Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ИзотРопнаЯ часть дает вклад в полное сечение, совпадающий с классическим пределом: оя а„„, ж 4л — =л)тт. (33.5) б91 Рис. 40. Угловое распределение при рассеянии от непроницаемой сферы в случае М=20. Рис. 41. Дифракционное рассеяние при неупругом столкновении с еабсолктгно червона сферой.
142 Фазы рассеяния 6, трудно вычислить в общем виде, так как они зависят от многих факторов. Но именно это обстоятельство позволяет сделать дальнейшее упрощение. Аналогично тому, как это делается в статистической физике, можно предположить случайную зависимость фаз рассеяния от различных величин. Такое предположение эквивалентно замене квадрата синуса в (ЗЗ.З) его средним значением: зш*б,— '1,. Указанный способ можно обосновать строго, например, для рассеяния от непроницаемой сферы радиуса гс'. В результате получаем: ая а = — „", ~Ч, (21+ 1) = 2л)с'. (33.
4) !=а В узком конусе с раствором Л9~11йЯ((1 имеется резкий пик, дающий дополнительный вклад в полное сечение Опик (33.8) е з1п( сс — — +6 ) = м . / л! с — [е-с (вг — лс/в) асс~с. зс Фг-лссв>~ ! зс (33. 7) Квадраты модулей коэффициентов 1 и е ~с в этих волнах опре- 2Я деляют потоки соответственно сходящихся и расходящихся частиц. Когда неупругие каналы закрыты, то оба потока равны. Условие ) еиас )в (33.8) равенства потоков означает, что фазы рассеяния 6, выражаются действительными числами.
Если возможны неупругие процессы, то асимптотику радиальной функции срс(г) можно по-прежнему формально записать в виде (33.7). Но расходящийся поток должен быть теперь меньше сходящегося потока, так как часть сходящегося потока затрачивается на образование неупругих процессов и «выбывает» из упругого канала. Вместо (33.8) при наличии открытых неупругих каналов имеет место соотношение 1 ) ~ евсзс!в (33.9) Условие (33.9) выполняется только для комплексных фаз 6, с по- ложительной мнимой частью: 6, = Кеб, + с !т 6,; 1гп 6, > О.
(ЗЗ. 10) Такая картина рассеяния похожа на дифракцию света около шарика с радиусом сг. Поэтому распределение в области ЛО(1/ЙЯ((! называют дифракционныи пиком (дифракционным конусом). В классическом пределе, при 7с)в' — оо, дифракционный конус сжимается (ЛΠ— О) и становится недоступным для экспериментального обнаружения, так как частицы, рассеянные под очень малым углом, невозможно отличить от нерассеянных частиц. Таким образом, при больших энергиях экспериментально будет обнаруживаться только изотропная часть углового распределения, совпадающая с классическим дифференциальным сечением.
В заключение рассмотрим кратко эффект неупругих процессов при столкновении частиц. Обратим внимание на то, что асимптотика (30.3) радиальной функции в упругом канале состоит из суперпозиции сходящейся и расходящейся волн: Сечение всех вместе взятых неупругих процессов можно получить, вычислив полный поток в упругом канале через сферу большого радиуса г- оо: — [Ч', (с ) — Ч'р (с ) — Ч', (с ) — Ч'» (г) ~ с(!с О = о — ~, (2!+ 1) (1 — ~ е сев (33.!1) Поделив величину (33.11) на поток падающих частиц (28.3) при а=1, получим сечение неупругих процессов: и„, „= —, ~~ (2!+1)(! — !е"~с)').
с=о (33.12) Сечение упругого рассеяния по-прежнему дается формулой (30.13), кото()ую можно переписать в следующем виде: о„„р —— —, 1, (2!+ 1) ! 1 — е" с !'. с=о (33.13) Рассмотрим в качестве примера простую модель неупругого рассеяния при больших энергиях, которая играет важную роль в ядерной физике. Пусть все частицы, движущиеся к центру с орбитальными моментами (33.2), поглощаются и обусловливают неупругие процессы. Частицы в состояниях с ! ) М,ьь, наоборот, вообще не взаимодействуют и не участвуют в процессе столкновения. Указанное требование эквивалентно условию: ( 0 для 1( Ий,ьь, е с= (1 для (>йенс, (33. 14) (33.15) 'Таким образом, процесс поглощения сопровождается упругим рассеянием, аналогичным оптической дифракции на черном шарике.
Лнфракцнонное рассеяние сосредоточено в узком конусе с раствором ЛО ( !се((1 и имеет вид, показанный на рисунке 41. Если рассеиватель не является «абсолютно черным», а частично прозрачен ('««адель «серого тела»), то дифракционное рассеяние также существует, но его сечение не равно поперечной площади рассеивателя.
глэ Эта модель похожа на поглощение света абсолютно черным ша- ром радиуса с« = )«,ьь, поэтосиу ее можно назвать моделью «черного я«ела». Подставляя (33.14) в (33.12) и (33.13) и вычисляя сумму, получим: Задачи к главе б 6.1. Найти волновые функции свободного относктельного движении с ваданным орбитальным моментом о. Решен ие. Прн 1=0 уравнение (19.2) для функции ор,(г) имеет вид: ор," (г) + йо ео (г) = О, )т = )Г ЪпооЕ) го.
Отсюда для радиальной функции )т»,= "тг — получаем / 2 оро(г) н Г при нормировке условием о ~ Ро ойоог'«г =б(й' — й) о выражение .о / 2 51П (ог )г н г Для решения уравнения (19.2) при (чьО сделаем подстановку — ор, (г ) = г' "'Х„ 2 в результате которой приходим к уравнению: , 2 (1+1) Хг т —, Х)+й'Хо=О. Продифференцировав его по г н выполнив подстановку Х1 = гХотт получаем: 2(1+2) К,+,+ Х,'+, +й'Х,+т — — О. Это уравнение может быть получено из предыдущего в результате формальной замены 1 на 1+1. Это означает, что функции Х, связаны рекуррентным соотношением Х,„,= Х(/г. Отсюда следует, что Окончательно запишем радиальную функцию так: г 2 о(1 о()таоодг 150 Множитель й-г введен из соображений размерности, а миожитель ( — 1)' — из соображения удобства.
При такой записи радиальиые функции могут быть выражены через бесселевы функции следующим образом: Гд Рлг= $I —, Уг+ггт (йг), / наг 2 Лг ггт(ЛГ). 6.2. Разложить плоскую волну ег"" по волновым функциям свободного движения с ояределенными орбитальными моментами (см. задачу 6.!). Р е ш е и и е. Запишем разложение Ш ег"'"'э=,~, с Р (сов О) гг г ! г! Хг к)п Ггг ~д.б ) !=о и сравним коэффициеиты при (гсозО)" в правой и левой частях равенства, когда г — О.
В правой части такой член имеется только в л-ом слагаемом, так как при () и разложение радиальиой функции начинается с более высоких степеней г, а при ! ( л полипом Р, (соз О) содержит лишь более низкие степени сов О. Из формулы (16.13) следует, что член с соз' О в полииоме Р, (соз О) имеет коэффициент (2()1!2г(11)'. Дифференцирование по г в радиальиой функции нетрудно выполнить после разложения з!пгггг в ряд по йг, сохраняя лишь низшую степень г. В результате получаем интересуюший иас член в правой части равенства: (2!) ! (Ггт соа 0)г 2 (П)т ! 3 ...(2!+ !) Сравнивая его с аналогичным членом (га~ сок 0)г Л в разложении левой части равенства, получаем коэффициент разложения: с, = — г) ' (2Е -1- 1), На больших расстояниях разложеиие имеет следующий асимптотический вид: агат — ~', (2(+1) Р к ( н ~ — Р, (сон О).
"г=а !5! 6.3. Вычислить в борновском приближении сечение рассеяния на 6-функционном потенциале вида У (г) = Узб (г). Р е ш е н и е. Подставляя потенциал в (29.9), получаем для амплитуды рассеяния формулу: ю„У, — 2пйз . Амплитуда нв зависит от угла рассеяния и от энергии сталки- вающихся частиц. Полное сечение рассеяния равно пг, зУе з з яде 6.4. Вычислить в борновском приближении сечение рассеянна частиц, взаимодействующих по закону: О(г~Р, и(г)=1 О прн г>Р.
Решение. После вычисления интеграла в формуле (29.9), получим следующее выражение для амплитуды: 2т,зУ~ з)п дР— дР соз дР ' — ь чз При малых энергиях рассеяние изотропно и не зависит от энергии, а при высоких энергиях (йгг>) 1) рассеяние происходит в узком конусе углов шириной ЛО - 1!И~(( 1. Полное сечение получается интегрированием квадрата амплитуды по углам: 2п (т,,~3~~'х з Г) ! Мп 46Р з)из АР ) дг 1 е~ ) ( 1 (2аР)з+ 12йР)з 126Р)з В пределе при очень малых и очень больших энергиях имеем*, 6.5. Вычислить в борновском приближении сечение рассеяния частиц, взаимодействующих по закону У(г)=ае аг!г (потенциал Юкавы). Решение. После вычисления интеграла в формуле (29.9) получим следующее выражение для амплитуды; ) (О) =— дз (оз+ Рз) )52 Полное сечение вычисляется по формуле: 6.6.
Вычислить в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния частиц, взаимодействующих по закону Кулона У (г) =се!г. Решение. Ответ получается, если в формулах задачи (б.б) перейти к пределу при ()- 0: !" (8) =— Л!! ~ ~ ~ (, 4Е,) з!пч (812) Интересно, что в борновском приближении получается такое же сечение, как при точном решении задачи (формула Резерфорда). ЛИТЕРАТУРА 1. А. С. Давыдов. Квантовая механика. М., Фнзматгиз, !955. 2.
Л. Д. Л а ни ау, Е. М. Лиф щи ц. Квантовая механика. М., Физмата'из, !953. 3. Л. Ш н фф. Квантовая механика. М., ИЛ, !957. 4. Г. Бете, Ф. Моррисон. Элементарная теория ядра. М., ИЛ, !958. 5. Н. Мотт, Г. Месси. Теория атомных столкновений. М., ИЛ, 1951. Глава 7. МКОГОЭЛЕКТРОККЫЕ АТОМЫ К МОЛЕКУЛЫ $34. ЭФФЕКТ ТОЖДЕСТВЕИИОСТИ ЧАСТИЦ В многоэлектронном атоме имеется несколько одинаковых (тождественных) частиц — электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
