Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Я'(й'). (123,18) Из условия (123,18) следует, что если Я-матрица равна нулю в некоторой точке Я1 комплексной плоскости, то она обязательно должна иметь полюс в точке й1= й(, расположенной симметрично относительно действительной оси. Исследуем, какие физические явления описывает матрица рассеяния, рассматриваемая как функция комплексных волновых чисел; а) Волновое число й действительно (дг — — 0). В этом случае матрица рассеяния описывает истинные процессы рассеяния. ° ° ° й (йя дисперсионные соотношения в теории Рйссеяния ззт б) Волновое число й является чисто мнимым ((1( =О), т. е.
2 айчй (123,! 9) Отрицательным энергиям могут соответствовать связанные состояния системы. Для этого необходимо, чтобы квадрат модуля волновой функции был конечен, т. е. должно выполняться ра- венство ! С' ! ~ ! ей*' — 3 (й)у) Е-гит )Чг = о = конечному числу. о3 Для выполнения этого условия необходимо, чтобы ()й(0 и 3(йуу)=0. (123,20) Итак, связанным состояниям системы соответствуют нули функции 3(й), лежащие на отрицательной мнимой оси, и полюсы функции 8(й), симметрично расположенные на положительной оси. Можно показать, что функция Я(й) не должна иметь нулей в нижней комплексной полуплоскости, кроме нулей,на мнимое оси.
Допустим, что Я(й) имеет нуль в 1(( квадранте, т. е. при значении й( — — (1(+ и)ь где (1( ) 0 и Чй 0; тогда функция (123,12) при А = й, будет иметь вид Рис. 24. Нули (кружки] и полюсы (крестики) матрицы рассеяяия Я (й) яа комплексной плоскости а=а, + (Зн Нулн ( соответствуют захвату. яулн у — связаняым состоюоым, нули а — радиоактивному распаау системы. нули 4 †виртуальн состояниям. ф= — ехР ~ — ~Ч(г+ З' 1)~ехр( Чуг 2 Л1) ° Л = — 26()(()й/(а. Такой функции соответствует входящий внутрь сферы радиуса г поток с плотностью, в каждый момент времени 1 равной (С!тзд( — —; — ехр ( — 2()йг — Л().
Но это противоречит уменьшению с течением времени квадрата модуля волновой функции внутри сферы радиуса г из-за временного множителя ехр( — Л1), так как Л= — — ) О. Та62д(дт ким же образом можно показать, что функция 5(А) не имеет нулей в Ш квадранте ((1(ж О, ()й(0). Следствием (123,!8) тогда будет отсутствие полюсов в верхней полуплоскости (за КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !Гл. х!у исключением полюсов на положительной мнимой. Оси). На рис. 24 указаны возможные положения нулей и полюсов матрицы рассеяния 5(й) на комплексной плоскости й=д!+14ь Нули функции 5(Й) при !)! ) 0 и дз ) 0 соответствуют процессам захвата.
Нули функции О(Ц прн д! <0 и дз>0 соответствуют процессам распада. Итак, процессы распада определяются условием О'(у! '+ й),) = = 0 при д! <О и дз О. В этом случае энергия состояния комплексна: Е=д(ео — Л11. гдевз= —, Л= — — '' <О 1 ! э (Ф! а 2!!д!д, и волновая функция (123,12) принимает вид с й ф(Г, !) — — ЕХР~ — Ю (Ц!à — Щф) + !)АГ— Таким образом, ) ф(г, 0) (!= — ехр( — ЛХ вЂ” 2дгг), 1сР н поток, выходящий из сферы радиуса г, имеет плотность1,= = — — 1 ф(г, 1) (А.
Следовательно, процессы распада 'отвечают ьч! квазистационарным состояниям системы, т. е. состояниям с раз- мытыми энергетическими уровнями, ширина которых ЙЛ опреде- ляется временем жизни т с помощью равенства Л = В/т. Квази- стационарные состояния проявляются в рассеянии в виде резо- нансных максимумов на кривой, изображающей зависимость сечения рассеяния от энергии (см.
5 125). Если для некоторого состояния системы матрица рассеяния обращается в нуль на положительной мнимой оси (д! = О, дз > 0), то соответствующая волновая функция на больших рас- стояниях экспоненциально возрастает. Такие состояния назы- вают виртуальными, или антисвлзанными. Виртуальные состоя- ния, в отличие от распадаю!цихся квазистационарных состояний, имеют Л = 0 и отрицательное значение энергии Е = — йздЦ(21!).
Однако они не мбгут отражать реальных стационарных состоя- ний, так как соответствующие им радиальные волновые функ- ции экспоненциально возрастают при удалении от центра. Нулю матрицы рассеяния при й = аз (дз)0) должен соот- ветствовать полюс при й = — !!)ь Поэтому матрица рассеяния должна иметь вид О(Ц вЂ” (л — й)з)/(Й + аз) и сечение упругою з-рассеяния (120,3) будет иметь вид и! — — — ) 1 — 8(Ц)А я 4я Аг А'+д, '' Аналогичное поведение сечений з-рассеяния соответствует и связанным состояниям: Однако соответствующие им волновые функции экспоненциальио убывают при удалении от центра. Ь 1ЯЬ ЦИСПЕРСИОННЫЕ' СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ЗЗ9 Виртуазьные состояния можно рассматривать как предельный случай распадающихся состояний при стремлении д~ к нулю, Тогда плотность потока 1„также стремится к нулю.
Виртуальные состояния могут возникнуть при уменьшении потенциальной энергии притяжения в системах со связанными состояниями. Пусть, например, потенциал притяжения имеет внд $(!(г), где $ — безразмерный параметр. Предположим, что при некотором значении $ в системе имеется стационарное состояние с д~ =О, дз(0 и энергией Е= — ЛгдЦ(2!А). По мере уменьшения $ значение дз увеличивается, следовательно, его абсолютное значение и энергия Е уменьшаются. Прн некотором.
значении $, опн оба принимают нулевые значения. При дальнейшем уменьшении З величина дь пройдя через нулевое значение, сделается положительной и связанное состояние перейдет в виртуальное. В качестве примера, иллюстрирующего зависимость матрицы рассеяния от волнового числа я, рассмотрим рассеяние нейтрона на протоне. Как было указано в 9 110, такое рассеяние характеризуется в синглетном спинозом состоянии длиной рассеяния а, = — 2,5 !О-м см, а в триплетном спинозом состоянии в длиной рассеяния а~ = 4,3 10 'ь см.
Учитывая (110,15) и связь матрицы з-рассеяния с фазовым смещением ым ь!К Ьь+ ! (123,21) Мазь — ! ' находим и.'. à — + й) ( — „— й) при сннглетном рассеянии, (123, 22) Г )( 1!! — + й1 ~ — й) при триплетном рассеянии. аЬ ) 1 ЯЬ Ю(я) = Таким образом, матрица рассеяния Е(н) в триплетном спинозом состоянии имеет нулевое значение (соответствующее связанному состоянию системы — дейтрон) на отрицательной мнимой оси при значении й = — !/аь = — !2,32.10Ш см-'.
Энергия этого состояния Е, = — Дь/(21Аа",) = — 2,23 МЕВ. Синглетному спиновому состоянию соответствует нуль функции Е(я) на положительной оси при значении й = — !!а, = !0,40. 1Оы см-'. Энергия этого виртуального состояния Е, = — 0,066 МЕВ. В общем случае упругое рассеяние в центрально-симметричном поле характеризуется набором.
диагональных матричных элементов Еь которые, согласно (109,8), связаны с амплитудой рассеяния соотношением А (6) = — '~ ~ (21 + 1) Р, (соз 8) (1 — Е~). (123.23) Ю-Ь КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [гл. хпГ Таким образом, амплитуда рассеяния также является функцией волнового числа я, и ее можно аналитически продолжить в область комплексных значений й.
При этом нулям и полюсам матрицы рассеяния будут соответствовать 'нули и полюсы функции йА(0). В частном случае рассеяния в кулоновском поле (см. (1! 1,10)) эта функция имеет внд ЛГ(1+!Л) ехр[ — 21Л!пе(п(В/2)1 ЕА(0)— 2Г (1 — !Л) е!пе (В/2) где (123,24) Нули функции ЙА(0) соответствуют значениям Л, при которых аргумент гамма-функции Г(1 — 01) равен целому отрицательному числу или нулю, т. е. при значениях йй = п, где и = = 1, 2, ... Подставляя этн значения в (123,24), находим значения й, при которых функция ЕА(0) обращается в нуль (123,26) где знак плюс соответствует случаю отталкивания, а знак минус — случаю притяжения.
Таким образом, при кулоновском притяжении между частицами функция ЕА(0) имеет нули, лежащие на отрицательной мнимой оси, при значениях !г 2 е я Ь'и Этим значениям й соответствуют связанные состояния с энергией В2А2 2222 4 п 1 и 2р 2яепе ° При Яе = 1 эта формула в точности совпадает (см. $30) с дискрегными уровнями энергии электрона в поле ядра заряда 2!е. Итак, связанным состояниям системы соответствуют нули функции ЙА(0) на отрицательной мнимой оси.
Обратная теорема не.всегда справедлива. В некоторых случаях матрица рассеяния может иметь лишние нули, не соответствующие связанным состояниям. Лишние нули матрицы рассеяния всегда отсутствуют в системах с потенциалом конечного радиуса действия. Поэтому при вычислении спектра связанных состояний можно исключить лишние нули, заменив реальный потенциал потенциалом с обрезанным краем на некотором достаточно большом расстоянии Й.
Затем в выражениях, определяющих нули матрицы рассеяния этой модифицированной системы, следует перейти к пределу 1(- пп (см. примеры в книге (110)). $ Щ ДНСПЕРСНОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 59! Амплитуда и матрица рассеяния являются аналитическими фУнкциЯми в комплексной плоскости й = 9~ + Й1ь Это их свойство является следствием принципа причинности, согласно которому причина должна предшествовать следствию.
Аналитические свойства матрицы рассеяния зависят от вида потенциальной энергии. Используя аналитические свойства матрицы рассеяния и амплитуды рассеяния на потенциале конечного радиуса действия, можно по аналогии с рассмотренным выше случаем диэлектрической проницаемости установить ряд полезных (см. работы ' [!16 — 119]) интегральных соотношений, которые также носят название дисперсионных соотношений. Здесь мы рассмотрим только простейшие дисперсионные соотношения для амплитуды рассеянии вперед Аа = А(б). Дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния вперед легко получить, если учесть, что для любой аналитической функции 1(г) от комплексного переменного е согласно теореме Коши можно написать равенство ф, ~ =2п1~~)~~р, где интегрирование ведется по замкнутому контуру, не включающему точку г, ~~'., р обозначает сумму вычетов от всех полюсов функции 1(г) внутри контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
