Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(14.6) Граничное значение при х=О дает соотношение с,+с, =О. (14.7) При х=а волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывными (они, как иногда говорят, должны ошиватьсяя): Ч'и (а) = Ч"ш (а), — „Ч"и (х) ~ = — „„Ч" ги (х) ~ . (14.8) е ! Условия «сшивания» (14.8) с учетом (14.7) дают следующие соотношения: 2!с, з!п й,а = с,е- 2!с,й, соз е»а = — яс»е-"«. (14.9) Из соотношений (14.9) и условия нормировки можно найти коэффициенты с„с, и модуль волнового вектора й,. Делением соотношений (14.9) одно на другое можно исключить коэффициенты с„ с, и получить следующее трансцендентное уравнение для й,: 1нй,а = — — '. (14.
10) Это уравнение легко проанализировать графически, построив графики правой и левой частей как функций безразмерной величины 7»,а (рис. 1!). Точки пересечения кривых определяют значения е„а следовательно, и значения уровней энергии. Из рисунка видно, что в потенциальной яме может существовать лишь конеч- 72 В данном параграфе будет рассмотрен лишь случай фяннтиого движения частицы, которому должны соответствовать отрицательные значения энергии. Разобъем всю область движения частицы на три интервала, как показано на рисунке 10. В области 1 волновая функция Ч"~ = О.
В области П (внутренняя часть ямы) уравнение Шредингера и его общее решение имеют вид: ( ~, ~-»:) « ы = о, ». =ЛЬТ» -» и у~, (и ») Ч»и (х) с е»»,» 1 с е- '»,» (14.3) нос число уровней. Если параметры ямы (глубина У, и ширина а) таковы, что величина л,а принимает максимальное значе- ние то уровни энергии в яме вообще отсутствуют. В достаточно мелких и узких ямах нетсвязанных состояний; это значит, что частица «не захватываетсяа ямой и может совершать только инфинитное движение.
Мы получили специфически квантовый результат, так как в классичесфизике фвиитНОЕ азнжЕНИЕ Рис. 11. Графин«сисе решение транс- может существовать в любой по- цендентното уравнения (14.10). тенциальной яме, описывающей сколь угодно слабое притяжение. Минимальное значение параметров ямы, при котором появляется уровень энергии Е =О, определяется соотношением: (().т')...= ~ (14. 11) При увеличении величины (l„аа уровень понижается; в некоторый момент появляется второй уровень энергии и т. д. Волновая функция основного состояния, соответствующего низшему энергетическому уровню, имеет вид: ( 21с, зш й,х для О <х <а, ( с,е "" для х)а.
(14. 12) гз В согласии с осцилляционной теоремой функция (14.12) не имеет нулевых значений. Обратим внимание на то, что функция быстро убывает при х — оо, но не равна строго нулю при любых конечных значениях х. Это означает, что имеется вероятность найти частицу на любом расстоянии от ямы, где Е ( У (х). Мы получили еще один специфический квантовый результат — возможность проникновения микрочастицы в область, где полная энергия Е меньше потенциальной энергии. На рисунке 10 показана волновая функция Ч',(х) основного состояния для небольшого значения Е„.
При У, оо, ń— оо волновая функция становится равной нулю в области П1 и переходит в функцию Ч'„(х), которая показана на рисунке 9 и соответствует случаю бесконечно глубокой потенциальной ямы. й 15. ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР Рассхютрим физическую систему с одной степенью свободы х, потенциальная энергия которой имеет минимум при некотором значении х=х,. Примером такой системы может служить пружинный маятник.
С точки зрения классической физики маятник должен совершать колебательное движение около положения равновесия при х=х, с амплитудой, зависящей от начальных условий. При небольших отклонениях потенциальную энергию можно заменить несколькими членами разложения в ряд: (У(х) = и(х,)+Н" (х,) ',"'. (15.1) Линейный член отсутствует в разложении, так как в точке минимума Н' (х„) =О. Если отсчитывать энергию от значения Н (х,) и поместить начало координат в точку х„то потенциальную энергию можно аппроксимировать параболической кривой (рис. 12): и()='— ,", (15.2) где й = Н" (О) .
В приближении (15.2) физическая система будет совершать гармонические колебания по закону: х (1) = А сов (а1+ р,), (15.3) где в=к' й1т. Поэтому ее называют гармоническши осциллятором. Учитывая, что потенциалу (15.2) соответствует линейная относительно отклонения сила, Нр~) употребляют также другое наз)Цг 12 ванне — линейный осциллятор. ~г,~ Рассмотрим линейный осциллятор методами квантовой механики. Гамильтониан осцил- ~Ф, лятора и уравнение Шредингера Е, для стационарных состояний рр1г можно записать в виде: ~~о1 Ес Н= 2" + — х'-, (15.4) — х'-) ~ Ч" (х) = О.
(15.5) 2 Формально задача такая же, как в случае одномерного движения частицы с массой т в потенциальной яме параболиче- ской формы. Как будет показано ниже, основные свойства такого движения мало отличаются от движения в прямоугольной яме. Перейдем в уравнении (15.5) к безразмерным переменным ~=х)/ лнэ4, Л=2Е!Ьдд. (15.6) После этого оно запишется в следующем виде: Ч'" ($) + (Л вЂ” с') 'Р Я) = О. (15.7) Исследуем асимптотическое поведение волновой функции при з— +- оо. Прн больших значениях $ слагаемым Л в (15.7) можно пренебречь. Поэтому Ч"" Д) — В'Ч'($) =0 при $- -+- оо.
Решение этого уравнения с точностью до поправок 14» имеет вид: 'у(») =е»м)». Из двух линейно независимых решений подходит только убывающее. В соответствии с этим будем искать точную волновую функцию в виде др а =да (15.8) Подставляя (15.8) в (15.5), находим уравнение для функции Ь(Д: й" (Ц вЂ” 255' Я)+(Л вЂ” 1) й($) =О. (15.9) Решение этого уравнения запишем в виде ряда по степеням в: Ь(в) =~с,Д».
(15.10) Тогда вместо уравнения (15.9) получим соотношение ~~ й (й — 1) с»$» '+ ~ч.", (Л вЂ” 1 — 2А) сД" = О, которое может выполнят =я только в том случае, если коэффициент при каждой степени вд обращается в нуль: (й+ 2) (й+ 1) сд+, + (Л вЂ” 1 — 2й) сд = О. Отсюда получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов в разложении (15.10): 1+2» — Л »+' (»+2) (»+1) Это соотношение позволяет построить весь ряд (15.10), если задать коэффициент при низшем члене разложения. Он войдет 75 множителем в выражение для волновой функции и может быть найден из условия нормировки. Из условия конечности волновой функции в начале координат следует, что ряд (15.10) содержит только положительные степени (й) 0).
При й — оо соотношение (15.!1) имеет внд: 2 с„+, — — — с„. Точно такое же соотношение существует между коэффициентами разложения ез* =1+Р+... + — +.... (а(2)1 Поэтому при бесконечном количестве членов разложения функция (15.10) возрастает экспоненциально. Волновая функция (15.8) также возрастает: Ч' (5) — ~4*. е-ы(З = ем(з оо при Ц оо, что несовместимо с нужными граничными условиями.
Волновая функция будет убывать только при конечном числе членов ряда (15.!0), т. е. когда функция (15.10) является полиномом и-й степени. Требование ел=О при й ) и эквивалентно условию: 1+2н — Х =О, (15.!2) которое после подстановки (15.6) переходит в соотношение для нахождения уровней энергии осциллятора Е=лсо (и+ 2); п=О, 1, 2, (!5.13) Энергетический спектр осциллятора состоит из равноотстоящих друг от друга дискретных значений. Такой спектр называют экеидистантнылс Основному состоянию соответствует энергия (15.14) Ч"„= Л(„Н„Д) е-амз. (15.15! Следовательно, низшее энергетическое состояние не является состоянием покоя. В связи с этим говорят, что осциллятор совершает нулевые колебания. Это важное свойство является следствием соотношения неопределенностей Гейзенберга, что уже было показано ранее на примере 'движения частицы в ограниченном объеме (см.
также задачу З.З). Волновую функцию л-го состояния записывают обычно в следующем виде: -ХЯ О Х7 Х Рис. 13. Волновые функции линейно- Рис. 14. Плотность вероятности дли го осцнллятора для квантовых чисел осциллятора но классической теории л=о, 1, 2. Здесь нормировочный коэффициент принимает значение: (15. 16) а функция Н„Я) представляет собой так называемый полипом Эрлшпа, для которого наряду с рекуррентным соотношением (15.11) существует следующее аналитическое выражение: Н„(3 = ( — 1)" еы — „е-ы.
(15. 17) При п=О,! и 2 полнномы Зрмита имеют вид: Не(э)=1 Н (е) =2с НвЯ) =4'=' 2 (15.18) На рисунке 13 показаны соответствующие волновые функции. Они похожи качественно на волновые функции частицы в прямоугольной яме (см. рис. 9). Переход к классическому пределу совершается при п — о, когда необходимо ввести усредненную по осцилляциям плотность вероятности р(х). Как видно из формулы (13.19), классическая плотность вероятности обратно пропорциональна скорости о =р/гп.
Но для осцнллятора она зависит от координаты (рис. 14): 1 1 'г' Š— Ь !х! (15.19) 77 Формула (15.19) имеет смысл только в классически доступной области — х, ( х( х„ где х, †т называемая гпокка поворота, совпадающая с амплитудой классического колебательного двн- й 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ РОТАТОР Рассмотрим движение частицы по шаровой поверхности радиуса г. Поместив начало координат в центре шаровой поверхности, будем задавать положение частицы полярным углом 0 и азимутальным углом Чз (рис.
15). Рассматриваемую физическую систему с двумя степенями свободы называют пространственным роииипоролз'. Его энергию можно выразить через момент импульса 1. и момент инерции 1: зу' (16.1) 1 =тгз. (16.2) Оператор Гамильтона получается из (16.1) заменой 1. 1., и уравнение Шредингера имеет вид: 2! Ч"=ЕЧ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
