Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(20.11) !=о Таким образом, каждому уровню энергии атома водорода соответствует 4п' разных состояний, отличающихся разными значениями переменных 1, пг, о, о,. (20. 12) Бесконечное множество энергетических уровней расположено в интервале от — 13,6 эе до О. Расстояние между двумя последовательными уровнями уменьшается с увеличением гг в соответствии с формулой (20.10). Уровни сгущаются по мере приближения к значению Е=О, с которого начинается непрерывная часть энергетического спектра Е > О.
Выпишем, наконец, некоторые волновые функции атома водорода: г пгв Ч'... (г) = (! — — ) е и 'в, (20.14) ~"~в 7. /з ~~соз9 д я=О, г ~'в м г Т- г г/ — з! п Оеь гч для пг = -+ 1. /з г/ ап (20.15) Радиальные функции (рис. 26 и 26) построены с помощью ре- куррентного соотношения (20.8) и нормировочного условия (18.22), а зависимость от углов 9, гр задана с помощью формул (16.!8).
$21. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СТРУКТУРА АТОМА ВОДОРОДА Говоря о пространственной структуре микрочастицы, имеют в виду те ее свойства, которые связаны с протяженностью в пространстве. Важным свойством реального материального объекта является то, что его вещество можно обнаружить лишь в форме определенных микрочастиц. Классическая модель непрерывно распределенного в пространстве вещества является абстракцией, которая имеет смысл только в макроскопических условиях измерения. Вещество атома водорода обычно обнаруживают в виде электрона и протона. Это и дает основание сделать вывод о том, что атом водорода состоит из протона и электрона. Остается поставить вопрос о вероятности найти указанные составные части атома водорода на определенном расстоянии друг от друга.
Ответ на этот вопрос дается квантовой механикой с помощью функции ( г ) ~ ~ ч ~ ( г 1 (21.1) Тяжелый протон можно считать покоящимся в начале координат, поэтому функция (21.1) практически совпадает с плотностью ве- 97 4 м гав Р„= — е1'Рл (г) ~'. (21.2) Функция (21.2) может быть использована при изучении электромагнитных свойств атома методамн классической электродинамики.
Нужно учесть при этом, что пространственное движение электрона эквивалентно наличию электрического тона. Усредненную плотность электрического тока можно получить из плотности потока вероятности (11.9) умножением на заряд электрона: 1 а = е 2, (т(гл7'Рл — >агл7>(гл1. (21.3) В э-состояниях (нулевой орбитальный момент) пространственное распределение электронного облака сферически симметрично и изменяется только в радиальном направлении. На рисунках >т,д ру г Рис. 26. Радиальная часть волновой функции атома водорода в 2>.2р-состояниях. Расстояние г дано в атомных единицах длины.
Рис. 25. Радиальная часть нолновой функции атома в основном состоянии. Расстояние г дано в атомных единицах длины. 98 роятности обнаружить электрон в точке г. Ее удобно изображать с помощью модели «электронного облака>, как показано на рисунке 27. Плотность электронного облака на рисунках пропорциональна функции (21.1). Электронное облако можно интерпретировать как усредненное распределение вещества, которое мы обнаружили бы при наблюдении большого количества одинаковых атомов. Указанная интерпретация дает наглядную картину строения атома водорода в духе классической модели непрерывно распределенного в пространстве вещества.
Учитывая, что электроны обладают не только массой, но и электрическим зарядом — е, можно интерпретировать электронное облако и как усредненное значение плотности электрического заряда 26, 26 показаны графики радиальных функций для 1з- п 2з-состояний. Им соответствуют распределения электронного облака, показанные на рисунке 27, а, б (см.
вклейку). В состояниях с более высоким значением орбитального момента пространственное распределение задается наложением радиального распределения н углового распределения от квадрата модуля шаровой функции Уп„(8, у). В любом случае пространственное распределение не зависит от азимутального угла ф, т. е. имеет азимутальную симметрию (см. 5 16). В возбужденных состояниях (п) 2) пространственные распределения имеют узловые поверхности, на которых плотность вероятности обращается в нуль.
В з-состоянни имеется и — 1 сферических узловых поверхностей, поэтому электронное облако состоит из сферических слоев. Например, в 2з-состоянии имеется одна сферическая узловая поверхность на расстоянии г=2га (см. рис. 26 и 27). В р-состояниях пространственные распределения зависят от проекций момента импульса и. При т =О узловая поверхность обусловлена множителем ~ У,, (8, ~р) ~' — соз' 8 (21.4) и совпадает с координатной плоскостью ху (см. рис.
18а и 27в). При т= ~1 имеется узловая линия, совпадающая с координатной осью г и обусловленная множителем ~т„(8, р)~ -з1п*8 (см. рис. 18б и 27г). В состояниях с более высокими значениями орбитального момента бывают также конические узловые поверхности из-за нулей шаровых функций при некоторых промежуточных значениях полярного угла О ( 8 ( п(2.
Рассмотрим подробнее основное состояние атома водорода, для которого электронное облако изображается функцией ро (г) = — е эм'а. (21.6) "в Плотность вероятности достигает максимума в центре атома и монотонно убывает при удалении от центра. Такая картина строения атома резко отличается от модели Резерфорда — Бора, согласно которой электрон должен находиться на круговой орбите радиуса га. Кроме того, она показывает, что вообще нельзя ввести строгое количественное определение радиуса и размера атома. Действительно, радиусом матернального объекта мы называем обычно максимальное расстояние от центра, на котором можно обнаружить вещество (в данном случае — электрон).
Но такое расстояние для атома водорода равно бесконечности, так кзк радиальные функции асимптотически приближаются к нулю. 4» Тогда остается принять в качестве радиуса атома расстояние, РГг) до которого распространяется основная часть электронного облака. Исходя из подобного опре- рггЬ деления, можно лишь утвер- Д Р Р О ! 2 РД "Р АУ н ы равны боровскому радиусу гв=0,5 10 'см.
Такимобразом, понятие радиуса атома является условным в отличиеотэнергии и момента импульса, которые являются точными внутренними характеристиками любого материального объекта. Представляет интерес так называемая радиальная плотность вероятности — плотность вероятности обнаружить электрон на заданном расстоянии г (независимо от пространственных углов). Она получается интегрированием функции (21.1) по шаровому слою и равна: ~ (г) = дг = г )~л (г) (21. 7) На рисунке 28 показана радиальная плотность вероятности для основного состояния. Она имеет максимум при г=гв в отличие от пространственной плотности вероятности (21.6), имеющей мак- симум в центре атома. й л2.
СПИИОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В АТОИЕ ВОДОРОДА 100 До сих пор мы рассматривали движение частиц в нерелятивистсчом приближении, считая, что их взаимодействие не зависит от спиноз. В релятивистской теории гамильтониан является оператором, действую~ням на спиновые переменные. При этом спиновые переменные перестают быть независимыми от пространственных и их нельзя отделить друг от друга, как это было сделано в $ 3.
Релятивистское взаимодействие в атомах является лишь небольшой поправкой к кулоновскому; однако оно представляет значительный интерес как для теории, так и для эксперимента в области физики микромира. Качественное исследование указанных эффектов можно выполнить в рамках квантовомеханического формализма без привлечения сложной релятивистской методики. Рассмотрим дополнительное взаимодействие в атоме водорода, связанное с наличием спиновых моментов у электрона и ядра. Моменты количества движения, являясь механическими характеристиками, не взаимодействуют непосредственно друг с другом. Однако вместе со спиновым моментом любая частица имеет собственный магнитный момент )дз = йзо где и — гиромагнитное отношение.
Движение электрически заря- женной частицы эквивалентно наличию электрического тока и связанного с ним дополнительного (орбитального) магнитного момента )вс = йсе. (см. задачу 4.4). В соответствии с законами электродинамики два произвольных магнитных момента взаимодействуют друг с другом, причем энергия этого взаимодействия определяется формулой: У Р!)>з гэ (22. 1) (22. 2) Взаимодействие (22.2) является простейшей комбинацией операторов собственного и орбитального моментов импульса, которая обладает нужными свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
