Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Падающие и рассеянные частицы отделяют друг от друга, коллимируя сравнительно узкие пучки на большом расстоянии от области взаимодействия (рис. 33). Имеющиеся в реальном эксперименте плотности частиц в пучках и в мишенях настолько малы, что можно пренебречь одновременным взаимодействием трех или более сталкивающихся частиц. Учитывая это, будем считать, что взаимодействие пучка частиц с мишенью происходит посредством ряда независимых парных столк навея и й одной из частиц пучка с одной из частиц мишени.
Таким образом, исследование поведения пучков частиц сводится к задаче о столкновении двух частиц, взаимодействующих по определенному закону У (г), где г — взаимное расстояние '. ' Лля определенности будем считать, что 1-я частица †э падающая частица пучка, а 2-я частица †э покоящаяся и начальной стадии частица мишени. Детектор рассеянно~к оасонтц р=йм' Рис.
33. Схема опыта по рассея- нию частиц. Рис. 34. Схема столкновения двух частиц в системе центра инерции. Движение двух частиц удобно рассматривать в системе отсчета, связанной с центром инерции. Как показано в 4 18, мы будем иметь дело тогда лишь с относительным движением, которое эквивалентно движению одной фиктивной частицы с приведенной массой лт„=тат,!(и,+и,) в потенциальном поле (7(г). В начальном состоянии частица движется свободно на бесконечно большом расстоянии с импульсом р=т„и, который имеет смысл относительного импульса двух реальных частиц, двигающихся навстречу друг другу. Численно он совпадает с импульсом одной из сталкивающихся частиц в системе центра инерции.
В конечном состоянии фиктивная частица движется на бесконечно большом расстоянии с импульсом р' =т,,и', который имеет смысл относительного импульса разлетающихся после столкновения реальных частиц. В силу закона сохранения энергии р =р', поэтому мы пришли к задаче об упругом рассеянии одной частицы на потенциале (7 (г). Заметим, что эта задача является обобщением на случай трех измерений рассмотренной в 5 17 одномерной задачи о прохождении частицы через потенциальный барьер (7(х).
При одномерном движении результатом «рассеяния» на потенциале (7(х) могло быть только движение назад — отражение от потенциала. В трехмерной задаче результатом рассеяния может быть движение под любым углом О к начальному направлению движения. Угол О совпадает с углом между импульсами р и р'. При решении задачи естественно воспользоваться сферическими координатами г, О, ф, направив полярную ось г по начальному импульсу р, как показано на рисунке 34. В классической физике столкновение рассматривают обычно как процесс, зависящий явно от времени. В квантовой механике рассматривают эквивалентную стационарную задачу, как это сделано в случае одномерного движения через потенциальный барьер (см. 3 17).
Процесс рассеяния описывается волновой !32 функцией Ч'л (г), которая является решением уравнения Шредингера (18.11) при положительных значениях энергии: м12 Индексом состояния служит импульс, характеризующий началиную стадию процесса: А — р=(О, О, р). (28. 2) В отличие от задач о связанных состояниях волновая функция не является теперь собственной функцией операторов 1.' и А,. На больших расстояниях она должна описывать свободное движение падающих и рассеянных частиц. Падающие частицы описываются плоской волной аевнх, которой соответствует плотность потока 1„„=о)а~'. (28.3) Рассеянные частицы должны описываться расходящейся сферической волной, имеющей асимптотический вид ~рнэ а) (О, ср) (28 4) Таким образом, в соответствии с постановкой задачи уравнение Шредингера (18.11) необходимо решить при следующих асимпто- тических граничных условиях: Чв7Э 1 Ч'р (г) — а )еч'н" +1'(О, ~р) (28.5) Коэффициент пропорциональности а (О, ср) в (28.6) называется дифференциальным эффективным сечением (или просто сечением) рассеяния.
Число рассеянных частиц ЬУ „, можно выразить обычным образом через плотность потока 1 „,: (28.7) Величина )„„задается формулой (11.9), куда в качестве волновой функции нужно подставить рассеянную волну (28.4). При этом нас интересует лишь радиальная составляющая вектора плотности потока, так как рассматривается движение рассеянных частиц через сферическую поверхность большого радиуса. 133 Задача теории рассеяния состоит в вычислении потока рассеянных частиц на большом расстоянии от области взаимодействия.
Очевидно, что число частиц, рассеянных в единицу времени в небольшой телесный угол ЛЙ, пропорционально потоку падающих частиц (28.3) и величине телесного угла: йй7„„=1„„.ла. (О, р). Сравнивая (28.6) и (28.7), получаем: о(Е, р)=У(8, р)Р.
(28.8) Входящая в асимптотическое выражение (28.5) функция 7'(О, р) определяет интенсивность рассеяния. Поэтому ее называют амплитудой рассеяния. Наряду с дифференциальным сечением представляет интерес полное сечение упругого рассеяния: о = ) о (8, чл) йлб. (28.9) Очевидно, что о(8, р) = — „„ ЙГ (28. 10) Сечение рассеяния имеет размерность плошади и измеряется обычно в особых единицах — бари ах (1 бари =10 " см').
Дифференциальное сечение измеряется в б ар на х на стер ади ан. Укажем для справок, что дифференциальное сечение в системе 'отсчета, связанной с покоящейся мишенью (лабораторная система), следующим образом связано с сечением (28.10): (1+та-)-22 соб 0)М~ о„„(8„,, р„,) =, „, < о(Е, р), (28.11) у =та/т,. Связь между углами, характеризующими это направление в лабораторной системе и системе центра инерции, задается равенствами." = +сола (28.13) Из соотношения (28.12) вытекает, что полное сечение о одинаково в разных системах отсчета, т. е. является инвариантной характеристикой парного взаимодействия частиц. В следующих параграфах будут рассмотрены конкретные примеры вычисления сечений для центрально-симметрического взаимодействия вида (18.1).
В силу аксиалькой симметрии задачи в этом случае амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение не зависят от азимутального угла ар. Оно является функцией углов рассеяния 9„,б, ~р„б в лабораторной системе. Выражение (28.11) получено из условия одинаковости числа частиц, рассеянных в одном и том же пространственном направлении и подсчитанных один раз в лабораторной ' системе отсчета, а другой раз — в системе центра инерции: о„,(Е„„, ф„,)йа„„= (В, р)йа. (28.
12) й рр. БОРКОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ АИПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ Запишем уравнение Шредингера (18.11) в виде: (А + А') Чр„(г) = 2т" у (г) Т (г), р 'р' 2т,рЕ в Й (29.1) и рассмотрим правую часть как неоднородный член дифферен- циального уравнения.' Тогда решение можно записать с помощью функции Грина 6(г, г') однородного уравнения (см. приложе- ние Б): Ч"р(г) = Ф (г)+~6 (г, г') "„Ч"р(г')Л". (29.2) Здесь Ф(г) — общее решение однородного уравнения. Входящая в (29.2) функция Грина удовлетворяет уравнению (А+А') 6(г, г') =бз (г — г'). (29.3) Для простоты мы выбрали простейшее значение нормировочного коэффициента а = 1 при плоской волне.
Мы получили формулу, выражающую амплитуду рассеяния через волновую функцию относительного движения. Ее легко использовать для приближенного вычисления амплитуды рассеяния в виде разложения по потенциалу (7(г). Такое разложение эквивалентно решению исходного уравнения (29.1) методом теории возмущений. В нулевом порядке рассеяние отсутствует, а волновая функция совпадает с падающей волной: Ч" '(г) =-е' ". (29.7) Асимптотические условия (28.5) будут выполнены, если функцию Ф(г) взять в виде падающей плоской волны, а функцию Грина — в виде расходящейся волны: 1 ем" 6(г, г) — —— (29.4) Чтобы убедиться в этом, разложим (29.4) по степеням г'1г.
Учитывая, что ~ г — г' ) ж г — гг'!г, и подставляя функцию Грина в (29.2), получим: ему е Ч' (г) — е"" — — ". — ~ е-'"" (7(г') Ч' (г') ц1)', а 2кв' г й' = йг/г. (29.5) Выражение (29.5) совпадает с (28.5) при выполнении условия 7 (8) = — —" ( е-м'"'(7 (г') Ч"р(г') НГ. (29.5) 2зДР,) Следуюп:ее, приближение получается рассмотрением членов первого порядка уравнения (29.1): (Л+ й ) Ч,"(г) ='— „" и(г) Ч',ю(г). (29.8) Амплитуда рассеяния в первом порядке теории возмущений получается подстановкой (29.7) в формулу (29.6): 1 (О) ж ры (О) = — —" ~ е-'ч' У (г') сй", с) = 1с' — й. (29.9) Заметим, что величина (29.9) с точностью до постоянного множителя совпадает с фурье-компонентой потенциала для переданного импульса Йс( = р' — р, Ьд = 2р з! п — . (29.10) Приближенное выражение (29.9) для амплитуды рассеяния было впервые получено М.
Барном в 1926 г., поэтому его называют борноеским приближением. В предельном случае малых энергий экспоненциальный множитель под интегралом (29.9) можно заменить единицей: 1 (О)- — ", 1"и(г) Г. а е 2пгьз,) (29.11) ~чи (г)~(<1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
