Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 99
Текст из файла (страница 99)
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !гл. хир где 1 (д) ~ ~ )~ (дг) — гз дг. о (121, 14) Используя равенство хз!А(х)= (хз),(х)) и выполняя в (121,12) е! интегрирование по частям, преобразуем 'А(8) к внлу А(Е) = — „~," (!+ а Е.) ®. (121,15) Если предположить, что зависимость потенциалов от радиуса можно представить прямоугольной ямой, т. е. 1 если г(Ю О, если г ) йрг то — — р(г) =б(г — Й). е! В этом случае, интегрируя (121,14) и..используя явное выражение для сферической функции Бесселя (см. з 35), имеем ~Ы-!.,(4К)К'= — ""(ч") — ~ '(ч~). ае Ч Подставляя (121,!3) и (121,15) в равенство (121,11), находим дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных нуклоиов на ядрах нулевого спина ~зи! (41 )'((1+ ьз)+ йАа,з!пз 8» У, Ярд Рассмотрим теперь рассеяние поляризованных нуклонов.
Пусть нуклоны с проекцией спина, направленной вдоль осн я, Квадрат амплитуды рассеяния (121,6) определяет дифференциальное сечение рассеяния поляризованных нуклонов. Если нуклоны не поляризованы, то надо превести усреднение По двум возможным состояниям поляризации гп,: /и — '/В тогда получим ,и = — ~~~ ~ Г,„, ~з = ! А (8) г + ! В (0) Р. (121,1 1) рре Если Ъ'(г)=$'ср(г), то, согласно (121,8) и (121,9), имеем е ~ер = .Ы' Ае,'ЕР Р- ) ее.~ р'. ее.) * е., Оер Аер (121, 13) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯННЯ (гл. хпг поляризации рассеянных нуклонов характеризуются вектором поляризации, который определяется следующим равенством: ~~'.~ (чсрасс ( ь! асрасс) Р= а1а Ла (Чсьасс ) Чеьасс) емс Подставляя в это выражение значение а1"р„, = Г,(0) — и учитывая (121,7), преобразуем его к виду ,а; и' (О)Г„(О)е А' (О) В (О) + А (О) В* (О) где единичный вектор и определяется равенством (121,10).
Итак, вектор поляризации всегда перпендикулярен плоскости рассеяния. Абсолютная величина вектора поляризации называется степенью поляризации. Если подставить в (121,18) значения А (О) и В(0), определяемые равенствами (121,13) 'и (121,15), то получим О (1+ ь)а Р(0) и еаА' агеа О '+ 1+а Из (121,19) следует, что степень поляризации будет наибольшей при углах рассеяния 0 90'. Степень поляризации пропорциональна величине спин-орбитального. взаимодействия и отношению Ь мнимой части оптического потенциала к действительной.
Из (121,18) следует, что поляризация при упругом рассеянии возможна лишь н том случае, когда амплитуда рассеяния (121,7) содержит как слагаемое А(8), не зависящее от ориентации спина, так и слагаемое (оп)В(8), зависящее от ориентации спина. (121,19) ф 122*. Теория рассеяния при наличии взаимодействий двух типов, Приближение искаженных волн В ряде задач теории рассеяния и реакций потенциал взаимодействия можно разбить на два слагаемых. Так, при ядерном взаимодействии заряженных частиц, наряду с ядерным взаимодействием а'ад, надо учитывать кулоновское взаимодействие )то между сталкивающимися и разлетающимися частицами; при столкновении нуклонов со сложными ядрами энергия взаимодействия может быть представлена в виде суммы некоторого ПРИБЛИЖЕНИЕ ИСКАЖЕННЫХ ВОЛН $ >22> З79 эффективного «оптического» потенциала У,, определяющего УпРУгое Рассеание и «остаточного» потенциала Уааа В таких случаях часто необходимо учесть раздельно влияние обеих частей потенциала.
Для исследования возможности такого разделения предположим, что оператор Гамильтона можно записать в виде Н- Но+ УА + Ув. Согласно общей формуле (118,11а), вероятность перехода в единицу времени из состояния Ф, в состояние Фь определяется выражением Рьа= а! Тьа Рб(Е» — Еа), где Тьа = (Фь ! Ул + Ув! Ч>а+). (122,1) Волновая функция Ч>~+' соответствует падающей волне Ф, и удовлетворяет интегральному уравнению Ч>а+ =Фа+ (Еа Но+ 1Ч) (Ул+ 1'в) >ра+ (122,2) Введем волновую функцию >р-, описывающую сходящуюся волну при рассеянии только в поле Ув и соответствующую конечному состоянию Фь.
т. е. фь '=Фь+(Е.— Но-1ЧГ Увфь ' (1223) Определим из этого уравнения функцию Фь и подставим в (122,1), тогда получим Т =(ф~;>1У„1Ч«+>)+ «р;1У,1Ч >+>)— — (ф>ь >Яв(Е. — Но+1Ч) (Ул+ Ув)!Ч«"). Подставляя во второе слагаемое полученного уравнения значение Ч'~+> из (122,2), находим Т =«Р >~У„~Ч>,+>)+(Ч>> >~У ~Ф,). (122,4) Используя формулу (119,23), можно написать (ф>ь >1Ув!Ф„) =(Фь 1" в! ф',+') — Т„(В), (122,5) где функция ф>ь-> удовлетворяет уравнению (122,3), а ф>+> — интегральному уравнению ф> » = Фа + (Е, — Но + 1Ч) 1' вфа+>' (122~6) Таким образом, матричный элемент Тьа(В) (122,5) определяет переход из состояния Ф, в состояние Фь под влиянием только оператора Ув.
>9ь КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [гл. хш Чтобы выяснить физический смысл первого слагаемого в матричном элементе (122,4), преобразуем интегральное уравнение (122,2) к эквивалентному виду Ч а = Фа + (Еа НО 1~А УВ + (Ч) (УА + 1"в) Ф,. (122,7) Уравнение (122,7) следует непосредственно из (118,!6а), если учесть, что ТФа = УЧ",+'(в данном случае )' = УА+ )(и). Уран. пение (122,6),также можно заменить эквивалентным уравнением (ра 1 а + (Еа НО Ув + (Ч) 1 иФа' (122 8) Вычитая из уравнения (122,7) уравнение (122,8) и учитывая операторное тождество л-' — в-' = л-'(в — л) в-', получим Ч((+) (р(+) + (Е, — На — 1/А — Ув + (т() Ул Х Х (Ф, + (Š— Но — Ув + (т)) УвФа).
Согласно (122,8), выражение в квадратных скобках равно ф(+), таким образом получаем интегральное уравнение '1".+'= ф.'+'+ (Е. — Нэ — ~'А Ув + 1Ч) Улф(„+'. или эквивалентное ему уравнение Ч",+'=(р,'+'+(Е,— Н,— 1' +(Ч) '1'„Ч",+'. (122,Я Итак, интегральное уравнение (! 22,9) определяет расходящуюся волнуЧ'а,которая возникает в результате рассеяния на 1',) (+) волн ф+> являющихся решениями уравнения (122,6). Поэтому можно сказать, что матричный элемент, входящий в (122,4), Т (Л)=(ф;~Ь'„~Ч(+)), (122,10) определяет амплитуду вероятности рассеяния на потенциале УА волн, рассеянных («искаженных») потенциалом Ув.
Все полученные выше соотношения являются точными, так как при их выводе мы не делали никаких дополнительных упрощающих предположений. Если в. матричном элементе (122,10) заменить, согласно уравнению (122,9) функцию Ч'(+) ее нулевым приближением, то получим матричный элемент перехода . Т,"„(л) =(фа 1~ А! ф ) (122,11) который называют матричным элементом перехода в приближении «искаженных волн», так как в этом матричном элементе «1Ю! ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЙ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 5З! стоят функции начального и конечного состояний не в виде плоских волн (как в борновском приближении), а в виде решений уравнений (122,6) и (122,3), учитывающих «искажение» волновых функций начальных и конечных состояний потенциалом Рз.
Существенно, что функция 4;1, входящая з (122,10) и (122,11) и соответствующая конечному состоянию Фь, является решением интегрального уравнения (122,3). Таким образом, асимптотика функции ф-> соответствует суперпозиции плоской волны конечного состояния Фь и сходящейся сферической волны, обусловленной действием потенциала Уз. Если оператор Рв соответствует кулоновскому взаимодействию, то уравнение (122,3) допускает точное решение. Тогда действие второго потенциала РА (например, ядерного взаимодействия) может быть учтено методом искаженных волн при вычислении (122,11) или точно, если решить интегральное уравнение (122,9) и подставить значение Ч",+' в (122,10).
В $111 были найдены функции типа ф~->, имеющие асимптотику в виде плоской волны Фь и сходящейся сферической волны, обусловленной кулоиовским полем, путем решения эквивалентного дифференциального уравнения. Функции ф- используются при вычислении фотоэффекта на атомах, когда желают учесть взаимодействие электрона с кулоновским полем ядра, и в теории ядерных реакций, когда учитывают кулоновское взаимодействие продуктов. реакции (см. по этому поводу также работу Брейта и Бете (114)). Полный матричный элемент перехода а — Ь согласно (122,4), (122,5) и ('122,10), изображается суммой матричных элементов т,„=(Ф,| р,|ф!+»+(ф;>|) „|Ч«.+». В частном случае, когда можно использовать метод искаженных волн, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
