Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 100
Текст из файла (страница 100)
заменить %'~+> функцией ф~+!, удовлетворяющей интегральному уравнению (122,8), имеем Т "= <Фь! $/В | ф(+>>+ (ф', )! $/А! ф(+>>- 2 123*. Дисперсионные соотношения в теории рассеяния Дисперсионными соотношениями в теории рассеяния называются интегральные соотношения, связывающие действительную и мнимую части амплитуды (или матрицы) рассеяния.
В этом .параграфе мы рассмотрим простейшие дисперсионные соотношения для нерелятивистских энергий относительного движения взаимодействующих частиц. Дисперсионные соотношения впервые были введены Крамерсом и Кронингом (1927 г.), которые установили интегральные квлггтовля теовия вассвяния !гл. хпг (123,1) Тогда, вводя диэлектрическую проницаемость з(ю) с помощью соотношения Ю(от) = з(га) Е (ю), получасы е(ю) =1+ ) Р(т)е" с(т.
с Эта формула определяет зависимость диэлектрической проницаемости от частоты, т, е. закон дисперсии. В общем случае функция з(ю) комплексна. Непосредственно из определения (123,2) е) В общем случае г(г) является симметричиым теиаором второго ранга, компоненты которого являются фуикииями времени. соотношения между мнимой и действительной частями диэлектрической проницаемости вещества. На примере диэлектрической проницаемости легко выяснить физические условия, приводящие к дисперсионным соотношениям, поэтому мы кратко остановимся на выводе этих соотношений. В слабых электромагнитных полях вектор индукции Х~ = =Г+ 4иР, где Р— электрический момент единицы объема диэлектрика, линейно связан с напряженностью д' электрического поля. В полях, изменяющихся с течением времени, из-за эффектов запаздывания значение электрического момента Р единицы объема вещества в данный момент времени зависит, вообще говоря, от значений гс во все предыдущие времена.
Эта зависимость выражается интегральным соотношением П(!) =ж®+ ~ Р(т) ж(! — т) ат. о В согласии с принципом причинности интегрирование в (123,!) производится лишь по времени, предшествующему времени й В случае изотропных тел Р(т) — конечная вещественная функция времени*) и притом такая, что интеграл в (123,1) всегда сходится. Это обстоятельство является следствием того, чтозначение Р(!) должно быть конечным при 'конечном гв и недолжно зависеть от значений Ю в очень отдаленные моменты времени.
Следовательно, при !- оо функция Р(!) достаточно быстро стремится к нулю. Интервал значений т, в котором функция Р(!) заметно отличается от нуля, определяется временем запаздывания процессов, приводящих к установлению электрической поляризуемости диэлектрика. Перейдем в (123,!) к компонентам Фурье для индукции и напряженности электрического поля, т. е. положим Ю сч В(!) = ) х)(ю) е '"'г!ю, Г(!) = ) Ю(ю)е-'"'г!ю. 4 ВВ ДИСПЕРСИОННЫВ СООТНОШЕНИЙ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ Еаз следует, что она удовлетворяет равенству е (в) = е' ( — в) . (123,3) Если выделить действительную и мнимую части с помощью соотношения е(в) = а(в) + ю'а(в), (123,4) то используя (123,3), получим два равенства а( — в) =а(в), а( — в) = — а(в), (123,5) которые показывают, что действительная часть диэлектрической постоянной является четной, а мнимая — нечетной функцией частоты.
Соотношение (123,2) определяет диэлектрическую проницаемость как функцию действительной переменной. Рассмотрим теперь е как функцию комплексной переменной, т. е. положим 1+ ~ Р(т) ейгглт о где а= в+)у, У~О. При у ~0 интеграл расходится. Поэтому для значений у(0 функция е(е) определяется как аналитическое продолжение формулы (123,6). Поскольку г(т) конечна во всей области значениий 0 < т ( ОО, то функция е(е) в верхней полуплоскостн е, включающей вещественную ось, т. е. при у ~ О, имеет конечное значение.
Этот результат является следствием принципа причинности, благодаря которому интегрирование в (123,6) выполняется только для значений т ) О. При стремлении а е верхней полуплоскости к бесконечности функция е(е) стремится к единице. Рассмотрим теперь интеграл е (г) — 1 г — ю Ф с в котором интегрирование проводится по бесконечно большому замкнутому контуру С, идущему в положительном направлении вдоль всей действительной оси, обходя сверху по бесконечно малой окружности радиуса р точку а= в и замыкающемуся бесконечно удаленной полуокружнастью, лежащей в верхней полуплоскости переменной е. При а- со значение е(а) — 1 стремится к нулю, поэтому подынтегральная функция стремится к нулю быстрее, чем 1/а, и интеграл ! Сходится.
Поскольку подынтегральная функция не имеет особых точек внутри контура С, то этот интеграл равен нулю. С другой стороны, интегрирование в 1 по бесконечно удаленной полуокружности дает КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл. х!а нулевой вклад, а интегрирование вдоль всей действительной оси приводит к выражению а Р ° О о=ю-ц ( ( '~'~ 'а .!- ) '~'~ 'а,~; !,в ч а+Р где слагаемое — (п[е(в) — 1] появилось в результате интегрирования по бесконечно малой полуокружности, обходящей точку я = в по часовой стрелке. Полученное равенство можно записать в виде е(в) — 1= —. г! с(а, У Г х(х) — ! (123,7) где о.
указывает на то, что интеграл в (123,7) вычисляется в смысле главного значения. Отделяя в (123,7) действительную и мнимую части, получаем два равенства, которые называются диснерсионными соотношениями Крамерса — Кронинги ЮО в а(в) — 1 = — г! — дг, о(в)=— У Г о(х) У ( а(х) — ! с(г. я г х — в п,~ в — х Учитывая, что согласно (123,5) функция о(а) является нечетной, а функция а(я) — четной функцией действительной переменной з, можно преобразовать эти равенства к виду СО а(в) — 1= — У, „дз, 2 Г хо(х) (123,8) о(в)= — ),, дя.
2вУ 1 а(х) — ! о (123,9) Формулы (!23,8) и (123,9) позволяют вычислить функцию в(в), если известна функция о(в), или вычислить функцию о(в),если известна функция а(в). Поглощение энергии диэлектрическим веществом определяется мнимой частью диэлектрической проницаемости. Поах скольку интеграл У вЂ”,, тождественно равен нулю, то из (123,9) непосредственно следует, что в среде без дисперсии, т. е. когда а(в) = сопз1, мнимая часть диэлектрической проницаемости равна нулю. Другими словами, любая диспергирующая среда одновременно является и поглощающей средой. 4 12а диспеРсионные сООтнОшения з теОРии РАссеяния 5зч В $98 была получена формула для действительной части диэлектрической проницаемости (при условии пренебрежения затуханием) а(о2) — ! = 4яе222 'кч !Ао П 2~4 '2 2 Это выражение можно преобразовать к виду 4пе2У Г ъ-2 !Аоа (е — о2оо) и ( ) ~ >~~4 е2 2 о о (123.10) Сравнивая (123,10) с (123,8), находим явное выражение мнимой части диэлектрической проницаемости через силы осцилляторов переходов Еяее222 и (о2) = )' ~ )'ооб (о2 — оооо).
(123,11) Если учесть время жизни возбужденных состояний, то дельта- функции в правой части равенства (123,11) заменяются более плавными функциями с максимумами при значениях оо = о2оо. Пользуясь теоремой о сумме сил осцилляторов (98,!0), путем интегрирования равенства (123,11) получаем интегральное ра- венствО 22 Ее пел Ее я21ТХ () ь= — „ о о где Ж вЂ” число атомов в единице объема; 2 — число электронов в атоме.
Для иллюстрации основных идей, используемых при выводе дисперсионных соотношений в теории рассеяния, рассмотрим простейший пример з-рассеяния бесспиновых частиц центрально-симметричным полем. Согласно $109, радиальную частьволновой функции, описывающей з-рассеянне в потенциальном поле конечного радиуса действия, можно записать в виде )г(г, Г)=гф(г, Г)=С(е-'о' —.Я(я)е222)е-2™. (123,12) В (123,12) мы включили также зависимость ог времени. Диагональный элемент матрицы рассеяния О(я) 'является функцией энергии относительного движения илн волнового чиспа й. По определению, матрица рассеяния Я(л) является оператором, преобразующим расходяшуюся часть падающей волны е'о' в функцию я(й)е222, описывающую рассеянную волну.
Заменяя в (123,12) й иа — й, получим гт(г, Г)=СЯ( — я)(е-2ог — 3 '( — й)е'о)е 'е"", (123,13) ЯЗАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССБЯНИЯ 1гл. Хгч Сравнивая (123,43) и (123,12), мы убедимся, что матрица з-рассеяния должна удовлетворять равенству Я(й)=Я '( — й), или Я(й)Я( — й)=!. (123,14) Далее из унитарности матрицы рассеяния (см.
$ 118) следует равенство Я (й) = Я'(й). (123,15) Матрица рассеяния Я(й), определенная как. функция действительного переменного, может быть аналитически продолжена на область комплексных значений волнового числа й. Комплексным значениям волнового числа й=д, +1дг (123,16) соответствуют комплексные значения энергии Е= Ео — 2 ЛЛ = ~ [(д~г дгг) + 21дгдг~. (123,17) Комплексные значения энергии используются в физике для описания нестационарных состояний системы.
Величина Л, входящая в (123,17), определяет вероятность «распада» системы в единицу времени и называется постоянной распада. Она положительна, если квадрат модуля волновой функции убывает с течением времени (радиоактивный распад), и отрицательна, если квадрат модуля волновой функции возрастает с течением времени, например при захвате нуклона ядром. Если аналитически продолжить Я(й) на Область комплексных значений й, то свойство матрицы рассеяния, выраженное равенством (123,14), сохраняется. Однако равенство (123,15), выражающее унитарность матрицы Я, становится несправедливым. Сравнивая при 1= 0 (123,12) с его комплексно сопрюкегь ным значением, можно убедиться, что должно выполняться соотношение Я '(й) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
