ А = а+ !р, находим сечение упругого рассеяния а,= —,!! — 3 ~э=4п! А ('= — 4к(аз+ Рэ), (126,4) т 1ТИ КОГЕРЕНТНОЕ И НЕКОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ ВО! так как где А =т! А +т«А = —,((У-«-1)А++УА +2Уе(А+ — А )). (126,9) Часть амплитуды рассеяния (126,9), равная А„,„=(2У+ 1) '((У +1) А,„+ УА ), носит название амплитуды когерентного рассеяния а оставшаяся часть А,„=(2У+1) '21е(АР— 'А )=ВУа (126,11) носит название амплитуды некогерентного рассеяния.

Амплитуда некогерентного рассеяния равна нулю, если А+ — — А, т. е. в тех случаях, когда амплитуда рассеяния не зависит от спннового состояния. Так, например, для всех четно-четных ядер (спин У = О) А, = О. Очень малое значение А, имеет ядро Вез.и некоторые другие нечетные ядра. Скалярное произведение операторов Уз, входящее в амплитуду некогерентного рассеяния, можно преобразовать к виду У е = У,зР+ ~ (Уя+ !УР)(зя — !зт) + — (Уя — 1УР) (эя+ 1зз). (126,12) (126,10) Как показано в 9 40, операторы У„+ 1УР и У вЂ” !УР, соответственно увеличивают и уменьшают на единицу проекцию момента количества движения на ось г.

Поэтому два последних оператора в (126,12) соответствуют переориентации спина нейтрона. Сечение упругого рассеяния на одном ядре, усредненное по спиновым состояниям, определяется выражением а, = 4Й ( «А,фф «з) = 4Й О А, + ВУ е «1), где В=2(2У+1) '(А+ — А ). (126,13) Если ориентации спинов нейтрона и ядра ие коррелированы, то (Уз) =О, а ((у е)') = ((узз'+ утзт + узз.')) = '('+ '1, д пя У=У+ 1У„ 2Уе= — (У+ 1) для У=У вЂ” 1Ут.

С помощью проекционных операторов (126,8) можно записать волновую функцию относительного движения нейтрона н ядра в виде Ф=(е'"+ А.фф —,) х,м, 4гл. хп КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ воз так как (з-„) =(з~)=(зз)='/4. Таким образом, усредненное по .спиновым состояниям сечение упругого рассеяния можно записать в виде а, =а„ + о„„ где о„, =4н~ А„,г(4=4н~ + А++ + А ~, (126,14) о, = 4ЯВ'((Ха)з) = +, ! А+ — А ~з. (126,15) Общее сечение упругого рассеяния нейтронов на ядре равно а,=о„„+а =4я~ + ! А+ ~з+ + 1А ф (126,!6) Вычислим теперь усреднешюе по спиновым состояниям сечение рассеяния тепловых нейтронов двумя одинаковыми ядрами с некоррелированными спинами.

Амплитуда рассеяния нейтронов .каждым ядром, согласно (126,9), может быть записана в виде Аээв= Аког+ В1а~ где А „и В определены соответственно (126,10) и (126,13). Поэтому ,о,(1, 2) = 4н(1 А,ээ (1) + А„~„> (2) 14) = =4н~ А„,„(1)+ А„(2) 14+ 4ЯВА((Т|а+!Аз)з).

Вследствие некоррелированности спиноз ядер ((Е4а)(44з))=0, .таким образом, ((У~а+ Юзз)з) = 2((ХЯ)з). Поэтому получаем окончательно, используя обозначения (126,14) н (126,10), а,(1, 2)=2о„„+4я! А„Р(1)+А„(2)~з. .Итак, в сечение упругого рассеяния амплитуды некогерентиого рассеяния дают независимый вклад, поэтому суммируютея сами сечения. Часть же сечения, соответствующая когерентному рассеянию, получается путем суммирования амплитуд рассеяния и последующего возведения в квадрат модуля этой суммы. Кроме рассмотренной выше спиновой некогерентностн, неко.герентное рассеяние наблюдается во всех случаях неупругого рассеяния. 9 127*.

Когерентное рассеяние нейтронов кристаллическим веществом Как было показано в предыдущем параграфе, при рассеянии медленных нейтронов системой ядер интерференционные явлении Определяются только когерентной частью амплитуды рассеяния. Вычислим теперь влияние пространственного распределения ядер з лн когв нитное вхсскянив нвггп онов кгистхллхми аОЗ. в кристаллическом веществе иа когерентное рассеяние медленных нейтронов. Для простоты предположим, что кристалл состоит из одинаковых атомов, и масса этих ядер очень велика- (чтобы не учитывать изменение их энергии движения при рассеянии (см.

$126)). Далее предположим, что положения ядер в кристалле определяются векторами решетки з л= Ха~по ь-1 (127,1) где аь аь аз — базисные векторы единичной ячейки кристалла; гн пробегают целочисленные значения, удовлетворяющие неравенствам — — <п,ч. —, 1=1, 2, 3; Ф~ Ф~ Ф,ЖзИз = Ж вЂ” полное число ядер в кристалле.

Если обозначить волновой вектор нейтрона перед рассеянием через й, а после рассеяния через л' (при этом )Ф') = ~й~), то в соответствии с результатами предыдущего параграфа можно. написать следующее выражение для дифференциального сечения, отнесенного к одному ядру, упругого рассеяния нейтронов кристаллом ~ц"' т(~А„~)) ~-1А„„Г, (127,2): где А,~,(л) — амплитуда когерентиого рассеяния (в направлении й') нейтрона ядром, находящимся в точке л; ~~'.~ здесь и в л дальнейшем обозначает суммирование по всем атомам кристалла, содержащего один атом в элементарной ячейке.

Обозначим амплитуду,когерентного рассеяния ядром, находящимся в начале координат (л = О), через А, тогда для з-рассеяния амплитуда когерентного рассеяния ядром, находящимся в точке л, будет отличаться от А только фазовым множителем, учитывающим разность фаз волн, рассеянных обоими ядрами,. т. е. (!27,3) А„„(л) = А ехр (!л (й — Ф')).

(127,4г Подставляя (!27,3) в (127,2), получим дифференциальное сече- ние упругого когерентного рассеяния КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл. х!т Для вычисления (127,4) удобно выразить'волновые 'векторы Ь и Ь' через базисные векторы'обратной решетки Ь|, Ьм ЬА, связанные с векторами прямой решетки аь аь из соотношениями Ь!=К '[атХиз[ Ьт=1 ..[изХи![ '.Ьз=!' [!т!ХМ где г'=и,[а,Хат[ — объем элементарной ячейки прямой ре-' шетки; при этом КЬ! [ЬА Х Ьз[ = 1.

Полагая Ь вЂ” Ь' = ~~~„(Ь! — Ь;) Ь! ! ! и учитывая, что а!Ь1=бьб получим п(Ь вЂ” Ь')= ~~'.~ и (Ь~ — Ь!). $=1 Подставляя последнее равенство в (127,4), находим г" (Ь вЂ” Й'), (127,5) где Р(Ь вЂ” Ь')=Ц ~~~ехр[й,[ЬТ вЂ” Ь!)) =Ц "! !-! „.„,~7 — ) 7Ь! — а!1 (127,6) — так называемый структурный фактор.

При Л!- Оо з Р (Ь вЂ” Ь') = П [2п1У!б ("! Ь! — 2кт!)), (127,7) где т! — целые числа. В равенстве (127,7) аргументами дельта- функции являются компоненты вектора в системе координат с базисными векторами обратной решетки. Если 'ввести декар-" товы координаты Й„, Й„, Й, тех же векторов, то з Ц 6(йч — Ь! — 2пт!)= Р' 'Ь(Ь вЂ” Ь вЂ” 2пт), следовательно, Р(Ь Ь ) = р МЬ вЂ” Ь' — 2пт), ( )за! (127,8) з где т=,~~~ Т,Ь,— вектор обратной решетки, определяемый через ! 1 базисные векторы Ь! обратной решетки и целые числа т!, назы-" ваемые ииллеровскими индексами отражающих бреггоеских плоскостей.

Характеристики

Список файлов книги