Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для вычисления вектора состояния ~1> рассмотрим уравнение Шредингера Й ~оо> = "Й-р ~(> (25.2) в гейзенберговском представлении невозмущенного гамильтониана Й, (см. З 1!). Другими словами, выберем для описания состояния базис из векторов )Е"о (>— = )Е'">е 'в" и =~п>е-'в "'ца, (25.3) являющихся стационарными решениями невозмущенного уравнения Шредингера Но ! Еоо1 (> = (Š— ~ Е<оо 1> (25.
4) Подставляя в уравнение (25.2) вектор состояния в виде разложения ) о> ~я~~! Е~оо о>5 (1) (25.5) а и умножая слева на базисный вектор (Е„'", 1~, получим систему уравнений для коэффициентов разложения: ~.,Ро. (Г) Ь. (Г) = (Е ~, Ьо Н) (25.6) о (() =сЕ'оо 1~)7(1) ( Е<о~ 1> =(А~ 1(1) ~ п>еьоо о (25 7) ыз порядке теории возмущений равно среднему значению возмущения Е'о =Ь'„„, т=1, 2, ..., д.
(24. 1 1) (25.8) и разложение (25.5) совпадает с разложением (11.18), т. е. дираковское представление переходит в гейзенберговское. Пусть в момент времени 1 = 0 микрообъект находится в состоянии )1>, т. е. Ь„(0) = 8»п (25.9) Тогда, взяв в качестве нулевого приближения коэффициенты (25.9) Ь~м (1) можно коэффициенты Ь„(г) записать в произвольный момент 1) 0 в виде разложения по степеням возмущения: Ь„(1) =Ь„(1)+Ь„> (1)+..., (25. 10) Будем решать уравнение (25.6) методом последовательныхх при бли же ни й аналогично тому, как это было сделано в 9 23, 24 для стационарного уравнения Шредингера.
Подставляя в левую часть коэффициенты в нулевом приближении и интегрируя уравнение, мы получим поправки первого порядка ф' (1) = — ~ 1'»; (1) й1. Й Вероятность обнаружить микрообъект в момент времени 1 в со- стоянии )й> определяется формулой ю»» = ! Ь» (1) !' = — ~ ~ Р'»» (1) сУ ~ . (25.12) о Отсюда видно, что матричный элемент 11»;(1) определяет переход из начального состояния !1> в конечное состояние !й>.
Наиболее важным является случай периодического (монохроматического) возмущения Р(1) =Р,е'"', (25.13) для которого вероятность (25.12) имеет вид: ., м»г+м 4»!п ы = — )(й ! Р. )1>)* (25. 14) 1И Она похожа на уравнение Шредингера в матричной записи (7.26), но в левой части стоит возмущение, а не гамильтониан микро- объекта.
Такой способ описания состояния был предложен П. Дираком в 1926 г. при построении теории квантовых переходов. Поэтому его назьзвают дираковским представлением. Если возмущение отсутствует, то уравнение (25.6) имеет решение Ь (1) =с»=сопз1, При соьг+ы=О вероятность (25.14) имеет наибольшее значение. Значит, переходы в состояния с энергией Ем> = Е(ог ага (25.16) имеют резонансный характер, причем ширина резонансной области вблизи значения (25.15) становится все более узкой при 1 — оо.
Это следует из формулы (см. приложение, формула А.7) с помощью которой вероятность (25.14) при 1 — оо можно записать в следующем виде: и,= — "!<й!)7,!1>)ь(6(ЕТг — Егмг+Ь ). Вероятность перехода в единицу времени (скорость перехода) равна: цгьг — — — !<й ! )7, !г>!* 6 (Ег" — Е,'" + ага).
(25.17) Она отлична от нуля только для переходов в состояния с энергией (25.15). Однако нужно учесть, что закон сохранения (25.15) выполняется не строго, так как на самом деле нужно пользоваться выражением (25.14). Формулы (25.16) и (25.17), содержащие б-функцию, имеют смысл лишь тогда, когда их можно проинтегрировать по энергии, т.
е. когда конечное состояние принадлежит непрерывному спектру. Проинтегрировав выражение (25.17) по энергии, мы получим вероятность перехода в некоторую группу ЛУ состояний с энергиями, лежащими вблизи значения (25.15) в интервале ггЕь: Ьигьг — — — "!<)г !)г, ! г>!' — ! . (25.18) я ЬЕь )е еги ь=г -" Величина ЬИ)ЬŠ— это энергетическая гглотность конечных состояний (статистический вес собственного значения Еь). Рассмотрим в качестве примера переход, прп котором в конечном состоянии в объеме Ь' появляется частица с импульсом р.
При таком переходе число состояний частицы, приходящихся на небольшой элемент импульсного пространства (см. 2 13), определяется так: ЛУ— г зар Егаггьартарь егргарьор (2яд)ч (2яд)ь (2ял)г Скорость перехода в эти состояния при заданных других физи- ческих переменных равна: Ыв Изложенный метод будет использован в следующем параграфе при рассмотрении радиационного перехода атома с испусканием фотона частоты от=вам В этом случае вероятность перехода атома из состояния 11> в состояние ~й> можно записать в виде: иы =- ~ Г )(й ) Р, ) 1>!'Ж2. (2пй)" (25.20) Формула (25.20) получена из (25.19) подстановкой р = Йв/с, с(р7г(Е=17с и интегрированием по всем направлениям испускания фотона. й 26. СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ А,=с ~/ (25.1) где п — единичный вектор поляризации, перпендикулярный направлению волнового вектора к. Таким образом, вакууму соответствует электромагнитное поле с ненулевой амплитудой.
Взаи- ' Параметром разложения в ряд теории возмущений служит постоянная тонкой структуры а=ез7дс= 17137. 116 Хорошо известно, что возбужденные состояния атомов не являются стабильными. Даже при отсутствии внешнего поля атом самопроизвольно (спонтанно) переходит из возбужденного состояния в более низкое энергетическое состояние, излучая прн этом квант света (фотон).
Спонтанное излучение (радиационный переход) является результатом электромагнитного взаимодействия атома с вакуумом. Как следует из квантовой электродинамики, вакуум описывается совокупностью некоторых монохроматических электромагнитных волн — это так называемые нулввыв колебания вакуума, аналогичные колебаниям линейного осциллятора в низшем энергетическом состоянии (см. 2 15).
Взаимодействие атома с нулевыми колебаниями вакуума можно рассматривать как возмущение, которое и приводит к переходам атома из одного состояния в другое. Описание атома с помощью стационарных состояний, как это сделано в у 20 — 22 для атома водорода, нужно рассматривать при этом как приближенное (нулевой порядок теории возмущений). При такой постановке задачи можно воспользоваться изложенной в 2 25 методикой'. Остается лишь вычислить матричный элемент взаимодействия атома с электромагнитными колебаниями вакуума. Согласно квантовой электродинамике нулевое колебание вакуума с частотой щ можно описать векторным потенциалом А — А пв-~ жт-м1) е модействие двигающегося в атоме электрона с электромагнитной волной приводит к дополнительному вкладу в гамильтониан = — Ар, (26.2) где †, и, и р †зар, масса и импульс электрона.
В квантовой механике взаимодействию (26.2) нужно сопоставить оператор периодического возмущения, матричные элементы которого имеют вид: (~))г,~()= — '(~~е и" (пр) )1). (26.3) Величина (26.3) описывает переход одного из электронов атома в более низкое энергетическое состояние, при котором происходит нспускание фотона с импульсом р=-йк и поляризацией вдоль вектора и.
Вычисление матричного элемента (26.3) в координатном представлении сводится к интегрированию произведения волновых функций Ч' (г) н '1"; (г), экспонснциально убывающих при г. 10-" см (см., напрймер, й 21). Следовательно, существенный вклад при интегрировании дает лишь область атомных размеров. Длина волны видимого и ультрафиолетового света зп Л= — ") 10 ' см значительно больше атомных размеров, поэтому в эффективной области интегрирования кг((1. Это позволяет разложить экспоненциальный множитель в (26.3) в ряд н учесть только первый член разложения: е '"'=1 — (кг+...
1. (26.4) Такое упрощение соответствует разложению излучения по мульти полям. Если матричный элемент низшего члена разложения (дипольного) оказывается равным нулю, то надо учесть второй член разложения в (26.4). Вместо оператора импульса можно в (26.3) подставить р=т,г. Используя соотношение (11.32) для вычисления матричного элемента от производной г и вводя дипольный момент й=ег, получим в дипольном приближении: ~~р ~.~, А Подстановка (26.5) в (25.20) приводит к следующему выражению для вероятности перехода: в, = — ( ~<~( пд ~ 1)~'лй. 2лдгг 3 (26.6) 117 Для вычисления полной вероятности спонтанного излучения нужно просуммировать (26.6) по двум независимым направлениям вектора поляризации и и вычислить интеграл по направлениям испускания фотона.
В результате получаем: 4оР з ( г!(' Вероятность (26.7) следующим образом связана с временем жизни возбужденного состояния атома относительно рассматриваемого перехода: (26.8) юг! Типичное значение времени жизни возбужденного состояния атома относительно дипольного перехода в оптической области имеет порядок 10-' сен. И тенеиеность излучения (количество излученной энергии в единицу времени) получается в результате умножения вероятности (26.7) на энергию испускаемого фотона: а з. !~г!( еЕ 4ь)4 (26.9) Заметим, что квантовомеханическая формула (26.9) будет совпадать с соответствующей классической формулой еЕ Ъ~4— — = — д* л! з после формальной замены 2 ) дл(е (Р. (26.11) дп =- е ~ Ч'! (г) гЧ"; (г) еРг.
(26. 12) Если они равны нулю, то говорят, что рассматриваемый радиационный переход запрещен. Переход, при котором матричные элементы отлнчны от нуля, называется разрешенным. Правила, указывающие разрешенные переходы, называются правилами отбора. Найдем их для атома водорода. Прежде всего обратим внимание на то, что стоящий в (26.12) множитель г изменяет знак при изменении направления координатных осей, т. е.
при переходе от правовинтовой системы коор- !!а Правило (26.11) является частным случаем общей взаимосвязи между периодической классической величиной и соответствующей квантовомеханической матрицей, которая следует из принципа соответствия. Итак, мы видим, что вероятность излучения в дипольном приближении определяется матричными элементами динат к левовинтовой (такое преобразование называют пространственным отражением или инверсией). Говорят, что функция г является нечетной относительно инверсии или что ее четность имеет величину (26.13) Нетрудно убедиться, что волновые функции атома водорода также имеют определенную четность.
Для этого нужно учесть, что в сферических координатах инверсия состоит в преобразовании г — г, Π— и — О, ~р — ~р+н. Из формулы (18.19) следует, что четность волновой функции совпадает с четностью шаровой функции У, „(О, ~р) и равна Р = ( — 1)'. (26. 14) Матричный элемент (26.12) отличен от нуля только для четной подынтегральной функции, откуда следует правило отбора для четности: разрешенными являются переходы с изменением четности. Другими словами, четности Р; и Рг начального и конечного состояний атома должны быть различными, т. е.
Р;Рг — — — 1. (26.15) Теперь посмотрим, как меняется момент импульса атома (квантовые числа 1,т) при радиационном переходе. Заметим, что множитель г в (26.12) пропорционален первой степени косинусов и синусов пространственных углов, поэтому его можно записать в виде линейной комбинации шаровых функций У, (О,~р) и интерпретировать как волновую функцию некоторого микрообъекта, имеющего момент импульса 1=1. Квантовая электродинамика показывает„что эта функция описывает состояние излученного фотона. Произведение шаровых функций )', „(О, р).Ь'..-.(О, р) описывает состояние двух независимых микрообъектов (фотона и атома) с моментами импульса 1=1 и 1р По формулам сложения моментов (см. 9 10) это состояние можно записать как линейную комбинацию состояний с полным моментом (26.16) Из-за ортогональности шаровых функций интеграл (26.12) отличен от нуля только в том случае, когда момент начального состояния атома 1; равен полному моменту конечного состояния (26.16), что является математическим выражением закона сохранения момента импульса при радиационном переходе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
