Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Каждому вектору обратной решетки т соответствует семейство параллельных'кристаллических плоскостей, уравне- когееентное гзссеяние пантеонов кгнстзллзмн зов % !2п з ния которых т Х т~аз — — лз, где тн гь чз и лз — целые числа. Рас! ! стояние между соседними такими плоскостями д = )т) '. В случае простой кубической 'решетки с ребром куба а '(=и(т~~+т1+тзГ ' т~ "з тз=О, 1, 2, ... Учитывая (!27,8), получим отнесенное к одному ядру дифференциальное сечение упругого когерентного рассеяния нейтронов большим монокристаллом ()з'- аа) в виде аа(а') (2я) 1А 1з аИ р Из (!27,9) следует, что дифференциальное сечение рассеяния имеет резкие максимумы в направлении векторов й', удовлетворяющих условиям й — Ф'=2пт, (й!=! й'), (!27,10) которые называются условиями Брегга.
Условия Врегга выполняются всегда для рассеяния вперед (й = й'), когда т = О. Обычно, однако, рассеянием называют отклонение нейтронов от первоначального направления движения, поэтому случай т = 0 будет исключаться. Для кристаллов конечных размеров дельта-функция (127,9) должна быть заменена функцией (127,6), имеющей максимумы с конечной угловой шириной, по порядку величины равной (Н.) — з, где !.— линейные размеры монокристалла. Если упругое рассеяние нейтронов изучается на поликристаллах, то дифференциальное сечение.
рассеяния можно получить нз (!27,9) при усреднении по всем направлениям вектора т при заданной его абсолютной величине. При фиксированном значе-. нии т определенному волновому вектору падающих нейтронов й будут, согласно'(127ДО), соответствовать направления К образующие с направлением й угол О, удовлетворяющий условию з!и — = — или И з)п — =Х, 6 ят 'в 2 а 2 (127 10а) где з(= 1/» — расстояние между брегговскимн плоскостями в кристалле. Из (127,10а) непосредственно следует, что вклад'в рассеяние будут давать только значения т, удовлетворяющий неравенству т < — пли Х(24. А Следовательно, для нейтронов с длиной волны, превышающей удвоенное наибольшее расстояние между кристаллическими плоскостями, брегговское условие для рассеяния с Очи О не КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !Гл, х1т — ~лА рм я — Йъ~ ° Р2711) Введем среднее значение амплитуды рассеяния А =ф',)', А„, (127,12) тогда А = А "+ ЬА Х ЛА = О.
Подставляя (127,13) в (127,11), можно написать ая(а') ( ла(А') ) + ~ аа(а') ) (!27,13) (127,14) (127,15) где — сечение когерентного рассеяния, совпадающее с (127,4). Опо сильно зависит от угла рассеяния, имея резкие максимумы для направлений, удовлетворяющих условиям Брегга (127,10). Из (127,!5) следует, что когерентной амплитудой рассеянии является среднее значение (!2742) амплитуд рассеяния отдельных изотопов.
Второе слагаемое в (!27,14) имеет вид Ы) = у ~~)~~ )~~~ ЬА„А;; ехр (((й — й') (л — л'))= = л ~~~~ ехр ((т (й — й')) ~ ЛА + ЛА . вьшолняется ни для одного из микрокристаллов. Такие нейтроны проходят через кристалл, почти не рассеиваясь в стороны. На этом свойстве основано действие фильтров, обрезающих в проходящем пучке нейтронов коротковолновую область спектра. В качестве фильтров берутся микрокристаллические вещества, обладающие малым поглощением нейтронов и только когерентным рассеянием.
Часто используют окись бериллия (й 4,4 А), или графит (с( = 6,7А). Предположим теперь, что кристалл состоит из ядер элемента, обладающего несколькими изотопами, распределенными по узлам правильной кристаллической решетки. Допустим, что массы ядер бесконечно велики, спины равны нулю и свойства рассеяния нейтронов изотопом, находящимся в я-м узле, определяются амплитудой рассеяния А„. Тогда сечение рассеяния (отнесенное к одному ядру) в единицу телесного угла в направлении й' будет равно $1281 упРугое РАссеянне медленных нейтРОЯОВ ХРнстАллАми вот При беспорядочном распределении изотопов по узлам решетки для каждого значения иьчьО, ОА' н ЛА„+ независимы, поэтому ~~ ЬА +~ЛА" =О, и сечение рассеяния (ФЯ) 4 УХ ие зависит от угла рассеяния и может быть названо диффузным изотопным рассеянием, обусловленным изотопической некогерентностью.
Если все изотопы, входящие в состав кристалла, имеют одинаковую амплитуду рассеяния, то изотопическая некогерентность отсутствует. й 128*. Упругое рассеяние медленных нейтронов крнсталламн с учетом колебаний атомов При исследовании упругого рассеяния нейтронов кристаллом с учетом колебаний атомов около положения равновесия удобно использовать аналитическое выражение энергии взаимодействия медленного нейтрона с отдельным ядром в виде ядерного псевдо- потенциала, введенного Ферми (120] ялль У (г) = — — АЬ(г), и где А — амплитуда рассеяния медленного нейтрона ядром. Потенциал (128,1) выбран так, чтобы уже в борновском приближении эффективное сечение рассеяния правильно выражалось через амплитуду рассеяния.
Действительно, подставляя (128,1) в (108,5), имеем ~'"ЬР Я Ь Рь р21... ! (~рь ! 1" ! М )ь = —, ! А !ь. Итак, оператор взаимодействия медленного найтрона с кристаллом, состоящим из ядер одиоизотопного элемента со спинам нуль, можно записать в виде У(г)= — — ~б(г — 11„), (128,2) (128,1) где Ю вЂ” радиус-вектор, определяющий положение ядра в кристалле. Если базисные векторы единичной ячейки кристалла иь иь иь то Юп = и+ и, где вектор и =,'~~~пьа, указывает узел решетки, а вектор смещения и„характеризует отклонение ядра от равновесного положения в и-м узле.
При не очень высоких температурах потенциальная энергия (П) колебаний атомов кристалла представляет собой квАнтовАя твоРия РАссеяния [ГЛ. х!ч / 2 ЧГ~ и„= ~~ — т е у Г(дв) (!28,4) здесь М вЂ” масса ядра; ~ з!и (йл), если дз > О, Р(Чи) =~ (128,5) 1 соз(2п), если ~7з < О; 99,Р(т)п) — плоские стоячие волны с волновым вектором и и поляризацией /, характеризуемой тремя единичными взаимно ортогональиыми векторами е91 для каждого вектора и. Вектор д определяется равенством %'ч 2я д=~ — „, ч,й„ где Ь; — введенные в $127 базисные векторы обратной решетки; 1!1 — целые числа, удовлетворяющие неравенствам — — <917( —, 1=1, 2, 3..: 1т~ .
/чу 2 Легко убедиться, что функции г'Цп) удовлетворяют соотношению ~)~~ Р(дв) г'(дп') — Жб 1 В дальнейшем для простоты записи вместо двух величин д и ! будем пользоваться одним индексом з — (и, !); тогда (128,4) примет вид "-= ~' ми Хе,УГ(4.). Г 2 Волновая функция, описывающая колебательное состояние, соответствующее знергии Х ле,т, при определенном наборе в квантовых чисел (т.) осцилляторов, будет иметь вид Ф =Ц~з (~'), где «,=)/ —; ф 1~' ! — нормированная волновая функция гармонического та 1яа/ квадратичную функцию смещений ядер из положений равновесия и может быть записана в виде суммы квадратов и = —,',')',;,у',р (128,3) Ге где у91 — нормальные координаты, связанные со смещениями из положений равновесия соотношениями [гл.
хщ кВАитовзя теоРия РАссеяния значениями х М„, (и) — 1 — — (),' ~т + ) Рч (дв)р м.,;.,()= — а)~/ф р(д ), (!28,9) где А) — = (й — К)е ф'— / 2Ь МАДА, (128,10) Разделив (128,6) на скорость падающих нейтронов — и зз в число ядер в кристалле М, получим эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла,:отнесенное к одному ядру, — ( Я й' (а) (', (128,1 1) При упругом- рассеянии й'= й и ч,' =т,. Подставляя (128,7) при этих значениях в (128,!1), находим — ';; =~РрР)Л-РЬ<Р— РА('и*. (128,12) и'= р( — р ~0,(,.р — )) (ррр,рз) Для сравнения с экспериментальными результатами необходимо усредннть полученное выражение по всем начальным состояниям колебаний решетки.
В результате такого усреднения квантовые числа т, в (!28,13) заменяются Йа средние значения Учитывая, что при х малом, 1 — х ж е, можно преобразовать последнее выражение к'виду и'=-р( — Хи(..+4) рчри): Далее, пользуясь определением функций )г(р!л) (128,5) можно при суммировании по з (напомним, что суммирование по з включает суммирование по всем значениям д) объединить поАпарно члены, отличающиеся только знаком д,.
Тогда, учтя, что Гд;> ч Ып) + Рв < о (Фп) = 1, находим $ !ас] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОс!ОВ КРИСТАЛЛАМИ Е1! у,=(е а! — 1), где Т вЂ” температура кристалла в энергети/ ьаа/Г ческих единицах. Итак, эффективное сечение упругого рассеяния нейтронов кристаллом, отнесенное к одному ядру, принимает вид — = — ~~)~!~ ехр (ауя (й — й')) ехр ( — 2%'), (128,14) с!сс ~Л)а ! где 4Х( а+ 2) (128, 15) следовательно (128,16) где ~~.", обозначает суммирование по всем возможным частотам нормальных колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
