Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(29. 12) В случае малых энергий можно считать, что ) Ч"" (г) ) < ~ — е™ откуда получаем следующее условие: 11"' (О) 1 (< й.ее. (29. 13) з Подобную величину можно ввести только для короткодеяствующих потенциалов, поэтому указанные ниже оценки несправедливы для медленно убывающих на бесконечности потенциалов 1зб Амплитуда (29.11) не зависит от угла рассеяния 8.
Это приводит к изотропному рассеянию. Выясним условия применимости борновского приближения. Для этого придется отдельно рассмотреть два случая: случай малых энергий нй, (<1 и случай больших энергий )гЯ, ь))1. Здесь )с, имеет смысл некоторого эффективного радиуса', в пределах которого потенциал заметно отличен от нуля. В любом случае необходимо потребовать, чтобы поправка первого порядка волновой функции Ч'р'" была значительно меньше невозмущенной функции (29.7): При этом можно сохранить лишь низшие члены разложения по 1/к.
В слагаемом ЛЧ'рм достаточно сохранить те члены, которые полу- чаются дифференцированием множителя е'~'. Тогда уравнениЕ (29.8) примет вид: 2(й а ( ) = ~ " (У( ). дг Ь После его интегрирования приходим к следующему выражению для поправки к волновой функции: Ч'р" (г) г ец' — „" ~У(г)8г- —" У, К, Подставляя полученную оценку в (29.12), получаем условие т„~У, ~Р,' (29.16) д (Ггд.эф) Обратим внимание на то, что это более слабое условие, чем (29.14), так как в его левой части имеется дополнительный малый мно- житель 11я)г, (с 1. Значит, при высоких энергиях имеются более благоприятнйе условия для использования борновского прибли. жени я. 5 36.
МЕТОД НАРЯНАЛЬНЫХ ЕОАН Решение уравнения Шредингера (29.1) для центрально-симметрического взаимодействия может быть записано в виде разложения по функциям вида (18.19), которые соответствуют состояниям с определенйым моментом импульса 1. В разложение войдут только состояния с проекцией момента т=О, так как задача о рассеянии имеет азимутальную симметрию.
Запишем это разложение в виде: Ч'р(г)=~) (21-1-1)рч— "' Р,(созб), С=0 (30. 1) 1Зг Оценив величину амплитуды с помощью интеграла (29.11), это условие можно переписать в виде „~ и„,) Я,'„,!9<<1, (29.14) где У, — эффективное значение потенциала в области г~ Я, Если мы рассматриваем рассеяние на потенциальной яме, то условие (29.14) означает отсутствие отрицательных уровней энергии [ср.
(14.11) для прямоугольной ямы). Значит, борновское приближение применимо тогда, когда сталкивающиеся частицы не могут образовывать связанных состояний. В случае больших энергий для нахождения поправки к волновой функции будем решать уравнение (29.8) подстановкой Ч'~,м (г) = е'"' Х (г). (29.15) Оно имеет осциллирующее решение е озш~ Ь.— +Ь,(=зш~Ь вЂ” — ~+( — 1) е оз(пб, ем', (30.3) '! ~о ' ог где 6,— произвольное действительное число.
Функциям (30.3) соответствует асимптотика волновой функции (30.1) следующего вида: о Ч'о(г) ~' (21+1) Р ( '„, "'~ )Р,(созО)+ ' '" !=о о ооо +~ (21+1) ' Р,(созО)е'% (30.4) Первая сумма в (30.4) совпадает с разложением плоской волны по полиномам Лежандра (см. задачу 6.2).
Значит, мы получим асимптотику типа (28.5) при условии ) (О) =,'Е~ (21+ 1) ~,Р, (соз О), !=о об ом е оыпбо е о — ! ! (30.5) (30.6) 2!л л соо зо — ол Отдельные слагаемые в суммах (30.1) и (30,5) называют парциальными волнами, а сами суммы — разлолсениями по парциальным волнам. Коэффициент разложения (30.6) — это парциальная амплитуда рассеяния, а величина 6,— это так называемая фаза расее ния. Для парциальных амплитуд можно написать соотношение, аналогичное (29.6).
Для этого в левую часть равенства (29.6) нужно подставить (30.5) и разложить по полиномам Лежандра подынтегральное выражение правой части равенства. Сравнивая после вычисления интеграла парциальные волны в правой и левой частях, получим: Э "О~ ), = — -" —" ( <р'," (г) У (г) !р, (г) о(г. йояо ! о (30.7) Здесь !р)" (г) — это радиальная часть разложения плоской волны (29.7), записанного аналогично (30.1). Другими словами, функция где Р, (г) — полиномы Лежандра (16.19), а ор, (г) — радиальные функции типа (19.1). Раднальные функции удовлетворяют уравнению (19.2) с положительными значениями энергии Е > 0 и граничному условию (19.4). В отличие от случая отрицательных энергий уравнение (19.2) при г — о имеет вид: оо;(г)+Ирр(г) =О, й = ЪГЛт„Е)Й. (30.2) ~)ф(г) — это радиальная функция ~р,(г) в нулевом приближении теории возмущений, когда потенциал У (г)- О.
Радиальная часть плоской волны имеет вид (см. задачи 6.1 и 6.2): !ьг)с"-' — (~, — ~ з!п(яг — — ) для йг)~1. 2) Борновскому приближению (29.9) соответствуег формула: ОЭ 7(1) — ~12 1 ц (г) ~рр)0) (гя2 дг Ю (30.9) которая получается заменой <р,(г) — <р',ф (г) в (30.7). Формулы (30.7), (30.9) нетрудно использовать для оценки парциальных амплитуд при малых энергиях М, (< 1. Подставляя в правую часть формул асимптотическое значение (30.8), получаем следующую оценку: "эфф 2ж„й- '~~ ~+, (7 1 'дм фф эфф Ь 1(21+!)п) йд((21+!)91 а На рисунке 35 показаны примеры угловой зависимости при разных соотношениях между з- и р-амплитудами. При больших энергиях существенный вклад дают волны с большими значениями орбитального момента.
В этих условиях можно получить волновой !зз (30.!О) Отсюда видно, что в предельном случае малых энергий парциальная амплитуда для 1> 0 стремится к нулю по закону йм Ею (30.!1) если (1(г) убывает на больших расстояниях быстрее, чем 11г""'. Указанное условие требуется для того, чтобы можно было пренебречь вкладом отброшенной при оценке (30.10) области интегрирования г > К,фф. Все парциальные амплитуды оказываются малыми по сравнению с амплитудой з-рассеяния (1=0), которая приводит к изотропному рассеянию. Этот результат мы уже получили ранее из формулы (29.11).
Дифференциальное сечение рассеяния получается возведением в квадрат разложения (30.6), в результате чего получаются квадраты парциальных волн и смешанные произведения различных парциальных волн. Значит, угловая зависимость сечения частично обусловлена интерференцией волн с различными 1. При малых энергиях можно ограничиться з- и р-волнами, что приводит к угловой зависимости о (6) = ~ Р~ Р+ 3 (7~)'+ 7,*7) соз О+ 9 ( 7, ~' соа' 6. (30.12) Фв) пакет, имеющий острый максимум при определенном зна- Е д чении угла рассеяния О.
Такой случай соответствует классическому движению по определенной орбите, на которую частица попадает при г определенном параметре столкновения. Заметим, что классический предел получается при больших значениях квантовых чисел, что уже было отмечено в 3 !3 для финит- ного движения, Для нахождения полного сечения (28.9) нужно проинтегрировать квадрат разложения (30.5) по всем углам. Из-за ортогональности полииомов Лежандра с разными 1 при интегрировании исчезают интерференционные члены и остается сумма парциальных сечений: 0 Л/ уг 8 Рис. 33.
Угловое распределение при рассеянии с учетои и- и р- волн: а) случай 1а=о; б) случай ),=Из; и) случай Гг= — )в)3; г) случай )в=о о=,л.'мог пг= йа (21+ ')з)п'бг. г=о (30.13) Заметим, что при любом значении фазы рассеяния парцнальное сечение не может быть больше некоторого максимального значения: о, ((ог),„, = ",+ = 4пХ'(21+ 1), (30.14) которое соответствует значению 6, =и/2. й 31. НЕИОТОРЫЕ ОСОБЫЕ СЛУЧАИ РАССЕЯИИЯ ~ с)К бо +))ой ав (31. 1) 140 При некоторых взаимодействиях существенный вклад в сечение дает какая-либо отдельная парциальная волна. Если энергия сталкивающихся частиц мала, то практически всегда оказывается справедливым закон (30.11) и вытекающее отсюда существенное значение з-амплитуды.
Рассмотрим общие свойства 3-амплитуды при малых энергиях. Подставим разложение по АЯ величины А с1д 6, в одно нз выражений (30.6). Входящий в (31.1) параметр а„ который называется длиной рассеяния, определяет предельное значение рассеяния при Š— 0: Е -э О о — 4яа,'. Е О (3!.6) Формулы (31.6), (31.7) сыграли важную роль при исследовании ядерных взаимодействий, так как позволили оценить радиус действия ядерных сил из экспериментальных данных по рассеянию.
141 Формулы (31.2), (31.3) соответствуют приближению, которое получается, если в разложении (31.1) сохранить лишь нулевой член (приближение длины рассеяния). Если взаимодействие является неинтенсивным, то знак длины рассеяния совпадает со знаком потенциала, что видно из формулы (30.10). Значит, рассеянию на неглубокой потенциальной яме соответствует отрицательная длина рассеяния. При малых значениях энергии оо 11 1о (31.4) 4п 2пдо ! Во а — — г = (31.5) (1/ао)о+Ьо тоо Е+О 2т,оао Формула (31.5) оказывается хорошим приближением в достаточно широкой энергетической области при больших длинах рассеяния а,, когда сечение рассеяния близко к своему максимальному значению (30.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
