Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ш и ф ф. Квантовая механика. М., ИЛ, 1957. 5. А. А. С о к о л о в, Ю. М. Л о с к у т о в, И. М. Т е р н о в. Квантовая механика. М., «Просвещеннее, 1965. Глава 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ й 23. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ДЛЯ НЕВЫРОЖДЕННОГО УРОВНЯ ЭНЕРГИИ Большинство задач квантовой механики не удается решить точно, поэтому важную роль играют приближенные методы вычисления спектров и волновых функций. В том случае, когда гамильтониан рассматриваемого микрообъекта не зависит явно от времени, можно использовать так называемую стационарную теорию возмущений. Теория возмущений служит для приближенного вычисления уровней энергии и амплитуд вероятности стационарных состояний для микрообъектов, которые подвержены действию малого возмущения. Предположим, что возмущению соответствует слагаемое т' в гамильтониане Й= Йа+ (г, (23.!) причем «невозмущенный» гамильтониан Й, имеет достаточно простой вид и решение невозмущенного уравнения Шредингера Й ) чпо) > е<а) ) чо<оо > (23.2) известно.
Тогда возмущенные собственные векторы и уровни энергии можно разложить в ряд по степеням возмущения: ~ ооо > ~ оопо> >+~ ор<и > (23.3) Е Ра~+Е(и+ (23.4) Собственные значения Е<" и собственные векторы ) Чпао > оператора Й, известны по определению. Поэтому через эти величины и нужно выразить изменение векторов состояния и уровней энергии. Введем для удобства в каждый член разложений (23.1), (23.3), (23.4) множитель л, где т — порядок члена в разложении. Затем подставим эти разложения в точное уравнение Шредингера й)ч>=-ц у>.
(23.5) Это приводит к уравнению (й,+Л)7)ЦЧ >+Л~Ч«»>+...)= (Е<о<+ЛЕа<+ ) Я Ч<<о< > +Л ! Ч<а< > + ) (23 8) которое имеет вид ряда по степеням произвольного параметра Л. Равенство (23.6) имеет место для любого значения Л только тогда, когда равны члены при одинаковых степенях Л. Из этого условия получается система уравнений, каждое из которых описывает возмущение т-го порядка: й ~ <р<е ) Е<о< ~ Ч<<о< ) й 1Ч<а< )+~'~Чпо< ) Е<о<<Ч<а< ) 1 Еа<<Ч«о<) Но ! Чп'< ) + Ъ'! Ч<а< ) = Е<о<! ЧУ<о< ) + Е<я Ч<а< ) + Е<о< ( Чпо< ) (23.7) Первое уравнение совпадает с уравнением (23.2) невозмущенной задачи (нулевой порядок). В этом параграфе мы рассмотрим систему (23.7) для случая невырожденных уровней энергии не- возмущенной задачи. Введем для обозначения разных состояний дополнительный индекс и и запишем невозмущенные векторы в виде: ~ Ч""> — = ~ п>.
(23.8) Раскладывая поправку ( Ч<<<н> =- '~ ~ п> <и ~ Ч","» (23.9) к 1-му невозмущенному вектору по функциям (23.8) и подставляя (23.9) во второе уравнение (23.7), получаем: ,оо Оо ~ п> <и 1<Р';">+1<! <>=-Е"'~о~ п> <и ! Ч<п>+ Е,'" ~ 1>. (28.10) Если заменить Й,(п> на Ео<о<1 'и>, умножить (23.10) слева на <й1 и принять во внимание ортонормированность векторов (23.8), то уравнение (23.10) можно переписать так: <й ~ Ч",'"> (Е;'" — Е„'") + Е,'обы —— $'оп (23.
11) В правой части равенства (23.11) стоит матричный элемент возмущения в энергетическом представлении невозмущенной задачи (оператор Й, диагонален). Полагая в равенстве (23.11) й=<, находим. Е,а' Уп — У. 109 Таким образом, изменение уровня энергии в первом порядке тео- рии возмущений равно среднему значению возмущения 1<'. При й~< коэффициенты разложения (23.9) имеют вид: или Ее « ~ Ч",'"> = О.
Этому соотиошеиию можно удовлетворить, положив <1! Ч","> О. (23. 14) Теперь рассмотрим второй порядок теории возмущений с по. мощью третьего уравнения (23.7). Подставляи в него павло. жение ~ Ч'<з» = ~ ~ и> <а1Ч",">>, « получаем: Х Й, ~ п> <а ( Ч",'>'> +~~", 1> ~ и> <и ~ Ч",".» = << л Е<> ~ч„"~ и> <и ~ Ч<!'» + Ео я ! п> <и ~ Ч"",>> + Е,'" ! < >.
« « После умножения слева на <й! приходим к уравяению <й ~ Ч<О» (Е<м Е"') + Е<'>. <й ! Ч<ц» = = ~~'„, Г~„< ~>Р,'"> — Е;'"-'Ь;. й (23.15) Если учесть равенства (23.13), (23.14), то при й=( уравнение (23.15) можно записать в виде формулы для вычисления поправок второго порядка к уровню энергии: Е"-' = ~', '" "' = ~ ! "'! . (23.16) „<„~<> ~)'~ — да'~ ь<„~<> дг Итак, приближенное решение поставленной задачи запишется в следующем виде: Е; ж Е7>+У+ ~~' <„"< <„, а<а ~ <> 1 1<> !1>+ Х ~п> <о> ™ «» ' „«„> Е)<м — еп:~ (23.
17) 1!о Остался неопределенным коэффициент « ~ Ч'!">„но его можно найти из условия нормировки. Для этого примем, что норма <Ч" ~ Ч"> равна единице в любом приближении теории возмущений. Тогда из (23.3) получаем в первом порядке для 1-го состояния: <1 ~ Ч<1>»+ <1 ~ Ч",." >' = О, Очевидно, что разложение (23.17) имеет смысл только тогда, когда каждый следующий член значительно меньше предыдущего.
для этого матричные элементы оператора возмущения )г должны быть значительно меньше расстояния между невозмущенными уровнями: )),г,~(~~Егог Етг) и ь( (23. 18) й 24. СЛУЧАЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРОВНЯ ЭНЕРГИИ Вычислим изменение невозмущенного уровня энергии Егог, которому соответствует д ортонормированных векторов состояния ) Чггог> ) Чпог> ) Чггог> (24.1) Возмущенный вектор состояния можно записать в виде разложения: ) Чг> = ~ ) Ч,аг> <Ч ', ) Ч >+,'~ ( Ч гм> <Ч гм) Ч >, (24.2) о=! а>о где индекс а ) д соответствует всем другим состояниям, а коэффициенты <Чг„ ~ Ч"> являются величинами первого порядка по ГО1 возмущению.
Коэффициенты при векторах (24.1) в разложении (24.2) не обязаны быть малыми величинами. Мы найдем их вместе с поправкой первого порядка Его к уровню энергии Еел следующим образом. Подставим разложение (24.2) в уравнение Шредингера (23.5) и умиожим слева на вектор <Ч","'), являющийся одним из векторов (24.1) и описывающий 1-е вырожденное состояние. Принимая во внимание оРтогональность вектоРов ) Ч"'„'> и <Чгг~ ~), полУчим: Х < Чгго) ! (Н вЂ” Е) ! Чгго]> <Чггог! Чг> + г= 1 ~ч~' ~ Чггог ~)г) Чггог> <ЧгГо) ) Чг> б а>а Вторая сумма в (24.3) является величиной второго порядка по возмущению, и ее можно отбросить.
Оставшиеся члены первого порядка запишем в виде системы уравнений для коэффициентов: Х (Н вЂ” ЕЬ,) <оугм~Чг>= О г=г Нго— = <Ч',"')Й)Чг',ог>; 1, а=1, 2, ... сг. (24.5) Заметим, что соотношения (24.4) имеют вид уравнения Шредингера в подпространстве вырожденных состояний (24.1) Это означает, что при вычислении поправки первого порядка к вырожденному уровню Еич можно применять уравнение (23.5) так, будто других уровней энергии вообще не существует. 111 Система однородных линейных уравнений (24.4) имеет нетривиальное решение только тогда, когда детерминат матрицы, составленной из коэффициентов этой системы уравнений, равен нулю: ̈́— Е Н„... Н, (24.6) Соотношение (24.6), которое называют секулярныа( уравнением, представляет собой алгебраическое уравнение степени д относительно Е.
Оно имеет д действительных корней (решений)! Е=Е(0)+Е()!), (=1, 2, ... д. (24.7) Может оказаться, что все матричные элементы возмущения 1~ по вырожденным состояниям (24.1) равны нулю. Это означает, что в первом приближении поправки к уровню энергии отсутствуют. Тогда необходимо рассматривать квадратичные члены уравнения (24.3) аналогично тому, как это сделано в 2 23 для не- вырожденного уровня энергии. Отметим, что в этом случае поправки к уровням определяются из секулярного уравнения вида (24.9), в котором вместо матричных элементов У„стоят величины Х ( йс( а0 я(0) я(0) а > а ! а (24.10) В некоторых случаях равны нулю неднагональные матричные элементы возмущения. Тогда базисные векторы (24.!) дают сразу правильное нулевое приближение, а смещение уровня в первом 112 Если все корни различны, это означает, что вместо одного вырожденного уровня мы имеем д различных уровней.
Можно сказать, таким образом, что возмущение полностью снимает выр ожде н не. Когда имеются кратные корни, вырождение снимается лишь частично — у смещенных уровней остается вырождение меньшей кратности, совпадающее с кратностью соответствующего корня (24.7). Подставляя поочередно корни (24.7) в систему уравнений (24.4) и решая ее, мы найдем коэффициенты <)р(') ~Ч'> и определим тем самым вектор состояния в нулевом приближении теории возмущений. Учитывая (24.7), можно переписать уравнения теории возмущений в следующем виде: ~~' (1) Е(!)6 ) ()Р(0) ) Ч)) () з=! Ре1())! — Е1')Ь )=О. Формула (24.11) аналогична формуле (23.12); это значит, что каждое из невозмущенных состояний можно рассматривать неза- висимо от других так, будто имеем дело со случаем невырожден- ного уровня энергии.
й 25. НЕСТАНИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Предположим, что гамильтон пан ми крообъекта можно разделить на слагаемоеЙ„не зависящее от времени, и небольшое слагаемое г'((), которое зависит от времени: й= Й, +'г'Я. (25.1) В этом случае задача теории возмущений состоит в приближенном вычислении изменения состояния микрообъекта в зависимости от времени. Говорить при этом о поправках к певозмущенным уровням энергии не имеет смысла, так как энергия не сохраняется, и у микрообъекта не существует стационарных состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
